[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷78及答案与解析.doc

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1、考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷 78 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 的分布函数为 F(x),概率密度为 f(x)=af1(x)+bf2(x),其中 f1(x)是正态分布 N(0, 2)的概率密度,f 2(x)是参数为 的指数分布的概率密度,已知则 ( )2 设 X1,X 2,X n(n1)是来自总体 N(0,1)的简单随机样本,记则 ( )3 设随机变量 X 的概率密度为 则概率 PX(A)与 a 无关,随 增大而增大(B)与 a 无关,随 增大而减小(C)与 无关,随 a 增大而增大(D)与 无关,随 a 增大而减小4

2、设随机变量(X,Y) 服从二维正态分布,其边缘分布为 XN(1 ,1),Y N(2 ,4) ,X 与 Y 的相关系数为 且概率 PaX+bY1= ,则 ( )5 设总体 XP()( 为未知参数),X 1,X 2,X n 是来自总体 X 的简单随机样本,其均值与方差分别为 是 的无偏估计量,常数 a 应为 ( )(A)1(B) 0(C)(D)16 XN(, 2),F(x)为其分布函数,则随机变量 Y=F(X)的分布函数 ( )(A)处处可导(B)恰有 1 个不可导点(C)恰有 2 个不可导点(D)恰有 3 个不可导点二、填空题7 事件 A 与 B 相互独立,P(A)=a,P(B)=b,如果事件

3、C 发生必然导致 A 与 B 同时发生,则 A,B,C 都不发生的概率为 _8 设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布,记 则E(X1+X2)为_9 设 X1,X 2,X n 是相互独立的随机变量序列,且都服从参数为 的泊松分布,则 =_ 10 设二维随机变量(X,Y)在上服从均匀分布,则条件概率=_11 设二维随机变量(X,Y)的分布律为 则X 与 Y 的协方差为_12 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 F(x,y),则随机变量(2X ,Y+1)的概率密度 f1(x,y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 AB C试证明: P(A)+P(B)P(C)114

4、 一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件,第 i 个零件是不合格品的概率(i=1,2,3),以 X 表示三个零件中合格品的个数,求 X 的分布律15 袋中有 n 张卡片,分别记有号码 1,2,n,从中有放回地抽取 k 次,每次抽取 1 张,以 X 表示所得号码之和,求 EX,DX16 设X n是一随机变量序列,X n(n=1,2,)的概率密度为试证:16 设 X1,X 2,X n 为来自总体 X 的简单随机样本,且 X 的概率分布为其中 01分别以 v1,v 2 表示X1,X 2,X n 中 1,2 出现的次数,试求:17 未知参数 的最大似然估计量;18 未知参数 的矩估计量;19 当样本

5、值为 1,1,2,1,3,2 时的最大似然估计值和矩估计值20 向半径为 r 的圆内随机抛一点,求此点到圆心的距离 X 的分布函数 F(x),并求21 设随机变量(X,Y) 的概率密度为求 Z=X2+Y2 的概率密度 fZ(z)22 若 X 2(n),证明:EX=n,DX=2n 23 设 X1,X 2,X n 是独立同分布的随机变量序列,EXi=,DX i=2,i=1 ,2,N,令 Yn= 证明:随机变量序列Yn)依概率收敛于 24 假设 G=(x,y) x 2+y2r2,而随机变量 X 和 Y 的联合分布是在区域 G 上的均匀分布试确定随机变量 X 和 y 的独立性和相关性24 设 X1P(

6、 1),X 2P( 2),且 X1 与 X2 相互独立25 证明 X1+X2 的分布为 P(1+2);26 求在 X1+X2=n(n1)的条件下,X 1 的条件分布考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷 78 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 +f1(x)dx=a +f(x)dx+b +f2(x)dx 如=a+b=1,知四个选项均满足这个条件,所以再通过 确定正确选项由于 F(0)= 0f(x)dx=a 0f1(x)dx+b 0f2(x)dx=【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由题意知,

7、因此本题选 C【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由概率密度的性质知 +Aex dx=Ae =1,可得 A=e于是PX+a)= +aeex dx=1e a ,与 无关,随 a 增大而增大【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 因为(X,Y)服从二维正态分布,故 aX+bY 服从一维正态分布,又EX=1,EY=2,则 E(aX+bY)=a+2b,于是显然,只有当 1(a+2b)=0 时,PaX+bY1= 才成立,只有选项(D)满足此条件【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 要使 是 的无偏估计量,应有 即由于 E(S2

8、)=DX=,将它们代入上式得 a+(23a)=,即 因此本题选 C【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 FY(y)=PYy=PF(X)Y,于是:当 y0,F Y(y)=0;当0y1,F Y(y)=PXF1 (y)=y;当 y1,F Y(y)=1,由上可得故应选 C【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题7 【正确答案】 (1a)(1b)【试题解析】 “事件 C 发生必然导致 A 与 B 同时发生”=(1a)(1b)【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 EX 1=PY1= 1+ey dy=e1 ,EX 2=PY2= 2+ey dy=e2 ,

9、所以E(X1+X2)=EX1+EX2=e1 +e2 =【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 (x)【试题解析】 由列维一林德伯格中心极限定理即得【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 1【试题解析】 如图 35 所示,区域 G 即图中CIAB 的面积 所以(X,Y)的概率密度为因此可得关于 Y 的边缘概率密度为 其中 D 如图 35 阴影部分所示【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 关于 X 与关于 Y 的边缘分布律分别为【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 设随机变量(2X,Y+1)的分布函数为 F1(x,y),则 F1

10、(x,y)=P2Xx,Y+1y【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 因为 AB C,所以 P(C)P(AB)=P(A)+P(B) P(A B)P(A)+P(B)=1,故 P(A)+P(B)P(C)1【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 设 Ai=第 i 个零件是合格品,i=1,2,3,则所以 X的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 设 Xi 为“ 第 i 张的号码”,i=1,2,k,则 Xi 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 对任意给定的 0,由于【知识模块】 概率论与数理

11、统计【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 样本 X1,X 2,X n 中 1,2,3 出现的次数分别为v1,v 2,nv 1v 2,则似然函数和似然方程为 L()= 2v12(1) v2(1) 2(nv 1 2)=2v2(1) 2n2v 1v 2, ln L()=ln 2 v2+(2v1+v2)ln+(2n2v 1v 2)ln(1),令则似然方程的唯一解就是参数 的最大似然估计量【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 总体 X 的数学期望为 EX= 2+40(1)+3(1 ) 2,在上式中用样本均值 估计数学期望 EX,可得 2 的矩估计量【知识模块】 概率论与数理统计1

12、9 【正确答案】 对于样本值 1,1,2,1,3,2,由上面得到的一般公式,可得最大似然估计值【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 如图 37 所示,0xr,所以【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 设 Z 的分布函数为 FZ(z),则【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 因 X 2(n),所以 X 可表示为 其中X1,X 2,X n 相互独立,且均服从 N(0,1),于是【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由切比雪夫不等式得【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 X 和 Y 的联合概率密度为 那么X 的概率密度 1f(x)和 Y 的

13、概率密度 f2(y)分别为由于f(x,y)f 1(x)f2(y),所以随机变量 X 和 Y 不独立证明 X 和 Y 不相关,即证 X 和Y 的相关系数 =0因 EX= +xf1(x)dx 因此有Cov(X,Y)=E(XY)= + +xyf(x,y)dxdy= 于是 X 和Y 的相关系数 =0故 X 和 Y 不相关,但也不独立【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 PX 1+X2=n所以有X1+X2 的分布为 P(1+2)【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 PX 1=kX 1+X2=n)=Cnkpk(1p) nk ,其中 ,k=0,1,n,所以在 X1+X2=n(n1)的条件下,X 1 的条件分布为 B(n,p)【知识模块】 概率论与数理统计

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