1、考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (16 年 )设随机变量 XN(， 2)(0) ，记 p=PX+2，则（A）p 随着 的增加而增加（B） p 随着 的增加而增加（C） p 随着 的增加而减少（D）p 随着 的增加而减少2 (97 年 )设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量 3X一 2Y 的方差是（A）8（B） 16（C） 28（D）443 (00 年 )设二维随机变量(X，Y) 服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 =XY 不相关的充分必要条件为（A）E
2、(X)=E(Y)（B） E(X2)一 E(X)2=E(Y2)一E(Y) 2（C） E(X2)=E(Y2)（D）E(X 2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)24 (01 年 )将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关系数等于（A）一 1（B） 0（C）（D）15 (04 年 )设随机变量 X1， X2，X n(n1)独立同分布，且其方差 20，令 Y=，则6 (07 年 )设随机变 N(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，f X(x)，f Y(y)分别表示 X,Y 的概率密度，则在 Y=y 的条件下，X 的条件概率密度
3、fX Y(x|y)为（A）f X(x)（B） fY(y)（C） fX(x)fY(y)（D）7 (08 年 )设随机变量 XN(0 ，1) ，YN(1，4)，且相关系数 XY=1，则（A）PY=一 2X1=1（B） PY=2X 一 1=1（C） PY=一 2X+1=1（D）PY=2X+1=18 (09 年 )设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=03(x)+ 其中 (x)为标准正态分布的分布函数，则 EX=（A）0（B） 03（C） 07（D）19 (11 年 )设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 EX 与 EY 存在，记 U=maxX，Y)，V=minX，Y)，则 E(UV)=（A）EU.
4、EV （B） EX.EY（C） EU.EY（D）EX.EV 二、填空题10 (87 年) 已知连续型随机变量 X 的概率密度为 则EX=_，DX=_11 (90 年) 已知随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，且随机变量 Z=3X 一 2，则EZ=_12 (91 年) 设随机变量 X 服从均值为 2、方差为 2 的正态分布，且 P2X4=03，则 PX0=_ 13 (92 年) 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则 E(X+e-2X)=_14 (95 年) 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为04，则 E(X2)=_15 (96 年) 设 和 是
5、两个相互独立且均服从正态分布 N(0， )的随机变量，则E(|-|)=_16 (04 年) 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 =_17 (08 年) 设随机变量服从参数为 1 的泊松分布，则 PX=EX2=_18 (10 年) 设随机变量 X 的概率分布为 PX=k= k=0，1，2，则EX2=_19 (11 年) 设二维随机变量(X，Y) 服从正态分布 N(， ； 2， 2；0)，则 E(XY2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 (89 年) 设随机变量 X 与 Y 独立，且 XN(1 ， 2)，Y N(0 ，1) ，试求随机变量Z=2XY+3 的概率密度
6、函数21 (90 年) 设二维随机变量(X，Y) 在区域 D：0x1，|y|x 内服从均匀分布，求关于 X 的边缘概率密度函数及随机变量 Z=2X+1 的方差 DZ22 (93 年) 设随机变量 X 的概率密度为 (1)求 EX和 DX； (2)求 X 与|X|的协方差，并问 X 与|X| 是否不相关 ? (3)问 X 与|X|是否相互独立?为什么 ?23 (94 年) 已知随机变量 XN(1，3 2)，YN(0，4 2)，而(X，Y)服从二维正态分布且 X 与 Y 的相关系数 (1)求 EZ 和 DZ， (2) 求 X 与 Z的相关系数 XZ。 (3)问 X 与 Z 是否相互独立?为什么?2
7、4 (96 年) 设 和 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 的分布律为 P(=i)= ， i=1，2，3又设 X=max(，) ，Y=min(，) (1)写出二维随机变量(X ， Y)的分布律； (2)求 EX25 (97 年) 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 设 X 为途中遇到红灯的次数，求随机变量 X 的分布律、分布函数和数学期望26 (98 年) 设两个随机变量 X、Y 相互独立，且都服从均值为 0、方差为 的正态分布，求|XY|的方差27 (00 年) 某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p(0p1)，
8、各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 X，求 E(X)和 D(X)28 (02 年) 设随机变量 X 的概率密度为 对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 的次数，求 Y2 的数学期望29 (03 年) 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品从甲箱中任取 3 件产品放人乙箱后，求：(1)乙箱中次品件数 X 的数学期望；(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率30 (04 年) 设 A，B 为随机事件，且 P(A)= ，令求(I)二维随机变量(X，Y) 的概率分
9、布；()X 与 Y 的相关系数 (X,Y)考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 B【知识模块】
10、概率论与数理统计二、填空题10 【正确答案】 1；【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 4【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 02【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 184【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 2【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 3+2【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11、20 【正确答案】 EX=l， DX=2，EY=0，DY=1 EZ=E(2XY+3)=2EX 一EY+3=21-0+3=5 DZ=D(2XY+3)=4DX+DY=4 2+1=9 由正态分布的性质知：ZN(5，9)故 Z 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 D 的面积(见图)为 2 12=1(X，Y) 的概率密度为：关于 X 的边缘概率密度 fX(x)=-+f(x，y)dy当x0或 x1时，f X(x)=0；当 0x1 时，f X(x)=-xx1dy=2x【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 本题出现的积分，可验证均收敛 (1)EX= -+xf(x)dx=-
12、+x.dx=0 而 EX 2=-+x2 =0+x2e-xdx =一 x2e-x|0【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 (1)显然 EX=1，DX=9，EY=0，DY=16(3)由 XZ=0，知 X 与 Z 不相关故知 X 与 Z 相互独立【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 (1)(X， Y)的分布律见表 (2)由(X， Y)的分布律可得关于 X 的边缘分布律为：【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 分布函数 F(x)=P(Xx)当 x0 时，F(x)=0 当 0x1 时，F(x)=PX=0= 当1x2 时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)= 当 2x
13、3 时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 当 x3时，F(x)=1【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 记 =XYE(|)2=E2=D+(E)2=1+02=1【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 记 Ak=生产的第 k 个产品是合格品)，k=1，2，而 X 可能取的值为全体自然数由题意得 P(X=k)=P(A1A2 ) =P(A1)P(A2)P(Ak-1)=(1 一 p)k-1p，k=1，2，(这里 A1，A 2， 都相互独立，且 P(Ai)=1 一p，i=1 ，2， 【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 因为所以 EY2=DY+(EY)2=1+22=5【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 (1)X 可能取的值为 0，1，2，3(2)记 A=从乙箱中任取一件产品是次品 ，由全概率公式得：【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 故(X ， Y)的概率分布为： ()由(I) 易得关于 X、Y 的概率分布(列)分别为：【知识模块】 概率论与数理统计
