1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 115 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时 与 xn 是同阶无穷小量，则 n 等于( )（A）1（B） 2（C） 3（D）42 设 f(x)具有二阶导数，且 f(0)=0，f(0)=2，f(0)=-4，则 等于( )（A）不存在（B） 0（C） -1（D）-2 3 设 f(x)在点 x=0 处可导，且 ，则 f(0)等于( )（A）0（B） 1（C） 2（D）34 曲线 y=(x-1)2(x-2)2 的拐点为( )（A）(1 ，0)（B） (2，0) （C） (-1，0)（D）(-2，0)5 设 f(x)是
2、以 l 为周期的连续周期函数，则 (其中 a 为任意常数，k为自然数)的值( )（A）仅与 a 有关（B）仅与 k 有关（C）与 a，k 均无关（D）与 a， k 均有关6 由曲线 y= lnx，直线 x= ，x=e 及 y=0 所围成的图形的面积为( )7 二元函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续是函数 z=f(x，y)在该点处两个偏导数fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)都存在的( )（A）必要但非充分条件（B）充分但非必要条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件8 设 w=f(u)可导，u=(x ，y)具有连续偏导数，则必有( )9 设有空间区域 1=(x， y
3、，z)x 2+y2+z2R2，z0，2=(x，y，2) x 2+y2+z2R2，x0，y0，z0，则下列选项中正确的是( )10 设是球面 x2+y2+z2=1 的外侧在 x0，y0，z0 的部分，则曲面积分xyzdxdy=( )11 已知幂级数 在 x=2 点处条件收敛，则幂级数 n(x+a)n 在 x=处( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不能确定12 利用变量代换 x=ex 可以将微分方程 x2 (x0)化为( )二、填空题13 =_.14 =_.15 设 f(x)=(x-1)arcsin ，则 f(1)=_16 设点(1 ，3)是曲线 y=ax3+bx2 的拐点，则
4、 a=_，b=_17 设 f(ex)= 则 f(x)=_18 =_.19 一根长为 1 的细棒位于 x 轴的区间0，1上，若其线密度 (x)=-x2+2x+1，则该细棒的质心坐标 =_20 设 f(u，v)是二元可微函数， =_.21 设 f(x，y)在有界闭区域 D=(x，y)x 2+y2t2)(t0)上连续，g(x) 有连续的导数，且 g(0)=0，g(0)=a0 ，则 =_.22 设 f(x，y)在区域 D=(x，y) +y21上具有二阶连续偏导数，L 是椭圆+y2=1 的顺时针方向，则 I=L3y+fx(x，y)dx+f y(x，y)dy=_23 =_.24 设 f(x)= bnsin
5、nx 是 f(x)的傅里叶级数，则=_.25 微分方程 y+3y+2y=e-x 满足条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解为_考研数学一（高等数学）模拟试卷 115 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为当 x0 时， 与 xn 是同阶无穷小量，所以故 n-1=2，即 n=3【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 这是一个已知导数求极限的问题【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 由条件 从而 f(0)=0又 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 设 f(x)=(x-1)
6、2，则 y=f(x)(x-2)2，x=2 是 y 的三重零点，是 y的二重零点，是 y的零点，不是 y的零点，即 y(2)=0，y(2)0所以(2，0)是曲线y=(x-1)2(x-2)3 的拐点【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)是以 l 为周期的连续周期函数，故可考虑用平移变换化简积分表达式因为【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 题中所给图形如图 12 所示，故所求面积【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 由二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续、偏导数存在、偏导数连续和可微之间的关系知，二元函数 f(x，y
7、)在点(x 0，y 0)连续是 f(x，y)在该点处两个偏导数 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)都存在的无关条件，故应选 D事实上，若取 f(x，y)=，则 f(x，y)在点(0 ，0)处偏导数 fx(0，0)，f y(0，0)不存在，但 f(x，y)在点(0， 0)处连续若取 f(x，y)= 则由偏导数的定义同理 fy(0，0)=0 ，但由于 不存在，所以 f(x，y)在点(0，0)处不连续【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查二元函数的梯度的计算由梯度计算公式故应选 A【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 C【试题解析】 由于 1 关于 xOz 面、
8、yOz 面对称，而函数 z 关于 y，x 均是偶函数，故 应选 C【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查利用直接计算法计算第二类曲面积分的方法利用“一代二投三定向”将其转化为二重积分进行计算曲面可写成 ，其在xOy 面上的投影区域为 x2+y21，x0，y0，取上侧，则【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 B【试题解析】 因为幂级数 在 x=2 点处条件收敛，故它的收敛半径为R=2因为如果 R2，则幂级数 在 x=2 点处应发散，矛盾；如果R2，则幂级数 在 x=2 点处应绝对收敛，矛盾 从而幂级数的收敛区间为(a-2， a+2)，由已知条件知， x=2 是其收
9、敛区间的一个端点，故 a=0 或a=4当 a=0 时，原幂级数为 ，该幂级数在 x=2 时为 ，发散，与已知条件矛盾；当 a=4 时，原幂级数为 ，该幂级数在 x=2 时为，条件收敛故 a=4幂级数 的收敛半径为 1，收敛区间为(-4-1，-4+1)=(-5 ，-3)，而 x= e(-5，-3)故幂级数处绝对收敛【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查利用变量代换将欧拉方程转化为线性常系数微分方程的方法 由 x=et，得 t=lnx于是 将它们代入到原方程，并化简得【知识模块】 高等数学二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学14 【正确
10、答案】 【试题解析】 这是一个 型未定式的极限，但用洛必达法则求不出来可将分子提取 esinx 或 ex，然后利用等价无穷小替换进行转化【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 本题是初等函数的求导问题，一般应先求导函数，再求导数值由于本题函数表达式的特殊性，用导数定义求 f(1)更简捷【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 y=3ax 2+2bx，y=6ax+2b 因为点(1，3)是曲线 y=ax3+bx2 的拐点，所以 3=a+b由拐点的必要条件，得 y x=1=6a+2b=0，解关于 a，b 的方程组，得【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】
11、 这是一个函数记号的灵活表示与分段函数不定积分的综合问题，先写出 f(x)的表达式，再求 f(x) 令 ex=t，则 x=ln t，于是因为lnxdx=xlnx-x+C，所以由原函数的连续性，得 (xlnx+C1)，即 1+C2=C1，令 C2=C，则C1=1+C，从而【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 一般地，被积函数中，如果有哪一项或哪一因子导致不易积出时，就令其为 t，用第二换元法计算令 =t，e x=t2-1，x=ln(t 2-1)，则【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【试题解析】 因为，所以，所求质心坐标为【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【试题解
12、析】 这是一个二元复合函数的一阶偏导数计算问题由二元复合函数偏导数的链式法则，有【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【试题解析】 由积分中值定理，其中(，)为积分区域x2+y2t2 上的一个点，则【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 6【试题解析】 本题考查格林公式及混合偏导数相等的条件 由题设条件知，D 是由 L 围成的区域，由于 L 是顺时针方向，由格林公式，得 I= L3y+fx(x，y)dx+fy(x，y)dy= fyx(x，y)-3-f xy(x，y)dxdy 由于 f(x，y)具有二阶连续偏导数，所以 fxy(x，y)=f yx(x，y) ，故 I= 3dxdy=3.2.
13、1=6【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 0【试题解析】 用一般求数列极限的方法无法求出该极限，考虑级数 的敛散性因为 由比值审敛法知，该级数收敛，由级数收敛的必要条件有【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 1【试题解析】 f(x)的图形如图 54 所示，因为 s(x)= bnsinnx 是 f(x)的傅里叶级数(正弦级数) ，所以应先将 f(x)延拓成-1，1上的奇函数，再将其延拓成周期为 2 的周期函数，由傅里叶级数收敛定理，有【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 y=2e -x-e-2x+xe-x【试题解析】 这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程求特解问题首先，求y+3y+
14、2y=0 的通解y+3y+2y=0 的特征方程为 r2+3r+2=0，特征根为r1=1，r 2=-2，所以其通解为 y=C1e-x+C2e-2x 其次，求 y+3y+2y=e-x 的一个特解因为-1 是特征单根，故设 y*=Axe-x 是其一个特解，则 y *=Ae-x-Axe-x， y*=2Ae-x+Axe-x，将其代入到 y+3y+2y=e-x 并化简，得 A=1，所以 y*=xe-x 第三，写出 y+3y+2y=e-x 的通解，为 y=Y+y*=-C1ex+C2e-2x+xe-x 第四，求满足初始条件y(0)=1，y(0)=1 的特解y=-C 1e-x-2C2e-2x+e-x-xe-x，由 y(0)=1，y(0)=1，得解得 C1=2，C 2=-1，故所求特解为 y=2e-x-e-2x+xe-x【知识模块】 高等数学
