1、考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (16 年 )设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，则 f(x1，x 2，x 3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面（C）椭球面（D）柱面2 (98 年 )设 A、B 是两个随机事件，且 0P(A)1 ，P(B)0，P(B | A)= ，则必有（A）P(A | B)= （B） P(A|B) （C） P(AB)=P(A)P(B) （D）P(AB)P(A)P(B) 3 (06 年 )设
2、 A，B 为随机事件，且 P(B)0，P(A | B)=1，则必有（A）P(A B)P(A)（B） P(A B)P(B)（C） P(A B)=P(A) （D）P(A B)=P(B)4 (07 年 )某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为（A）3p(1-p) 2（B） 6p(1 一 p)2（C） 3p2(1 一 p)2（D）6p 2(1 一 p)25 (14 年 )设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P(B)=05，P(AB)=03，则 P(BA)=（A）01（B） 02（C） 03（D）0.46 (15 年 )若
3、 A，B 为任意两个随机事件，则（A）P(AB)P(A)P(B) （B） P(AB)P(A)P(B)（C）（D）二、填空题7 (87 年 )设在一次试验中 A 发生的概率为 p，现进行 n 次独立试验，则 A 至少发生一次的概率为_；而事件 A 至多发生一次的概率为 _8 (87 年 )三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有 3 个黑球3 个白球，第三个箱子中有 3 个黑球 5 个白球现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出 1 个球，这个球为白球的概率等于_已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为_9 (88 年 )设三次独立试验中，事件 A 出现的概率相等若已
4、知 A 至少出现一次的概率等于 ，则事件 A 在一次试验中出现的概率为 _10 (88 年) 在区间 (0，1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 ”的概率为_11 (89 年) 已知随机事件 A 的概率 P(A)=05，随机事件 B 的概率 P(B)=06 及条件概率 P(B | A)=08，则和事件 AB 的概率 P(AB)=_12 (89 年) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 06 和05，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为_13 (90 年) 设随机事件 A， B 及其和事件 A B 的概率分别是 04，03 和06若 表示 B 的对立事件，那么积事件 的概
5、率 =_14 (91 年) 随机地向半圆 0y (a 为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比则原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于的概率为_15 (92 年) 已知 P(A)=P(B)=P(C)= ，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)= ，则事件A、B、C 全不发生的概率为_16 (93 年) 一批产品有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为_17 (94 年) 已知 A、B 两个事件满足条件 P(AB)= ，且 P(A)-p，则 P(B)=_18 (96 年) 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率
6、分别为 1和 2，现从由 A 厂和 B厂的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是 A 厂生产的概率是_19 (97 年) 袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第 2 个人取得黄球的概率是_20 (99 年) 设两两相互独立的三事件 A，B 和 C 满足条件： ABC= ，P(A)=P(B)=P(C) ，且已知 P(A B C)= ，则 P(A)=_21 (00 年) 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 ，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，则 P(
7、A)=_22 (07 年) 在区间 (0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 的概率为_23 (12 年) 设 A，B ，C 是随机事件，A 与 C 互不相容，P(AB)=_24 (88 年) 设随机变量 X 服从均值为 10，均方差为 002 的正态分布已知 (x)=(25)=0.993 8，则 X 落在区间(995，1005)内的概率为_25 (89 年) 设随机变量 在区间 (1，6)上服从均匀分布，则方程 x2+x+1=0 有实根的概率是_。26 (90 年) 已知随机变量 X 的概率密度函数 f(x)= 一x+,则 X 的概率分布函数 F(x)=_三、解答题解答应写出文
8、字说明、证明过程或演算步骤。27 (87 年) 设随机变量 X， Y 相互独立，其概率密度函数分别为求随机变量 Z=2X+Y 的概率密度函数28 (88 年) 设随机变量 X 的概率密度函数为 fX(x)= 求随机变量的概率密度函数 fY(y)29 (91 年) 设二维随机变量(X，Y) 的概率密度为求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数30 (92 年) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从正态分布 N(， 2)，Y 服从一，上均匀分布，试求 Z=X+Y 的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数 表示，其中 (x)=考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 5 答案与解析一、选择题下列每
9、题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 二次型 f(x1，x 2，x 3)的矩阵为 由得 A 的全部特征值为 1=5， 2=3=一 1，因此，二次曲面方程 f(x1，x 2，x 3)=2 在适当的旋转变换下可化成方程 5y12 一 y22 一 y32=2，由此可知该二次曲面是双叶双曲面【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由 1=P(A|B)= 得 P(B)=P(AB)故 P(A B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(A)，选(C)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C
10、【试题解析】 P第 4 次射击恰好第 2 次命中目标=P 前 3 次射击恰中 1 枪，第 4次射击命中目标 =P前 3 次射击恰中 1 枪.P第 4 次射击命中目标=C 31p(1 一 p)2.p=3p2(1 一 p)2【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题7 【正确答案】 1 一(1 一 p)n；(1 一 p)n+np(1 一 p)n-1【试题解析】 由贝努里概型的概率计算公式，A 至少发生一次的概率为 1 一 P(A发生 0 次)=1C n0p0(1 一 p)n-0。 =1 一(1 一 p
11、)n 而 P(A 至多发生 1 次)=P(A 发生0 次)+P(A 恰发生 1 次) =C n0p0(1 一 p)n-0+Cn1p1(1 一 p)n-1 =(1 一 p)n+np(1 一 p)n-1【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 07【试题解析】 由 08=P(B | A)= 得 P(AB)=08P(A)=0 805=04故 P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB)=05+0604=0 7【知识模块】 概率论与数理统计12 【正
12、确答案】 075【试题解析】 记 A=(甲命中目标)，B=(乙命中目标 )，C=(目标被命中)则由题意知：P(A)=0 6，P(B)=0 5，A 与 B 独立且 C=A B，AC=A故 P(C)=P(A B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(A)P(B)=06+05060 5=08 所求概率为 P(A | C)=【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 03【试题解析】 由已知得：06=P(A B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=04+0 3 一 P(AB)得 P(AB)=01 故 =P(AB)=P(A)一 P(AB)=0401=0 3【知识模块】 概率
13、论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 记图 42 中半圆区域为 G，阴影部分区域为 D，面积分别记为 SG和 SD则【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 1 一 p【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 记 C=(取的产品是 A 厂生产的)，D=(取的是次品)由题意知：P(C)=0 6， =04，P(D | C)=001， =002【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 由已知知
14、：P(ABC)=0P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)若记 P(A)=x，可得 =P(AB C)=P(A)+P(B)+P(C)一 P(AB)一P(AC)一 P(BC)+P(ABC)=3x 一 3x2【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 09876【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 【正确答案】 由已知，(X，Y)的联合密度为 f(x，y)=fx(x)fy(y)=而 Z 的分布函数为 Fz(z)=P(Zz)=P(2X+Yz)=当 即 z0 时，Fz(z)=0(图 43(a)则 Z 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 Y 的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 Z 的分布函数为(见图 44)z0 时，F(z)=0【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 由题意，Y 的概率密度为由卷积公式，知 Z 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计
