1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 161 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)二阶连续可导，且 =2，则( )（A）x=1 为 f(x)的极大点（B） x=1 为 f(x)的极小点（C） (1，f(1)为 y=f(x)的拐点（D）x=1 不是 f(x)的极值点，(1，f(1)也不是 y=f(x)的拐点2 双纽线(x 2+y2)2=x2 一 y2 所围成的区域面积可表示为( )3 设直线 L： 及平面 ：4x-2y+z-6=0 ，猜直线 L( )（A）平行于平面 （B）在平面 上（C）垂直于平面 （D）与平面 斜交4 设级数 an 发散(a n
2、 0)，令 Sn=a1+a2+an，则 ( )（A）发散（B）收敛于（C）收敛于 0（D）敛散性不确定5 设 1(x)， 2(x)为一阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( ) （A）C 1(x)+2(x)（B） C1(x)一 2(x)（C） C1(x)一 2(x)+2(x)（D） 1(x)一 2(x)+2(x)6 设 f(x)为单调可微函数，g(x) 与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f (2)= ，f (4)=6，则 g(4)等于( )7 设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 =0，则( )（A
3、）f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内（B） f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上（C） f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上（D）f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上二、填空题8 =_9 =_10 0x =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求 12 求 13 求 0x2xf(xt)dt14 求 f(x)=01xtdt 在0，1上的最大值与最小值15 求arctan(1 )dx16 求 11 dx17 举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续18 计算 19 在过点 O(0，0) 和 A(，0)
4、的曲线族 y=asinx(a 0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从点 O 到 A 的积分 I=L(1+y3)dx+(2x+y)dy 的值最小20 判断级数 的敛散性，若级数收敛，判断其是绝对收敛还是条件收敛21 设 an=A，证明：数列 an有界22 设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f (x)f(x)(x0)证明：f(x) e x(x0)22 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0， abf(x)dx=0证明：23 存在 c(a，b)，使得 f(c)=0；24 存在 1(a，b)(i=1 ，2)，且 12，使得 f(i)+f(i)=0(i=1
5、，2)；25 存在 (a，b) ，使得 f()=f()；26 存在 (a，b)，使得 f()一 3f()+2f()=027 设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0令 28 设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb 证明： (b 一a)2考研数学一（高等数学）模拟试卷 161 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 =2 及 f(x)二阶连续可导得 f(1)=0， 当 x(1，1)时，f(x)0；当 x(1，1+)时，f (x)0，则(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点，应选(C)【知
6、识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 双纽线(x 2y 2)2=x2 一 y2 的极坐标形式为 r2=cos2，再根据对称性，有 A= 选(A)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L 的方向向量为 s=1，3，22，一 1，一 10=28 ，14，一 7，因为 sn，所以直线 L 与平面 垂直，正确答案为(C) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1(x)， 2(x)为方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以1(x)一 2(x)为方程 y+P(x)y=0 的一个
7、解，于是方程 y+P(x)y=Q(x)的通解为C1(x)2(x)+2(x)，选(C)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 g(4)= ，所以选(B)【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M0，则有 =0，因为M0 为最大值点，所以 ACB2 非负，而在 D 内有 =0，即 ACB20，所以最大值点不可能在 D 内，同理最小值点也不可能在 D 内，正确答案为(B)【知识模块】 高等数学二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10
8、【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 f(x)= 01x-tdt= 0x(x-t)dt+x1(t-x)dt【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 I=I(a)= 0(1+a3sin3x)+(2x+asinx)acosxdx
9、=4a+ 由 I(a)=4(a2 一 1)=0，得 a=1，I (a)=8a，由 I(1)=80 得 a=1 为 I(a)的极小值点，因为 a=1是 I(A)的唯一驻点，所以 a=1 为 I(a)的最小值点，所求的曲线为 y=sinx【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 取 0=1，因为 =A，根据极限定义，存在 N0，当 nN 时，有a n 一 A 1，所以a n A+1 取M=maxa 1，a 2，a N，A+1，则对一切的 n，有a nM【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 (x)=ex f(x)，则 (x)在0，+)内可导，又 (0
10、)=l， (x)=ex f(x)一 f(x)0(x0)，所以当 x0 时，(x)(0)=1，所以有 f(x)e x(x0)【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dt，则 F(x)在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且F(x)=f(x)，故存在 c(a，b) ，使得 abf(x)dx=F(b)一 F(a)=F(c)(b 一 a)=f(c)(b 一 a)=0，即 f(c)=0【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 令 h(x)=exf(x)，因为 h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在1(a， c)， 2(c，b) ，使得 h
11、(1)=h(2)=0，而 h(x)=exf(x)f(x) 且 ex0，所以f(i)+f(i)=0(i=1，2)【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 令 (x)=ex f(x)+f(x)，( 1)=(2)=0，由罗尔定理，存在(1， 2) (a，b) ，使得 ()=0，而 (x)=ex f(x)一 f(x)且 ex 0，所以 f()=f()【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 令 g(x)=ex f(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由罗尔定理，存在 1(a，c) ，2(c， b)，使得 g(1)=g(2)=0，而 g(x)=ex f(x)一 f(x)且 ex 0，所以 f(1)一
12、f(1)=0，f (2)一 f(2)=0令 (x)=e2x f(x)一 f(x)，( 1)=(2)=0，由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得 ()=0，而 (x)=e2x f(x)一 3f(x)+2f(x)且e2x 0，所以 f()3f ()+2f()=0【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)一 f(0)=f()，其中 介于 0 与 x 之间，因为 f(0)=0，所以f(x) = f ()xMx，x0，a，从而 0af(x)dx 0af(x)dx 0aMxdx= M【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 因为积分区域关于直线 y=x 对称，【知识模块】 高等数学
