1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 130 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列函数： 在(0，1)内有界的有( )个（A）0（B） 1（C） 2（D）32 设函数 f(x)在 x=x0 处可导，则函数f(x)在点 x=x0 处不可导的充分必要条件是( )（A）f(x 0)=0，f(x 0)=0（B） f(x0)=0，f(x 0)0（C） f(x0)0，f(x 0)0（D）f(x 0)0)03 设为柱面 x2+y2=5 介于一 1z1 的部分，则曲面积分 的值为( )（A）一 20（B） 20（C）（D）4 5 设二阶常系数齐次线性微分方程 y+by+
2、y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是( )（A）0 ，+)（B） (一，0)（C） (一，4（D）(一， +)二、填空题6 已知动点 P 在曲线 y=x3 上运动，记坐标原点与 P 间的距离为 l若点 P 横坐标时间的变化率为常数 v0，则当点 P 运动到点(1，1)时， l 对时间的变化率是_7 已知向量 a、b、c 都是单位向量，且满足 a+b+c=0，则 ab+bc+ca=_8 设 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求极限10 设 g(x)在 x=0 的某邻域内连续，且 已知在 x=0 处连续，求 a,b11 设 可导，求
3、a，b12 验证函数 在0，2上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理中的点 13 设 f(x)在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)=f(b)，f(a)f(b)0 ，试证：至少存在一点 (a，b) ，使得 f()=014 求15 设 f(x)连续，且 求 f(x)16 设 f(x)在 一 1，1上连续， f(0)=1，求17 设 y=y(x)由方程 确定，且 y(0)=0，求 y=y(x)的最小值18 求证：若向量 a、b、 c 不共面，则向量 ab，bc，ca 也不共面18 如图 171 所示， 设函数19 当 f 连续时，求 uyx(x，y)和 uxy(x，y)20 当 f 具有
4、连续的一阶偏导数时，进一步再求 uxx(x，y)和 uyy(x，y)21 设函数 f(x)、g(x) 均可微，且满足条件 u(x，y)=f(2x+5y)+g(2x5y)，u(x，0)一sin2x， uy(x，0)=0求 f(x)、g(x)、u(x ，y)的表达式22 计算二重积分 其中积分区域为D=(x，y) x1 ，0y223 将下列累次积分 按照先 y、次 z、后 x 的次序，换成新的累次积分24 设 f(x)、g(x) 均为连续二阶可导的函数，若曲线积分其中 L 为平面上任意一条简单封闭曲线 (1)试求：f(x) 、g(x)使得 f(0)=g(0)=0 (2)计算沿任意一条曲线从点(0
5、，0) 到点 (1，1)的曲线积分25 设是平面26 设有一半径为 R 的球体，P 0 是此球表面上的一个定点，球体上任意一点的密度与该点到 P0 的距离的平方成正比(比例常数为 k0)，求球体的重心位置27 计算积分28 求解微分方程 xy一 2y=2x429 求解微分方程(e ysiny 一 2ysinx)dx+(excosy+2cosx)dy=029 设函数 y=y(x)在( 一，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y) 是 y=y(x)的反函数30 试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程31 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0 ， 的解考研
6、数学一（高等数学）模拟试卷 130 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 所以，只有函数 在(0，1)内有界故选 B判断函数的有界性除了用定义及已知函数的有界性外，下列结论也是很有用的：设 f(x)在开区间(a，b) 内连续，若 存在，则 f(x)在(a ，b) 内有界2 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x0)0，则 排除C、Df(x 0)=0 时，若f(x)在 x0 处不可导，则f(x 0)一f(x 0)，即 f(x0)0故选 B3 【正确答案】 C【试题解析】 故选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 因为当 故选
7、C5 【正确答案】 A【试题解析】 因为特征方程为 2+b+1=0，其判别式为 =b24所以，当 b2 一 40时，要使解 y(x)在(0，+)上有界，只需要 即 b2；当 b2 一 40时，要使解 y(x)在(0，+)上有界，只需要 的实部大于等于 0，即 0b1+c2x)ex 在区间(0，+) 上有界； 当 b=一 2 时，解 y(x)=(c1+c2x)ex 在区间(0 ，+) 上无界 综上所述，当且仅当 b0 时，微分方程 y+by+y=0 的每一个解 y(x)都在区间 (0，+)上有界，故选 A二、填空题6 【正确答案】 应填【试题解析】 设动点为 P(x,x3)，则7 【正确答案】
8、应填【试题解析】 本题主要考查向量的点积运算及向量模的概念因为 a+b+c=0，所以(a+b+c)(a+b+c)=0 ，即 aa+b b+cc+2(a b+bc+ca)=0 ，亦即a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ca)=0，再即 3+2(ab+bc+ca)=0，所以，ab+b c+c a=8 【正确答案】 应填 xy+z【试题解析】 本题考查一阶全微分形式不变性以及复合函数偏导数的求法可用复合函数连锁法则直接求出三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 因为 所以 【试题解析】 该极限为“1 ”型，转化为函数的极限，再用洛必塔法则等方法利用函数极限及洛必塔法则
9、求数列极限的理论依据是： (1)若(2)若10 【正确答案】 由 得 g(0)=1，g(0)=a又 f(x)在 x=0 处连续，所以 可得a=1又【试题解析】 用函数在 x=0 处连续的充分必要条件求解已知分段函数在分段点 x0 处连续，求 f(x)中待定常数的问题，通常利用连续的充要条件，即 f(x)在 x0 处连续的充要条件是 f(x)在 x0 处左、右连续即11 【正确答案】 由 f(x)可导知，f(x)在 x=1 处连续，于是有 即 又由 f+(1)=f(1)，得 2=a 解联立方程，可得 a=2，b=一 1【试题解析】 先计算含参变量的极限，求出 f(x)的表达式，再由连续和可导的充
10、要条件求 a，b 的值(1)若已知在分段点 x0 处函数 f(x)可导，则由方程组可确定函数 f(x)中的两个待定常数(2)在求下列极限时，要讨论参数的取值范围：12 【正确答案】 由 得 f(x)在0，2上连续又 因而 f(x)在(0,2)内可导，且 f(x)在0，2 上满足拉格朗日中值定理由f(x)一 f(x)= 2f()得【试题解析】 用定义判断 f(x)在分段点 x=1 处的连续性和可导性，然后利用拉格朗日中值定理求出相应的 13 【正确答案】 不妨设 f(a)0，则由 f(a)f(b)0 可知，f(b)0由导数的定义：f(x2)f(b) f(a) ，于是有 f(x2)f(a)f(x
11、1)由介值定理，存在点 (x1，x 2)，使得 f()=f(a)由洛尔定理可知 存在点 1(x1，)，使得 f(1)=0， 存在点 2(，x 2)，使得 f(2)=0所以，f(x)在 1， 2上连续，在( 1， 2)内可导，由洛尔定理，存在点 (1， 2) (a，b) ，使得 f()=0【试题解析】 证 f()=0 的关键是找出使得 f(1)=f(2)=0 的区间 1， 2由 f(a)f(b)0 及导数的定义、介值定理和洛尔定理便可找到这样的 1 和 214 【正确答案】 令 arcsinx=t，则 x=sint，dx=costdt原式【试题解析】 含反三角函数的积分，通常令反三角函数为 t，
12、然后分部积分： f(x)arctan(x)dx=arctan(x)dF(x)一 F(x)arctan(x)一 其中 F(x)=f(x)dx 其他反三角函数可用类似的方法积分15 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt+1，则 F(0)=1，F(x)=f(x)由题设可得16 【正确答案】 【试题解析】 所给含参变量的积分不易计算，先将积分拆分，然后由积分中值定理将 f(x)提到积分号外再计算17 【正确答案】 方程两边对 x 求导得 由 y(0)=0，得 2y(0)=1， 所以，y(0)=0 为极小值，又驻点唯一，故y=y(x)的最小值为 y(0)=0【试题解析】 隐函数虽然难以求出其解析
13、表达式，但可以求出它的极值和最值18 【正确答案】 反证法假设向量 ab，bc ，ca 共面，则存在三个不全为零的常数 k1、k 2、k 3，使得 k1(ab)+k2(bc)+k3(ca)=0 对上式分别用向量 a、b、c 作数积，得 所以，a，b，c=0这与向量 a、b、c 不共面矛盾，从而原结论正确【试题解析】 本题主要考查向量混合积的概念、向量共面的概念及其充分必要条件19 【正确答案】 交换二次积分的次序，有20 【正确答案】 21 【正确答案】 因为 uy(x，y)=5f(2x+5y)一 5g(2x 一 5y)，且22 【正确答案】 因为被积函数 关于变量 x 是偶函数，且积分区域
14、D 关于 y 坐标轴对称因此， 其中积分区域 D1=(x，y) 0x1，0yx 2)(x，y)0x1，x 2y2 由于【试题解析】 对于绝对值函数的二重积分，关键问题是根据条件画出相应的图形，如图 185*1351本题的关键在于用到了积分区域的对称性23 【正确答案】 由累次积分 可知，积分区域 在坐标平面 xOy 上的投影为中心在原点的单位圆，而积分区域 是由锥面与平面 z=1 所围成 要按照先 y、次 z、后 x 的次序确定新的累次积分，应当将积分区域 向坐标平面 xOz 上投影，其投影区域是由 z=x，z=一x，z=1 围成的三角形，如图 187 所示【试题解析】 变换累次积分的次序一般
15、应按下列步骤进行：(1)先由原累次积分确定积分区域 ，即将原累次积分变为区域 上的三重积分(2)由区域 上的三重积分，按照新要求的次序，决定新的累次积分的表达式三重积分的累次积分的交换次序，与二重积分的累次积分的交换次序的方法完全一样，都需要作出相应的积分区域的图形24 【正确答案】 在曲线积分 y2f(x)+2yex+2yg(x)dx+2yg(x)+f(x)dy 中，令P(x,y)=y2f(x) +2yex+2yg(x)，Q(x,y)= 2yg(x)+f(x) 则(1)由于曲线积分与路径无关，则 即 2yg(x)+ 2f(x)= 2yf(x)+2ex+2g(x)，亦即 yg(x)+ f(x)
16、= yf(x)+ex+g(x) 比较变量 y 的同次幂前的系数，得 于是，就有g(x) 一 g(x)=ex解此二阶线性微分方程，得通解为 g(x)=c1 ex+c2 e 一 x+ ，其中 c1 c2 为任意常数根据条件 g(0)=0，g(0)= f(0)=0，得(2)再由曲线积分与路径无关，可取路径为 OAB，如图 193 所示， 则 I=Ly2f(x)+2yex+2yg(x)dx+2yg(x)+f(x)dy=01P(x,0)dx+01Q(1,y)dy=010dx+012yg(1)+f(1)dy=g(1)+2f(1)【试题解析】 (1)利用曲线积分与路径无关的充要条件，将问题化为微分方程问题，
17、这是一类很典型的综合题型(2)利用曲线积分与路径无关的充分必要条件在求解曲线积分时，一般均采用折线段的方法25 【正确答案】 因为在曲面上 26 【正确答案】 记所考虑的球体为 ，以 的球心为原点，射线 OP0 为正向 x 轴，建立直角坐标系，则点 P0 的坐标为(R，0，0)，且球面方程为 x2+y2+z2=R2 设 的重心位置为(x *，y *，z *)，由对称性，得【试题解析】 因为坐标系建立的不同，所以球体的重心位置一般也不一样27 【正确答案】 将函数 ln(1x)展开称为 x 的幂级数为【试题解析】 本题的关键在于函数 ln(1x)的幂级数展开式，利用了级数的逐项求积分的方法28
18、【正确答案】 利用线性微分方程的求解方法 利用分离变量的方法，得齐次线性微分方程的通解为 y=cx2，其中 c 为任意常数 利用常数变易法，设非齐次线性微分方程的通解为 y=c(x)x2，代入到原微分方程中，得 c(x)=x2+c于是，原微分方程的通解为 y=(x2+c)x2，其中 c 为任意常数29 【正确答案】 设 P(x，y)=e xsiny 一 2ysinx， Q(x，y)=e xcosy+2cosx，由于则所给方程是一个全微分方程 将所给微分方程重新分项、组合，得 (e xsinydx+excosydy)+(2cosxdy 一 2ysinxdx)=0，即 d(exsiny)+d(2y
19、cosx)=0于是，所给微分方程的通解为 exsiny+2ycosx=c，其中 c 为任意常数【试题解析】 本题主要考查全微分方程的求解方法30 【正确答案】 由反函数的求导法则，知 在上式两边同时对变量 x 求导，得 代入原微分方程，得 y 一 y=sinx 31 【正确答案】 微分方程所对应的齐次微分方程 y一 y=0 的通解为其中 C1，C 2 为任意常数 微分方程的特解为y*=Acosx+Bsinx，代入到微分方程中，得 A=0，其中 c1，c 2 为任意常数 由条件 y(0)=0， 得 c1=1，c 2=一 1因此，所求初值问题的解为【试题解析】 利用反函数的求导法则与复合函数的求导法则求出 的表达式代入原微分方程，即得所求的微分方程然后再求此方程满足初始条件的微分方程利用反函数的求导法则与复合函数的求导法则变换微分方程的形式，这一思路在微分方程的求解过程中经常使用 (1)典型微分方程(诸如：齐次微分方程、线性微分方程、伯努利方程、高阶可降阶的微分方程及欧拉方程)，有固定的解法 (2)非典型微分方程，通常结合微分方程的特定形式，选择适当的变量替换，化为典型的微分方程，常常是求解的一个非常有效的途径
