1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 154 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 =b，其中 a，b 为常数，则( )（A）a=1 ，b=1（B） a=1，b=一 1（C） a=一 1，b=1（D）a= 一 1，b=一 12 设 f(x)为可导函数，F(x) 为其原函数，则( )（A）若 f(x)是周期函数，则 F(x)也是周期函数（B）若 f(x)是单调函数，则 F(x)也是单调函数（C）若 f(x)是偶函数，则 F(x)是奇函数（D）若 f(x)是奇函数，则 F(x)是偶函数3 设 =f(xy，xz)有二阶连续的偏导数，则 =( )（A）f 2+xf
2、11+(x+z)f12+xzf2222（B） xf12+xzf22（C） f2+xf12+xzf22（D）xzf 224 设 D：x 2+y216，则 x 2+y2 一 4dxdy 等于( )（A）40（B） 80（C） 20（D）605 设曲面是 z=x2+y2 介于 z=0 与 z=4 之间的部分，则 ds 等于( )（A）2e 4（B） (e4 一 1)（C） 2(e4 一 1)（D）e 46 设 为 f(x)=arctanx 在0，a 上使用微分中值定理的中值，则 为( )7 二阶常系数非齐次线性微分方程 y一 2y一 3y=(2x+1)ex 的特解形式为( )（A）(ax+b)e x
3、（B） x2ex（C） x2(ax+b)ex（D）x(ax+b)e x二、填空题8 =_9 设 L： ，则 t=0 对应的曲线上点处的法线为_10 曲面 x2+2y2+3z2=21 在点(1，一 2，2) 处的法线方程为_11 级数 在一 1x1 内的和函数为_12 微分方程 2y=3y2 满足初始条件 y(2)=1 ，y (一 2)=1 的特解为_13 maxx+2，x 2dx=_14 设 z=xf(x+y)+g(xy，x 2+y2)，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则=_15 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 求 17 设 y=y(x)是由 exy
4、x+y 一 2=0 确定的隐函数，求 y(0)18 证明：当 x0 时，arctanx+ 19 求 20 求 01x4 dx21 判断级数 的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛22 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 t=0=0，已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问 t 为多少时此质点的速度为 ?并求到此时刻该质点所经过的路程23 求 23 42设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1 证明：24 (1)存在 c(0，1)，使得 f(c)=12c；25 (2)存在 0，2 ，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()26 设 f(x)在a，b上连续，在(a，
5、b) 内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得27 设 f(x)有界，且 f(x)连续，对任意的 x(一，+)有f(x)+f (x)1证明：f(x)1 28 计算 考研数学一（高等数学）模拟试卷 154 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=cosx2，F(x)=sinx 一 2x+C，显然 f(x)为周期函数，但 F(x)为非周期函数，(A) 不对；令 f(x)=2x，F(x)=x 2+C，显然 f(x)为单调增函数，但 F(x)为非单调函数，(B)不对
6、；令 f(x)=x2，F(x)= x3+2，显然 f(x)为偶函数，但 F(x)为非奇非偶函数，(C) 不对；若 f(x)为奇函数，F(x)= axf(t)dt，因为 F(-x)=ax f(t)dt axf(-)(一 d)=a xf()d=a af()d+axf()d=axf()d=F(x)，所以 F(x)为偶函数，选(D) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 =xf12+f2+xz22，选(C) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 x 2+y2 一 4dxdy= 02dr 2 一 4rdr=2r 2 一4rdr=2 02(4 一 r2)rdr+24(r
7、24)rdr=80，应选 (B)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 方程 y一 2y一 3y=(2x+1)ex 的特征方程为 2 一 2 一 3=0，特征值为 1=1， 2=3，故方程 y一 2y一 3y=(2x+1)ex 的特解形式为 x(ax+b)ex ，选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 y=一 2x【试题解析】 t=0 对应的曲线上点为(0，0)， 故法线方程为 y0=一 2(x
8、一 0)，即 y=一 2x【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 n=2x，4y，6z (1，2，2) =2，一 8，12，法线方程为 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 令 y=p，则 =3y2，解得 p2=y3+C1，由 y(一 2)=1，y (2)=1，得C1=0，所以 =x+C2再由 y(一 2)=1，得 C2=0，所求特解为 x= 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 f+xf+xy1 g1yx y1 lnxg1+yx2y1 lnxg
9、11+2y2xy1 g12+2xy1 lnxg21+4xyg22【试题解析】 由 z=xf(x+y)+g(xy，x 2+y2)，得 =f(x+y)+xf(x+y)+yxy1 g1(xy，x 2+y2)+2xg2(xy，x 2+y2)=f+xf+xy1 g1yx y1 lnxg1+yx2y1 lnxg11+2y2xy1 g12+2xy1 lnxg21+4xyg22【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 2(1-ln2)【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 当 x=0 时，y=1 ， e
10、 xyx+y 一 2=0 两边对 x 求导得 exy(y+xy)一1+y=0，解得 y(0)=0； e xy(y+xy)一 1+y=0 两边对 x 求导得 exy(y+xy)2+exy(2y+xy)+y=0，解得 y(0)=一 1【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 设 t 时刻质点运动的速度为 (t)，阻力 解此微分方程得 (t)=0et ，由 0et = 得 t=ln3，从开始到 t=ln3 的时间内质点所经过的路程为S
11、=0ln30et dt= 0【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 令 (x)=f(x)一 12x，(0)=一 1，(1)=2，因为 (0)(1)0，所以存在c (0，1) ，使得 (c)=0，于是 f(c)=12c【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 因为 f(x)C0，2，所以 F(X)在0，2上取到最小值 m 和最大值M，由 6m2f(0)+f(1)+3f(2)6M 得 m M，由介值定理，存在 0，2，使得=f()，于是 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 因为 f(x)在(a ，b)内二阶可导，所以有【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 令 (x)=exf(x)，则 (x)=exf(x)f (x)， 由f(x)+f (x)1得 (x)e x，又由 f(x)有界得 (一)=0，则 (x)=(x)一 ()= x(x)dx，两边取绝对值得 e xf(x) x (x)dx xexdx=ex，所以f(x)1【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
