1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (00 年 )设 S：x 2+y2+z2=a2 (z0)，S 1 为 S 在第一卦限中的部分，则有二、填空题2 (93 年 )设数量场 则 div(gradu)=_3 (94 年 )设区域 D 为 x2+y2R2，则4 (98 年 )设 l 是椭圆 其周长记为 a，则 (2xy+3x2+4y2)ds=_5 (01 年 )设 则 div(gradr)|(1,-2,2)=_6 (01 年 )交换二次积分的积分次序： -10dy21-yf(x，y)dx=_7 (04 年 )设
2、L 为正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，则曲线积分 Lxdy 一 2ydx的值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 (91 年 )在过点 O(0，0)和 A(，0)的曲线族 y=asinx(a0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从 O 到 A 的积分 L(1+y3)dx+(2x+y)dy 的值最小9 (92 年 )计算曲面积分 其中为上半球面 的上侧10 (92 年) 在变力 F=yzi+xzj+xyk 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面=1 上第一卦限点 M(， ，)，问当 ， 取何值时，力 F 所作的功W 最大?并求出 W 的最大值11 (93 年) 计算
3、 2xzdydz+yzdzdx-z2dxdy。其中 是由曲面 z=所围立体表面的外侧12 (94 年) 计算曲面积分 ，其中 S 是由曲面 x2+y2=R2 及两平面z=R，z=-R(R0)所围成立体表面的外侧13 (95 年) 设函数 f(x)在区间 0，1上连续，并设 01f(x)dx=A，求 01dxx1f(x)f(y)dy14 (95 年) 计算曲面积分 其中为锥面 在柱体 x2+y22x 内的部分15 (95 年) 设函数 Q(x，y)在 xOy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分L2xydx+Q(x， y)dy 与路径无关，并且对任意 t 恒有 (0,0)(t,1)2xydx+Q(
4、x，y)dy= (0,0)(1,t)2xydx+Q(x，y)dy 求 Q(x，y)16 (96 年) 计算曲面积分 (2x+z)dydz+zdxdy，其中 S 为有向曲面 z=x2+y2 (0z1)，其法向量与 z 轴正向的夹角为锐角17 (97 年) 计算 I= (x2+y2)dv，其中 为平面曲线 绕 z 轴旋转一周形成的曲面与平面 z=8 所围成的区域18 (97 年) 计算曲线积分 (z 一 y)dx+(xz)dy+(xy)dz，其中 c 是曲线从 z 轴正向往 z 轴负向看 c 的方向是顺时针方向19 (98 年) 确定常数 ，使在右半平面 x0 上的向量 A(x，y)=2xy(x
5、4+y2)ix2(x4+y2)j 为某二元函数 u(x，y)的梯度，求 u(x，y)20 (98 年) 计算 其中为下半球面 的上侧，a 为大于零的常数21 (99 年) 求 I=L(exsiny 一 b(x+y)dx+(excosyax)dy，其中 a，b 为正的常数,L 为从点 A(2a，0)沿曲线 y= 到点 O(0，0)的弧22 (99 年) 设 S 为椭球面 的上半部分，点 P(x，y，z) S， 为 S 在点 P 处的切平面， (x，y ，z) 为点 O(0，0，0)到平面 的距离，求23 (00 年) 计算曲线积分 其中 L 是以点 (1，0)为中心、R 为半径的圆周(R1) 取
6、逆时针方向24 (00 年) 设有一半径为 R 的球体，P 0 是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P0 距离的平方成正比 (比例常数 k 0)，求球体的重心位置25 (01 年) 设有一高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程 z=h(t)一 (设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 09)，问高度为 130 厘米的雪堆全部融化需多少小时?26 (01 年) 计算 I= (y2 一 z2)dx+(2z2 一 x2)dy+(3x2 一 y2)dz，其中 L 是平面 x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1 的交线，
7、从 z 轴正向看去，L 为逆时针方向27 (02 年) 计算二重积分 ，其中 D=(x，y)|0x1，0y128 (02 年) 设函数 f(x)在( 一，+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b) ，终点为(c，d) 记(1)证明曲线积分 I 与路径 L 无关；(2)当 ab=cd 时，求 I 的值29 (03 年) 已知平面区域 D=(x，y)|0x，0y，L 为 D 的正向边界试证：30 (03 年) 设函数 f(x)连续且恒大于零，其中 (t)=(x，y，z)|x2+y2+z2t2，D(t)=(x， y)|x2+y2t2，(1)讨论 F(t)在
8、区间(0，+)内的单调性(2)证明当 t0 时，F(t)考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 高等数学二、填空题2 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 【试题解析】 利用极坐标进行计算【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 12a【试题解析】 椭圆 l 的方程可改写为 3x 2+4y2=12 将上式代入积分得由于 xy 是 x 的奇函数，曲线 l 关于 y 轴对称，则【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正
9、确答案】 12dx01-xf(x，y)dy【试题解析】 先画积分域草图(见图 29)，由此可知 -10dy21-yf(x,y)dx=12dx01-xf(x,y)dy【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 圆周 x2+y2=2 的参数方程为 则 Lxdy 一 2ydx【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 I(a)= L(1+y3)dx+(2x+y)dy=01+a3sin3x+(2x+asinx)acosxdx=令 I(a)=一 4+4a2=0，得 a=1(a=一 1 舍去)；又 I“(1)=80，则 I(a)在a=1 处取极小值，
10、且 a=1 是 I(a)在(0，+) 内的唯一极值点，故 a=1 时 I(a)取最小值，则所求曲线为 y=sinx(0x)【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 记 1 为平面 的下侧， 为 1 和所围成的区域，则由高斯公式可知【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 由原点到 M 点的直线方程为【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 由高斯公式得【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 设 S1，S 2，S 3 依次为 S 的上、下底和圆柱面部分，则记 S1，S 2 在 xOy 面上的投影区域为 Dxy，则记 S3 在 yOz 平面上的投影区域为 Dyz，则【知识模块】 高等数学13 【正
11、确答案】 交换积分次序可得 01dxx1f(x)f(y)dy=01dy0yf(x)f(y)dx =01dx0xf(x)f(y)dy 从而 2 01dxx1【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 曲面在 xOy 平面上的投影区域记为 D：x 2+y22x，则【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 由于曲线积分 +Q(x，y)dy 与路径无关，于是 Q(x，y)=x 2+(y)又 (0,0)(t,1)2xydx+Q(x，y)dy=01t2+(y)dy=t2+01(y)dy(0,0)(1,t)2xydx+Q(x，y)dy=【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 补平面 S1： 的下侧，则【知识
12、模块】 高等数学17 【正确答案】 利用柱坐标进行计算【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 曲线 C 的参数方程为 则【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 P(x，y)=2xy(x 4+y2)， Q=一 x2(x4+y2) 4x(x4+y2)(+1)0 从而可知 =一 1在 x0 处取点(1，0) ，则【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 采用补面法，根据前面分析不能直接补 z=0由于下半球面上的点(x，y，z) 应满足 x2+y2+z2=a2，则其中 为和 S 围成的区域，D 为 xOy 面上的圆域 x2+y2a2于是【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 将原线积分分为两部分
13、则b(x+y)dx+axdy=0(一 a2bsint 一 a2bsintcost 一 a2bsin2t+a3cost+a3cos2t)dt【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 设(X，Y，Z)为 上任一点，则 的方程为从而可知【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 作椭圆 C：4x 2+y2=2 (C 取逆时针方向， 是足够小的正数，使 4x2+y2=2 全含在 L 内)由格林公式知其中 S 为椭圆域 4x2+y22 的面积【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 取球心为原点，球面与 x 轴正向的交点为 P0，则 P0 坐标为(R，0，0) 记所考虑球体为 ，则球面方程为 x2+y2+
14、z2=R2【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设 V 为雪堆体积，S 为雪堆的侧面积，则由 h(0)=130 得 令 h(t)=0，得 t=100(小时)因此高度为 130 厘米的雪堆全部融化所需时间为 100 小时【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 记 S 为平面 x+y+z=2 上 L 所围成部分的上侧，D 为 S 在 xOy 坐标面上的投影，由斯托克斯公式得【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 令 D1=(x，y)|0x1，0yx,D 2=(x，y)|0x1，xy1 ，【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 (1)因为 在上半平面内处处成立，所以在上半平面内曲线积分 I 与路径无关(2)由于 I 与路径无关，故可取积分路径 L 为由点(a ，b)到点(c，b)再到(c ，d)的折线段，所以【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 左端= 0esinydy0e-sinxdx=0(esinx+e-sinx)dx 右端= 0e-sinydy0esinxdx=【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 (1)由上式可知，当 t(0，+)时，F(t)0，故 F(t)在(0，+)上单调增(2)证 由于要证明 t0 时，F(t) 只需证明 t0 时，即 0tf(r2)r2dr0tf(r2)dr0tf(r2)rdr20【知识模块】 高等数学
