1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 131 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 =一 2，则 f(x)在 x=a 处( )（A）不可导（B）可导且 f (a)0（C）有极大值（D）有极小值2 设曲面为柱面 x2+y2=5 介于一 1z1 的部分，方向为外侧，则曲面积分 的值为( )（A）10 一 2（B） 210（C） 10（D）03 已知级数 ( )（A）3（B） 7（C） 8（D）94 具有特解 y1=ex ，y 2=2xex ，y 3=3ex 的三阶线性常系数齐次微分方程是 ( )（A）y一 y一 y+y=0（B） y一 2y一 y+2y=0（C
2、） y一 6y+11y一 6y=0（D）y+y一 y一 y=0二、填空题5 设f(x 2)dx=x7+c，则 f(x)=_6 已知向量 p、g、r 两两互相垂直，且p =1，q=2，r=3 ，则向量s=p+q+r 的模为_7 函数 在点(0，1)处的梯度等于_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设 1x9 设 讨论函数 f(x)的连续性，若有间断点，指明其类型10 设 f(x)连续，f(1)存在，且 令 (x)= 01f1+(x1)tdt，求 (x)并讨论其连续性11 设 ba0，f(x)在a，b 上连续，单调递增，且 f(x) 0，证明：存在 (a，b)使得 a2f(b)+
3、b2f(a)=22f()12 设 f(x)在a，b上一阶可导，且 f(x)lM， abf(x)dx=0，试证：当 axb 时，13 求14 设 f(x)连续，f(2)=0，且满足 0xtf(3xt)dt=arctan(1+ex)，求 23f(x)dx15 计算16 讨论方程 实根的个数17 曲线 y=k(x2 一 3)2 在拐点处的法线通过原点，求 k 的值18 已知向量 a 与单位向量 e 不共线，另有一个与它们共面的向量 p，当向量a、e、p 起点相同时，向量 p 关于向量 e 与向量 a 对称，试用向量 a 和向量 e 来表示向量 P19 求函数 f(x，y)=(x 一 6)2+(y+8
4、)2 在 D=(x，y)： z2+y225)上的最大值、最小值20 计算二重积分 其中 D 为 x2+y2=1 与 y=x所围成的区域21 设函数 f(x)在区间a，b上连续，且 f(x)0，证明：22 设函数 f(x)连续，且 F(t)= x2+f(x2+y2)dv，其中空间区域 为：0zh,x 2+y2t2，23 设曲线积分 Lxy2dx+y(x)dy 与路径无关，其中 (x)具有连续的一阶导数，且(0)=0计算曲线积分 I=(0，0) (1，1) xy2dx+y(x)dy 的值24 计算曲面积分25 设有一半径为 a 的物质球面，其上任意一点的面密度等于该点到此球的一条直径距离的平方，试
5、求此球面的质量26 证明：正项级数 与数列(1+a 1)(1+a2)(1+ n)是同敛散的27 已知级数 证明：f(x)+f(1 一 x)+lnxln(1 一 x)=27 设 f(x)、g(x) 均为连续的可微函数，且 x=yf(xy)dx+xg(xy)dy28 若存在二元可微函数 u(x，y)，使得 du=z，求 f(xy)一 g(xy)29 若 f(x)=(x)，求二元可微函数 u(x，y)，使得 du=z考研数学一（高等数学）模拟试卷 131 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由局部保号性定理，存在 a 的去心邻域
6、，使得当即 f(x)知 f(x)在 x=a 处可导，当然在 x=a 处连续所以，f(x)在 x=a 处有极大值故选 C注意极限表达式中隐含的连续、可导等条件及结论2 【正确答案】 D【试题解析】 令 1：z=1 (x 2+y25)，方向向上， 2：z=一 1 (x2+y25)，方向向下，则 12 为一封闭曲面，方向为外侧，设它围成的区域为 ，则其体积 V=故选 D3 【正确答案】 C【试题解析】 因为级数 则级数故选 C4 【正确答案】 D【试题解析】 由方程的齐次性知 ex ，xe x ，e x 是三个线性无关的解，故其对应的特征根为 1=2=一 1， 3=1，于是特征方程为(+1) 2(
7、一 1)=0，即 3+2 一 一1=0故选 D二、填空题5 【正确答案】 应填【试题解析】 由不定积分的定义 f(x 2)=7x6。令 x2=t，则 f(t)=7t3，此题主要考查原函数的概念6 【正确答案】 应填【试题解析】 本题主要考查向量模的概念以及两个向量相互垂直的充分必要条件根据向量模的定义及向量相互垂直的充分必要条件，得 s 2=ss=(p+q+r)(p+q+r) =p p+q q+rr=p 2+q 2+ r 2=14 所以，向量 s=p+q+r 的模为7 【正确答案】 应填1， 0或 i【试题解析】 本题考查梯度的定义和偏导数的求法因为 所以，所求的梯度为1，0或 i三、解答题解
8、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 当 1x+时，由 f(x)0 知，f(x)单调增加，由题设和定积分的性质，可得： 由牛顿一莱布尼兹公式得：即 f(1)f(x) f(1)+1所以，数列f(x)单调有界由单调有界定理知， 存在【试题解析】 要证明 存在，只要证 f(n)单调有界，即证 f(x)单调有界由已知条件、定积分的性质和牛顿一莱布尼兹公式，便可知 f(x)单调有界关于递推数列的极限，用先验证后求或先求后验证这些传统的方法无疑是正确的，但在单调性和有界性判断方面用传统的方法会遇到困难此时，应尽可能转化为函数单调性和有界性的判断这样就可综合运用函数的性质、重要公式和结论来
9、解决极限问题9 【正确答案】 显然，x2 时，f(x)是连续的 而所以 x=2 为 f(x)的连续点所以 x=2 是 f(x)的跳跃间断点【试题解析】 x2 时，f(x)连续，x=2 时，考虑单侧极限10 【正确答案】 所以，(x)在 x=1 连续【试题解析】 由条件 可知，f(1)=0，f(1)=0，于是可得 (1)= 01f (1)dt=0再将参变量提至积分号外，然后求导为求 (1)，用到了隐含条件：设 f(x)在 x=1 连续，则 一般地，有：若 f(x)，f(x)在 x=x0 处连续，则11 【正确答案】 令 F(x)=2x2f(x)一 a2f(b)一 b2 f(a)显然 F(x)在a
10、，b上连续且 F(a)=a2f(a)一 f(b)+ f(a) (a2 一 b2)2 一 a2)+b2f(b)一 f(a)0，由零点定理，至少存在一个点 a，b 使得 F()=0，即 a2f(b)+b2f(a)=22f()【试题解析】 作辅助函数 F(x)=2x2f(x)a 2f(b)一 b2 f(a)，F(x) 在a，b 上用零点定理12 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dt，则 F(x)在 a，b上连续，且 F(a)=F(b)=0由最值定理，存在点 x0a，b ，使得 若 F(x0)=0，则 F(x)0，结论自然成立 若 F(x0)0，由点 x0(a，b)可知，F(x 0)必是 F(
11、x)的极值于是，有F(x0)=0，在 x0 处由台劳公式可得13 【正确答案】 令【试题解析】 变量替换法是积分的一种重要方法，常见的变量替换有：(4)其他变换：令 ln(ax+b)=t，arcsinx=t 等14 【正确答案】 0tf(3x t)dt 2x3xf(u)du =3x2x3xf(u)du2x3xuf(u)du =arctan(1+ex) 两边求导得 32x3xf(u)du +3xf(3x) 33xf(2x) 29xf(3x)+4xf(2x)= 即 32x3xf(u)du2xf(2x)= 令 x=1，得 23f(x)dx=15 【正确答案】 【试题解析】 关于广义积分的计算问题，通
12、常用定义直接计算若 F(x)是 f(x)在(a，+) 上的一个原函数，且16 【正确答案】 由零值定理，f(x)在(0，1)内至少有一个实根 又 所以，当 x0 时，f(x)单调增加，因此，f(x)在0，+) 内有且仅有一个零点 由 f(x)是偶函数可知，f(x)在(一，0)内也只有一个零点，故 f(x)在(一，+)内有两个零点，即原方程有两个实根【试题解析】 可将方程实根的问题转化为 f(x)的零点问题又 f(x)=f(x)，所以，只要讨论 f(x)在0,+) 内的零点问题关于方程实根的个数或两曲线交点的个数问题，通常都可转化为函数的零点问题来讨论，并利用函数的奇偶性缩小讨论区间17 【正确
13、答案】 y=4kx(x 23)，y=12k(x 2 一 1) 令 y=0，得 x=1而 y(1)=y(1)=4k 无论 k 是正数还是负数， (1，4k) 都是曲线 y=f(x)的拐点，所以，过拐点(1，4k)的法线方程为【试题解析】 曲线 y=f(x)过点(x 0，f(x 0)的切线方程为 y 一 f(x0)=f(x0)(xx0)法线方程为18 【正确答案】 利用向量的平行四边形法则 如图 161 所示，由于向量 P 与向量口对称，可见 a+P=ke，且 k=2(ae) 于是，p=2(ea)ea 【试题解析】 本题主要考查向量的投影、共面的概念以及向量的三角形运算法则在平面上，显然用向量的平
14、行四边形法则更容易19 【正确答案】 得 x0=6，y 0=一 8，而(x0，y 0)不在 D 的内部，所以 f(x，y)在 D 的内部没有极值，故它的最大、最小值一定在边界 ：x+y=25 上取到 而在 上：f(x，y)=x 2+y2 一 12x+16y+100=12512x+16y 令 L(x，y，)=f(x，y)+(x 2+y2 一 25)， 得1=2，x 1=一 3，y 1=4，或 2=2，x 2=3，y 2=一 4 而 f(x1，y 1)=125+36+64=225，f(x 2，y 2)=1253664=25， 所以 f(x，y)在 D 上的最大值(即在 上的最大值)为 f(x1，y
15、 1)=225，f(x，y)在 D 上的最小值(即在 上的最小值)为f(x2，y 2)=2520 【正确答案】 【试题解析】 如图 181， 因为被积函数所以应先定变量 x 的上、下限，然后再定变量 y 的上、下限又因为被积函数与积分区域关于 y 坐标轴对称，故只需考虑积分区域 D 在第一象限部分的情况本题若先对变量 y 求积分，虽然只有一个积分表达式但积分却比较繁琐21 【正确答案】 【试题解析】 本题主要考查如何将定积分的问题化为二重积分本题的关键所在是利用了不等式 特别地，设函数 f(x)在区间0,1上连续，则 01e f(x)dx 01 e 一 f(x)dx122 【正确答案】 因为积
16、分空间区域 为柱状区域，且被积函数中的第二项为f(x2+y2)，所以用柱坐标的方法比较简单、方便 因为利用洛必塔法则，得【试题解析】 根据题意，先确定三重积分的相应计算方法(直角坐标、柱坐标、球坐标)然后，再求对应的导数和极限本题的关键在于如何求得函数 F(t)的表达式23 【正确答案】 设 P(x，y)=xy 2， Q(x ，y)=y(x) ，由 即 2xy=y(x)解此一阶线性微分方程，得 (x)=x2+c再由 (0)=0，得 c=0，故 (x)=x2于是：利用全微分方程【试题解析】 本题主要考查曲线积分与路径无关的充分必要条件，一阶线性微分方程求特解的方法以及相应的曲线积分24 【正确答
17、案】 因为曲面在 xOy 坐标平面上的投影区域为 D：x 2+y22x，且25 【正确答案】 利用曲面积分的轮换对称性 选择已知直径所在的直线为 Oz 轴，球心为坐标原点，则球面的方程为 x2+y2+z2=a2，面密度为 =x2+y2，则球面的质量为26 【正确答案】 因为级数 的前 n 项的部分和 Sn 为 Sn=a1+a2+an(1+a1)(1+a2)(1+a n) 由此可见，前 n 项的部分和 Sn 与单调增加数列(1+a 1)(1+a2)(1+a n)是同时有界或同时无界 因此，正项级数与数列(1+a 1)(1+a2)(1+a n)是同敛散的27 【正确答案】 因为幂级 的收敛域为一
18、1，1，所以函数 f(x)的定义域是一 1， 1，函数 f(1 一 x)的定义域是 0，2 令函数 F(x)=f(x)+f(1 一 x)+lnx ln(1x)，则 F(x)的定义域是(0，1) 由于所以， F(x)=f(x)一 f(1 一 x)+lnxln(1 一 x)=0，x(0，1)因此，F(x)=f(z)+f(1 一 x)+lnxln(1 一 x)=c，x(0，1) 在上式两端，令 x1 ，取极限，得从而 f(x)+f(1 一 x)+ lnx?ln(1 一 x)=【试题解析】 欲证明一个函数在整个区间上恒等于常数 C，常用的一个方法是：证明其导数在该区间上恒为零，再计算某个 x 的函数值即得28 【正确答案】 因为其中 c为任意常数29 【正确答案】 由条件 f(x)=(x)及上一题题的结论，知 du=z=yf(xy)dx+xg(xy)dy =y(xy)dx+ =d(xy)一 cd(1ny) =d(xy)一 clny所以，u(x，y)=(xy)一 clny+c0
