1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 xa 处可导，且 f(a)0，则f(x) 在 xa 处( )（A）可导（B）不可导（C）不一定可导（D）不连续2 设 为 f(x)arctanx 在0，a 上使用微分中值定理的中值，则 为( )3 设 f(x)在 xa 处二阶可导，则 等于( )（A）一 f“(a)（B） f“(a)（C） 2f“(a)（D）4 设 f(x)在 x0 处二阶可导，f(0) 0 且 ，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)
2、是曲线 y f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 yf(x) 的拐点5 设 f(x)在 xa 处的左右导数都存在，则 f(x)在 xa 处( )（A）一定可导（B）一定不可导（C）不一定连续（D）连续6 f(x)g(x)在 x0 处可导，则下列说法正确的是 ( )（A）f(x)，g(x) 在 x0 处都可导（B） f(x)在 x0 处可导，g(x)在 x0 处不可导（C） f(x)在 x0 处不可导，g(z)在 x0 处可导（D）f(x)，g(x) 在 x0 处都可能不可导7 f(x)在 x0 处可导，则f(x)在 x0 处( )（A）可导（B）不可导（C
3、）连续但不一定可导（D）不连续8 设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f“(x)0，f(x)0，则当 x0 时有 ( )（A）f“(x)0，f(x)0（B） f“(x)0，f(x)0（C） f“(x)0，f(x)0（D）f“(x)0，f(x)09 设 f(x)为单调可微函数，g(x) 与 f(x)互为反函数，且 f(2)4，f(2) ，f(4)6，则 g(4)等于( )10 设 f(x)在 xa 的邻域内有定义，且 f (a)与 f (a)都存在，则( )（A）f(x)在 xa 处不连续（B） f(x)在 xa 处连续 （C） f(x)在 xa 处可导（D）f(x)在 xa 处连续
4、可导11 下列命题成立的是( )（A）若 f(x)在 x0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内连续（B）若 f(x)在 x0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内可导（C）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且 存在，则 f(x)在 x0处可导，且 f(x0)（D）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且 不存在，则 f(x)在x0 处不可导12 则 f(x)在 x0 处( )（A）不连续（B）连续不可导（C）可导但 f(x)在 x0 处不连续（D）可导且 f(x)在 x0 处连续13 函数 f(x)在 x1 处可导的充分必要条件
5、是( )14 设 f(x)连续可导，g(x) 连续，且 ，又 f(x)一 2x2 ，则( )（A）x0 为 f(x)的极大点（B） x0 为 f(x)的极小点（C） (0，0) 为 yf(x)的拐点（D）x0 既不是 f(x)极值点， (0，0)也不是 yf(x)的拐点15 下列说法正确的是( ) 16 下列说法中正确的是( )（A）若 f(x0)0，则 f(x)在 x0 的邻域内单调减少（B）若 f(x)在 x0 取极大值，则当 x(x0 一 ，x 0)时，f(x)单调增加，当x(x0，x 0)时，f(x)单调减少（C） f(x)在 x0 取极值，则 f(x)在 x0 连续（D）f(x)为偶
6、函数，f“(0)0，则 f(x)在 x0 处一定取到极值17 设 f(x)二阶连续可导， ，则( )（A）f(2)是 f(x)的极小值（B） f(2)是 f(x)的极大值（C） (2，f(2)是曲线 y f(x)的拐点（D）f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 yf(x) 的拐点18 设 f(x)在 x0 的邻域内连续可导，g(x) 在 x0 的邻域内连续，且 ，又 ，则( )（A）x0 是 f(x)的极大值点（B） x0 是 f(x)的极小值点（C） (0，f(0)是曲线 y f(x)的拐点（D）x0 不是 f(x)的极值点， (0，f(0) 也不是曲线 yf(x)的拐
7、点19 设 f(x)二阶连续可导，且 ，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是曲线 y f(x)的拐点（D）x0 是 f(x)的驻点但不是极值点20 设函数 f(x)满足关系 f“(x)f 2(x)x，且 f(0)0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是 yf(x)的拐点（D）(0 ，f(0) 不是 yf(x)的拐点21 下列说法正确的是( )（A）设 f(x)在 x0 二阶可导，则 f“(x)在 xx 0 处连续（B） f(x)在a，b 上的最大值一定是其极大值（
8、C） f(x)在(a，b) 内的极大值一定是其最大值（D）若 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点22 设 f(x)在a，)上二阶可导，f(a) 0，f(a) 0，且 f“(x)k(k0)，则 f(x)在(a，) 内的零点个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个23 设 k0，则函数 f(x)lnx 一 k 的零点个数为 ( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个二、填空题24 设两曲线 yx 2ax b 与一 2y一 1xy 3 在点(一 1，1)处相切，则a_ ，b_.25 2
9、6 设 f(x)在 x1 处一阶连续可导，且 f(1)一 2，则_.27 28 设 f(x)满足 f(x)f(x 2)，f(0) 0，又在(一 1，1)内 f(x)x，则_.29 若 f(x)2nx(1 一 x)n，记 Mn ，则 _。30 设 f(x)在 xa 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则_.31 32 33 设 yy(x) 由 yexyxcosx 一 10 确定，求 dy x0 _34 35 设函数 yy(x) 由 确定，则 yy(x)在 xIn2 处的法线方程为_36 设 f(x) 在 x1 处可微，则a_ ，b_ 37 设 F(x) ，其中 f(x)在 x0 处连续，且当 x0
10、时，F(x)x 2，则 f(0)_38 39 设 f(x，y)可微，f(1 ，2)2，f x(1，2)3，f y(1，2)4，(x)fx，f(x，2x)，则 (1)_40 曲线 的斜渐近线为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。41 求极限42 求极限43 证明：44 设 f(x)a 1ln(1x)a 2ln(12x)a nln(1nx)，其中 a1，a 2，a n 为常数，且对一切 x 有f(x)e x 一 1证明：a 12a 2na n145 求极限46 设函数 f(x)可导且 ，对任意的 x0，作 xn1 f(x n)(n0， 1，2，) ，证明： 存在且满足方程 f(x)
11、x47 56设 f(x)在a，)上连续，且 存在证明：f(x)在a，)上有界48 设 f(x)在a，b上连续，任取 xia，b(i1，2，n)，任取ki0(i1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1f(x1)k 2f(x2)k nf(xn)(k 1 k2k n)f()考研数学一（高等数学）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设 f(a)0，因为 f(x)在 xa 处可导，所以 f(x)在 xa 处连续，于是存在 0，当x 一 a 时，有 f(x)0，于是f(a)，即 f(x)在 xa 处可导，同理当
12、 f(a)0 时，f(x)在 xa 处也可导，选(A)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在 xa 处右可导，所以 存在，于是，即 f(x)在 xa 处右连续，同理由 f(x)在 xa 处左可导，得 f(x)在 xa 处左连续，故 f(x)在 xa 处连续，由于左右导数不一定相等，选(D)【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 D【试题解析】 令 显然 f(x)，g(x)在每
13、点都不连续，当然也不可导，但 f(x)g(x)一 1 在任何一点都可导，选(D) 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)在 x0 处可导得f(x) 在 x0 处连续，但f(x) 在 x0 处不一定可导，如 f(x)x 在 x0 处可导，但f(x) x在 x0 处不可导，选(C)【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(一 x)一 f(x)，f( 一 x)f(x)，f“( 一 x)一 f“(x)，即 f(x)为偶函数，f“(x)为奇函数，故由 x0 时有f“(x)0，f(x)0，得当 x0 时有 f“
14、(x)0，f(x)0，选(A)【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以选(B)【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f (a)存在，所以 存在，于是 f(a)，即 f(x)在 xa 处右连续，同理由 f (a)存在可得 f(x)在 xa 处左连续，故 f(x)在xa 处连续，选(B)【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 C【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 C【试题解析】 即当 x(一 ， 0
15、)时，f“(x) 0；当 x(0，)时，f“(x)0，故(0 ，0)为 yf(x)的拐点，应选(C)【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)0 得 f“(0)0，f“(x)1 一 2f(x)f“(x)，f“(0)10，由极限保号性，存在 0，当 0x 时，
16、f(x)0，再由 f“(0)0，得故(0，f(0)是曲线 yf(x)的拐点，选(C) 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 D【试题解析】 令 但 不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D) 【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(a) 0，且 f“(x)k(k0)，所以 f(x)f(a)f(a)(x 一 a)f(a) (x 一 a)2，其中 介于 a 与 x 之间，而，故 ，再由 f(a)0 得 f(x)在(a，)内至少有一个零点又因为 f(a)0，且 f“(x)k(k 0)，所以 f(x)0(xa
17、)，即 f(x)在a， )单调增加，所以零点是唯一的，选(B)【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 C【试题解析】 函数 f(x)的定义域为(0 ，) ，由 f(x) 0 得 xe ，当0xe 时， f(x)0；当 xe 时，f(x)0，由驻点的唯一性知 xe 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f(e)k 0，又 ，于是 f(x)在(0， )内有且仅有两个零点，选(C)【知识模块】 高等数学部分二、填空题24 【正确答案】 a b 3【试题解析】 因为两曲线过点(一 1，1)，所以 b 一 a0，又由 yx 2axb 得a 一 2，再由一 2y一 1xy 3 得 ，且两曲线在点(一
18、 1，1)处相切，则 a 一 21，解得 ab 3【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 2x(14x)e 8x【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分28 【正确答案】 【试题解析】 因为在(一 1，1)内 f(x)x，所以在(一 1，1)内 f(x)由 f(0)0 得 f(x) 故【知识模块】 高等数学部分29 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分30 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分31 【正确答案】 0【试题解析】 当
19、x0 时，t0；当 t0 时，由 ye y1，得 y0【知识模块】 高等数学部分32 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分33 【正确答案】 2dx【试题解析】 当 x0 时，y1，将 yexyxcosx 一 10 两边对 x 求导得【知识模块】 高等数学部分34 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分35 【正确答案】 【试题解析】 当 xIn2 时，t1；当 t1 时，y0(1)当 t一 1 时，(2)当 t1时，【知识模块】 高等数学部分36 【正确答案】 a 2， b1【试题解析】 因为 f(x)在 x1 处可微，所以 f(x)在 x1 处连续，于是
20、f(1 一 0)f(1)1f(1 0) ab，即 ab 1由 f(x)在 x1 处可微得 a2，所以 a2，b 一 1【知识模块】 高等数学部分37 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分38 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分39 【正确答案】 47【试题解析】 因为 (x) fxx，f(x，2x)f yx，f(x，2x)f x(x，2x)2f y(x，2x)，所以 (1)f x1，f(1，2) f y1，f(1，2)f x(1，2)2f y(1，2)34(38)47【知识模块】 高等数学部分40 【正确答案】 y2x4【试题解析】 【知识模块】 高等数
21、学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。41 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分42 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分43 【正确答案】 当 x1，2 时有 当 x2，3时有当 xn，n1 时有 从而有又当 x1，2时，当 x2，3 时， 当 xn 一1，n时， 从而有故于是 由夹逼定理得【知识模块】 高等数学部分44 【正确答案】 当 x0 时，由f(x)e x 一 1得 ，【知识模块】 高等数学部分45 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分46 【正确答案】 x n1 一 xnf(x n)一 f(xn1 )f( n)(xn 一 xn1 )，因为 f(x)0
22、，所以xn1 一 xn 与 xn 一 xn1 同号，故x n单调即x n有界，于是 存在，根据 f(x)的可导性得 f(x)处处连续，等式 xn1 f(x n)两边令n，得 ，原命题得证【知识模块】 高等数学部分47 【正确答案】 设 A，取 01，根据极限的定义，存在 X00，当xX 0 时， f(x)一 A1， 从而有 f(x) A1 又因为 f(x)在a，X 0上连续，根据闭区间上连续函数有界的性质， 存在 k0，当 xa，X 0，有f(x)k 取 MmaxA1，k)，对一切的 xa，)，有f(x)M【知识模块】 高等数学部分48 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m 和最大值 M， 显然有 mf(x i)M(i1，2，n)， 注意到 ki0(i 1，2，n)， 所以有 k imkif(xi)kiM(i1，2，n)， 同向不等式相加，得 (k1k 2k n)mk1f(x1)k 2f(x2)k nf(xn)(k1k 2k n)M， 即， 由介值定理，存在 a，b，使得 即 k1f(x1)k 2f(x2)k nf(xn)(k 1 k2k n)f()【知识模块】 高等数学部分
