1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 78 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，概率密度为 f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中 f1(x)是正态分布 N(0， 2)的概率密度，f 2(x)是参数为 的指数分布的概率密度，已知则 ( )2 设 X1，X 2，X n(n1)是来自总体 N(0，1)的简单随机样本，记则 ( )3 设随机变量 X 的概率密度为 则概率 PX（A）与 a 无关，随 增大而增大（B）与 a 无关，随 增大而减小（C）与 无关，随 a 增大而增大（D）与 无关，随 a 增大而减小4
2、设随机变量(X，Y) 服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1 ，1)，Y N(2 ，4) ，X 与 Y 的相关系数为 且概率 PaX+bY1= ，则 ( )5 设总体 XP()( 为未知参数)，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值与方差分别为 是 的无偏估计量，常数 a 应为 ( )（A）1（B） 0（C）（D）16 XN(， 2)，F(x)为其分布函数，则随机变量 Y=F(X)的分布函数 ( )（A）处处可导（B）恰有 1 个不可导点（C）恰有 2 个不可导点（D）恰有 3 个不可导点二、填空题7 事件 A 与 B 相互独立，P(A)=a，P(B)=b，如果事件
3、C 发生必然导致 A 与 B 同时发生，则 A，B，C 都不发生的概率为 _8 设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布，记 则E(X1+X2)为_9 设 X1，X 2，X n 是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为 的泊松分布，则 =_ 10 设二维随机变量(X，Y)在上服从均匀分布，则条件概率=_11 设二维随机变量(X，Y)的分布律为 则X 与 Y 的协方差为_12 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 F(x，y)，则随机变量(2X ，Y+1)的概率密度 f1(x，y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 AB C试证明： P(A)+P(B)P(C)114
4、 一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第 i 个零件是不合格品的概率(i=1，2，3)，以 X 表示三个零件中合格品的个数，求 X 的分布律15 袋中有 n 张卡片，分别记有号码 1，2，n，从中有放回地抽取 k 次，每次抽取 1 张，以 X 表示所得号码之和，求 EX，DX16 设X n是一随机变量序列，X n(n=1，2，)的概率密度为试证：16 设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，且 X 的概率分布为其中 01分别以 v1，v 2 表示X1，X 2，X n 中 1，2 出现的次数，试求：17 未知参数 的最大似然估计量；18 未知参数 的矩估计量；19 当样本
5、值为 1，1，2，1，3，2 时的最大似然估计值和矩估计值20 向半径为 r 的圆内随机抛一点，求此点到圆心的距离 X 的分布函数 F(x)，并求21 设随机变量(X，Y) 的概率密度为求 Z=X2+Y2 的概率密度 fZ(z)22 若 X 2(n)，证明：EX=n，DX=2n 23 设 X1，X 2，X n 是独立同分布的随机变量序列，EXi=，DX i=2，i=1 ，2，N，令 Yn= 证明：随机变量序列Yn)依概率收敛于 24 假设 G=(x，y) x 2+y2r2，而随机变量 X 和 Y 的联合分布是在区域 G 上的均匀分布试确定随机变量 X 和 y 的独立性和相关性24 设 X1P(
6、 1)，X 2P( 2)，且 X1 与 X2 相互独立25 证明 X1+X2 的分布为 P(1+2)；26 求在 X1+X2=n(n1)的条件下，X 1 的条件分布考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 78 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 +f1(x)dx=a +f(x)dx+b +f2(x)dx 如=a+b=1，知四个选项均满足这个条件，所以再通过 确定正确选项由于 F(0)= 0f(x)dx=a 0f1(x)dx+b 0f2(x)dx=【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由题意知，
7、因此本题选 C【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由概率密度的性质知 +Aex dx=Ae =1，可得 A=e于是PX+a)= +aeex dx=1e a ，与 无关，随 a 增大而增大【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，故 aX+bY 服从一维正态分布，又EX=1，EY=2，则 E(aX+bY)=a+2b，于是显然，只有当 1(a+2b)=0 时，PaX+bY1= 才成立，只有选项(D)满足此条件【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 要使 是 的无偏估计量，应有 即由于 E(S2
8、)=DX=，将它们代入上式得 a+(23a)=，即 因此本题选 C【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 FY(y)=PYy=PF(X)Y，于是：当 y0，F Y(y)=0；当0y1，F Y(y)=PXF1 (y)=y；当 y1，F Y(y)=1，由上可得故应选 C【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题7 【正确答案】 (1a)(1b)【试题解析】 “事件 C 发生必然导致 A 与 B 同时发生”=(1a)(1b)【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 EX 1=PY1= 1+ey dy=e1 ，EX 2=PY2= 2+ey dy=e2 ，
9、所以E(X1+X2)=EX1+EX2=e1 +e2 =【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 (x)【试题解析】 由列维一林德伯格中心极限定理即得【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 1【试题解析】 如图 35 所示，区域 G 即图中CIAB 的面积 所以(X，Y)的概率密度为因此可得关于 Y 的边缘概率密度为 其中 D 如图 35 阴影部分所示【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 关于 X 与关于 Y 的边缘分布律分别为【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 设随机变量(2X，Y+1)的分布函数为 F1(x，y)，则 F1
10、(x，y)=P2Xx，Y+1y【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 因为 AB C，所以 P(C)P(AB)=P(A)+P(B) P(A B)P(A)+P(B)=1，故 P(A)+P(B)P(C)1【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 设 Ai=第 i 个零件是合格品，i=1，2，3，则所以 X的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 设 Xi 为“ 第 i 张的号码”，i=1，2，k，则 Xi 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 对任意给定的 0，由于【知识模块】 概率论与数理
11、统计【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 样本 X1，X 2，X n 中 1，2，3 出现的次数分别为v1，v 2，nv 1v 2，则似然函数和似然方程为 L()= 2v12(1) v2(1) 2(nv 1 2)=2v2(1) 2n2v 1v 2， ln L()=ln 2 v2+(2v1+v2)ln+(2n2v 1v 2)ln(1)，令则似然方程的唯一解就是参数 的最大似然估计量【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 总体 X 的数学期望为 EX= 2+40(1)+3(1 ) 2，在上式中用样本均值 估计数学期望 EX，可得 2 的矩估计量【知识模块】 概率论与数理统计1
12、9 【正确答案】 对于样本值 1，1，2，1，3，2，由上面得到的一般公式，可得最大似然估计值【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 如图 37 所示，0xr，所以【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 设 Z 的分布函数为 FZ(z)，则【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 因 X 2(n)，所以 X 可表示为 其中X1，X 2，X n 相互独立，且均服从 N(0，1)，于是【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由切比雪夫不等式得【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 X 和 Y 的联合概率密度为 那么X 的概率密度 1f(x)和 Y 的
13、概率密度 f2(y)分别为由于f(x，y)f 1(x)f2(y)，所以随机变量 X 和 Y 不独立证明 X 和 Y 不相关，即证 X 和Y 的相关系数 =0因 EX= +xf1(x)dx 因此有Cov(X，Y)=E(XY)= + +xyf(x，y)dxdy= 于是 X 和Y 的相关系数 =0故 X 和 Y 不相关，但也不独立【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 PX 1+X2=n所以有X1+X2 的分布为 P(1+2）【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 PX 1=kX 1+X2=n)=Cnkpk(1p) nk ，其中 ，k=0，1，n，所以在 X1+X2=n(n1)的条件下，X 1 的条件分布为 B(n，p)【知识模块】 概率论与数理统计
