1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 42（无答案）一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆（B） r(A) n，r(B) n 的充分必要条件是 r(AB) n（C） AX=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)（D）AB 的充分必要条件是 EAE 一 B2 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A*的一个特征值为 ( )（A）（B）（C） |A|（D）|A| n13 设三阶矩阵 A 的特征值为 2=一 1， 2=0， 3=1，则下列结论不正确
2、的是( ) （A）矩阵 A 不可逆（B）矩阵 A 的迹为零（C）特征值一 1，1 对应的特征向量正交（D）方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量4 设 A 为三阶矩阵，方程组 AX=0 的基础解系为 1， 2，又 =一 2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（A） 1+3（B） 33 一 1（C） 1+22+33（D）2 1325 设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（A）矩阵 A 与单位矩阵 E 合同（B）矩阵 A 的特征值都是实数（C）存在可逆矩阵 P，使 PAP1 为对角阵（D）存在正交阵 Q，使 QTAQ
3、 为对角阵6 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（A）A 的 n 个特征值都是单值（B） A 是可逆矩阵（C） A 存在 n 个线性无关的特征向量（D）A 一定为 n 阶实对称矩阵7 设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A=T，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）48 设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( ) （A）C TAC（B） A1+B1（C） A*+B*（D）AB二、填空题9 设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为一 ，1，则 |4A*+3E|=_10 设 = 的特征向量，则a=_，b=_11 已知 A= 有三个线
4、性无关的特征向量，则 a=_12 设 A 为三阶实对称矩阵，且 1= 为 A 的不同特征值对应的特征向量，则 a=_13 设 AB，其中 A= ，则x=_，y=_14 设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 =3， 2=3=5，且 1=3 对应的线性无关的特征向量为 1= ，则 2=3=5 对应的线性无关的特征向量为_15 设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T，则 A 的特征值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 A= 有三个线性无关的特征向量(1)求 a； (2) 求 A 的特征向量； (3)求可逆矩阵 P，使得 P1AP 为对角阵17 设 A= 为 A 的
5、特征向量(1)求 a，b 及 A 的所有特征值与特征向量(2)A 可否对角化 ?若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P1AP 为对角矩阵18 设 A= ，求 A 的特征值，并证明 A 不可以对角化19 设 A= ，已知 A 有三个线性无关的特征向量且 =2 为矩阵 A 的二重特征值，求可逆矩阵 A，使得 A1AP 为对角矩阵20 设 ATA=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 121 设 为 A 的特征值 (1)证明：A T 与 A 特征值相等； (2)求 A2，A 2+2A+3E 的特征值； (3)若 |A|0，求 A1，A *，EA 1 的特征值22 设 X1，X 2 分别为 A 的属于不同
6、特征值 1， 2 的特征向量证明：X 1+X2 不是A 的特征向量23 = 0，求 A 的全部特征值，并证明 A 可以对角化24 设向量 =(a1，a 2，a n)T，其中 a10，A= T (1)求方程组 AX=0 的通解； (2)求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量25 设 = ，A= T，求|6E An|26 设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，其对应的线性无关的特征向量分别为 1= ，求 An27 设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量若 A2 有特征值 ，其对应的特征向
7、量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量? 说明理由28 设 A，B 为 n 阶矩阵(1)是否有 ABBA； (2)若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA 29 设 为 n 维非零列向量，A=E (1)证明：A 可逆并求 A1； (2)证明： 为矩阵 A 的特征向量30 设矩阵 A= 有一个特征值为 3 (1)求 y； (2)求可逆矩阵 P，使得(AP)T(AP)为对角矩阵31 设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 一 3A=O，设(1，1，一 1)T 为 A 的非零特征值对应的特征向量 (1)求 A 的特征值； (2) 求矩阵 A32 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=8， 2=3=2，矩阵 A 的属于特征值 1=8 的特征向量为 1= ，求属于 2=3=2的另一个特征向量33 设 n 阶矩阵 A 满足(aEA)(bEA)=O 且 ab证明：A 可对角化
