1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 138 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)为连续函数，I f(tx)dx，其中 t0，s 0，则 I 的值（A）依赖于 s 和 t（B）依赖于 s，t，x（C）依赖于她，x，不依赖于 s（D）依赖于 s，不依赖于 t2 下列函数中在1，2 上定积分不存在的是3 下列函数中在2，3 不存在原函数的是4 积分 cosxln(2cosx)dx 的值（A）与 a 有关 （B）是与 a 无关的负数（C）是与 a 无关的负数（D）为零5 设常数 0， ，则（A）I 1I 2（B） I1I 2 （C） I1I 2（D）I
2、 1与 I2 的大小与的取值有关 6 下列反常积分中发散的是7 设 f(t) ，则 f(t)在 t0 处（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导8 设 F(x) f(t)dt，f(x)连续，则 F(x)二、填空题9 曲线(x 一 1)3y 2 上点(5 ，8) 处的切线方程是_10 曲线 ylnx 上与直线 xy1 垂直的切线方程为 _11 曲线 上对应点 t2 处的切线方程为 _12 ra(1cos)在点(r ，)(2a ，0)，(a， )，(0，)处的切线方程分别为_13 1 在点 M0(2a， )处的法线方程为_14 设函数 f(x) 的导函数在 x0 处连续，
3、则整数 的取值为_15 _16 _17 _18 (cosxsinx)dx_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 计算下列各题：() 设 y ，求 ；()设 ，求 ；() 设 y ，其中 ab0，求 y。20 计算下列各题：(I)设 ，其中 f(t)三阶可导，且 f(t)0，求；(II)设 ，求 及 在 t 的值。21 计算下列各题：() 由方程 xyy x 确定 xx(y)，求 ；()方程 yx ey1 确定yy(x)，求 y(x)；()设 2xtan(x 一 y) sec2tdt，求 22 设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f(a)3，f(a) 1，f(a)2，求 g
4、(3)23 设 f(x)在( ，) 内二次可导，令 F(x)求常数 A，B ，C 的值使函数 F(x)在(一，)内二次可导24 把 y 看作自变量，x 为因变量，变换方程 25 设 f(x)连续且 2，(x) f(xt)dt，求 (x)并讨论 (x)的连续性考研数学一（高等数学）模拟试卷 138 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 【分析一】 显然，(A)，(B)，(C) 中的 f(x)在一 1，2均有界，至多有一个或两个间断点，因而 f(x)在 一 1，2均可积，即
5、f(x)dx选(D)【分析二】 (D)中 f(x)sin (x0)，f(x)在一 1，2上无界因为 xn 一1，2， f(xn)(一 1)n1 n(n)，故 f(x)在一 1，2上不可积，选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 【分析一】 先考察 f(x)的连续性关于(A)：f(x)在一 2，3连续，存在原函数(B)中 f(x)如图 31 所示，显然处处连续，在一 2，3存在原函数显然，(D) 中 g(x)在一 2，3可积，f(x) g(t)dt 在一 2，3连续 f(x)在一 2， 3存在原函数选(C) 【分析二】关于(C) ：由可知x0 是 f(x)的第一类间断点f
6、(x) 在一 2，3不存在原函数选 (C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 由于被积函数 ln(2cosx)cosx 是以 2 为周期的偶函数，因此原式 ln(2cosx)cosxdx ln(2cosx)cosxdx2 ln(2cos)cosdx2 ln(2cosx)d(sinx) 2sinxln(2 csox) sinxdln(2cosx)又因为在0， 上，被积函数连续，非负，不恒为零，因此该积分是与 a 无关的正数故选(C)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【试题解析】 当0x 时 cosxsinx，又 0x x，所以 I1I20故选(A)【知识模块】 高等数
7、学6 【正确答案】 D【试题解析】 【分析一】对于(A)由于当 k1 时故 收敛对于(B)：是收敛的对于(C)：也是收敛的由排除法可知，应选(D)【分析二】直接验证(D) 发散因 x 0 是瑕点，从而即 发散，故反常积分 也发散应选(D)【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 f(0) lnxdx(xlnx 一 x)*2一 1当 t0 时，f(t) 因1f(0)，故函数f(t)在 t0 处连续又 f(0) 故 f(x)在 t0 处不可导选(C)【注】【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 A【试题解析】 这是上、下限均为已知函数的变限积分，直接由变限积分求导法得故应选(A)【知
8、识模块】 高等数学二、填空题9 【正确答案】 y3x-7【试题解析】 由隐函数求导法，将方程(x 一 1)3y 2 两边对 x 求导，得 3(x 一 1)22yy令 x5，y8 即得 y(5)3故曲线(x 一 1)3y 2 在点(5，8)处的切线方程是 y83(x 一 5) y3x 一 7【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 yx-1【试题解析】 与直线 xy1 垂直的直线族为 yxc，其中 c 是任意常数，又因ylnx 上点(x 0，y 0)(x 0，lnx 0)(x00)处的切线方程是 ylnx 0 (x 一 x0) xlnx 01，从而，切线与 xy1 垂直的充分必要条件是 1 x0
9、1，即该切线为 yx 一 1【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 y3x-7【试题解析】 t2 时(x ，y)(5 ，8)， 切线方程为 y 一83(x 一 5)，即 y3x 一 7【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 ，y 一 ax，y0【试题解析】 参数方程 则(I)在点(r ，) (2a，0)处，(x，y)(2a，0)，切线 ()在点(r，)(a ， )处，(x，y)(0， a)， 1，切线 y 一 ax() 在点(r，)(O，)处，(x，y)(0，0)，0，切线 y0【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 将方程对 x 求导 在 M0 处y ，法线方程为【知识模
10、块】 高等数学14 【正确答案】 4【试题解析】 由导数定义可求得 上述极限只在 1 时存在，且此时 f(0)0，于是 f(x)的导函数为欲使 f(x)在 x0 处连续，必须有而这一极限为零应满足3(2， 3 时 f(x)不存在)因此，整数 的取值为 4，5，6，即整数4【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 或或【试题解析】 【分析一】【分析二】dx cscxd(cotx)cscxcotxcscxcot 2xdxcscxcotxdxcscxcotxln dx，所以dx cscxcotx C【分析三】【知识模块】 高等数学17 【正确答
11、案】 xlnlnxC【试题解析】 原式(lnlnxx )dxlnlnxdxxd(lnlnx)d(xlnlnx)xlnlnxC【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 e excosxC【试题解析】 (cosxsinx)dx (cosxsinx)dex d(excosx) C【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 () 方法 1 两边取对数得 ylnxxlny，两边对 y 求导，并注意xx(y)，得 上式两边乘 xy，并移项得(y 2 一 xylny)x 2xy
12、lnx解出 方法 2 利用多元函数微分学的方法：xx(y)由方程 F(x，y) 0 确定，其中 F(x，xyx yyx，直接代公式得约去 xyy x 得()e yy x，两边取对数得 yxlny 对 x 求导(注意yy(x)(1I)注意 yy(x) ，将方程两边对 x 求导，由复合函数求导法及变限积分求导法得sec2(x 一 y)(1 一 y)1，即 1一 y cos2(x 一 y) 再对 x 求导 一 y2cos(x 一 y)一 sin(xy)(1 一y)代入式 ysin2(x 一 y)cos2(x 一 y)【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 记 yf(x)应注意到，g(x) 为 f(
13、x)的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将 g(x)改写为 g(y)由反函数求导公式有 f(x)g(y)1，将该等式两边关于 x 求导得 f(x)g(y)f(x)g(y)y x0，或 f(x)g(y)f(x) 2g(y)0注意到 g(3) 1，在上式中令 xa ，应有 y3，因此得到 g(3)一 f(a)g(3)一 2【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 对任何常数 A，B，C，由 F(x)的定义及题设可知 F(x)分别在(一，x 0，(x 0，)连续，分别在 (一 ，x 0)，(x 0，)二次可导从而，为使 F(x)在(一 ，)二次可导，首先要使 F(x)在 xx
14、0 右连续，由于 F(x00)F(x 0)f(x 0)，F(x 00)C，故 F(x)在(一，)连续 Cf(x 0)在 Cf(x 0)的情况下，F(x)可改写成 从而故 F(x)在(一 ，)可导 Bf(x 0)在 Cf(x 0)，Bf(x 0)的情况下，F(x)可改写成故 F(x)在(一 ，)内二次可导 2Af(x 0) A f(x0)综合得，当 A f(x0)，Bf(x 0)，Cf(x 0)时 F(x)在(一，)上二次可导【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 把方程中的 来表示由反函数求导法得再由复合函数求导法及反函数求导法将它们代入原方程【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 (x)的表达式中，积分号内含参变量 x，通过变量转化成限积分x0 时，(x) f(xt)d(xt) f(s)ds；x0 时，(0) f(0)dtf(0)由 f(x)在 x0 连续及 2，则 f(0) f(x) 200因此 求 (x)即求这个分段函数的导数，x0 时与变限积分求导有关，x0 时可按定义求导因此，最后考察 (x)的连续性显然，x0 时 (x)连续，又 即 (x)在x0 也连续，因此 (x)处处连续【知识模块】 高等数学
