1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 227 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，则 f(x)( )（A）无间断点（B）有间断点 x=1（C）有间断点 x=一 1（D）有间断点 x=02 设函数 f(x)在x 内有定义且f(x)x 2，则 f(x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续但不可微（C）可微且 f(0)=0（D）可微但 f(0)03 设 f(x)二阶连续可导，f (0)=0，且 =一 1，则( )（A）x=0 为 f(x)的极大点（B） x=0 为 f(x)的极小点（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）x=0 不
2、是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点4 设 f(x)= F(x)=0xf(t)dt(x0，2)，则( )二、填空题5 =_6 =_7 设 f 二阶可导，且 z= =_8 曲面 z=1 一 x2 一 y2 上与平面 x+yz+3=0 平行的切平面为 _9 级数 的收敛域为_，和函数为_10 设 y一 3y+ay=一 5ex 的特解形式为 Axex ，则其通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设当 x0 时，f(x)= 0x2ln(1+t)dfg(x)=x a(ebx 一 1)，求 a，b 的值12 求 dx13 证明曲线 上任一点的切线的横截距
3、与纵截距之和为 214 设 PQ 为抛物线 y= 的弦，且 PQ 在此抛物线过 P 点的法线上，求 PQ 长度的最小值15 求 16 设 f(x)= 17 求 11(2+sinx) dx18 求直线 L： 在平面 ：xyz 一 1=0 上的投影直线19 (1)求二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值 (2)求函数 f(x，y)=(x 2+2x+y)ey 的极值20 计算 21 计算 (x2+y2)dS，其中 ：z=x 2+y2(0z1)22 计算 (x3cos+y3cos+z3cos)dS，其中 S：x 2+y2+z2=R2，取外侧23 设 f(x)= S0=02f(x)
4、ex dx，S 1=24f(x2)ex dx， Sn=2n2n2 f(x2n)e x dx，求 23 若正项级数 都收敛，证明下列级数收敛：24 ；25 26 (1)验证 y=x+ 满足微分方程 (1 一 x)y+y=1+x；(2)求级数y=x+ 的和函数27 求 y一 2y一 e2x=0 满足初始条件 y(0)=1，y (0)=1 的特解考研数学一（高等数学）模拟试卷 227 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当x1 时，f(x)=1+x；当x1 时，f(x)=0；当 x=一 1 时，f(x)=0；当 x=1 时，f(x
5、)=1，于是 f(x)= 显然 x=1 为函数 f(x)的间断点，选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 显然 f(0)=0，且 =0，所以 f(x)在 x=0 处连续又由f(x)x 2得 0 x，根据夹逼定理得 =0，即 f(0)=0，选(C)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 =一 10，所以由极限保号性，存在 0，当0x 时， 0，注意到 x3=(x)，所以当 0x 时，f (x)0，从而 f(x)在(一 ，)内单调递减，再由 f(0)=0 得故 x=0 为 f(x)的极大点，应选(A) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解
6、析】 当 0x1 时，F(x)= 0xt2dt= ；当 1x2 时，F(x)= 0xf(t)dt=01t2dt+1x(2t)dt= ，选(B)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 时，【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 f(xy)y 2f(xy)【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 ：2x+2y 一 2z+3=0【试题解析】 设切点坐标为(x 0，y 0，1 一 x02y 02)，则 n=2x 0，2y 0，11，1，一 1，解得切点坐标为 ，切平面方程为 ：=0，即 ：2x+2y
7、一 2z+3=0【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 2，2) ；S(x)=【试题解析】 由 ，得收敛半径为 R=2，当 x=一 2 时级数收敛，当x=2 时级数发散，故级数 的收敛域为一 2，2) ，令 S(x)= ，则S(x)= (一 2x2)【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 y=C 1ex +C2e4x+xex【试题解析】 因为方程有特解 Axex ，所以一 1 为特征值，即(一 1)2 一 3(一 1)+a=0 a=4，所以特征方程为 2 一 3 一 4=0 1=一 1， 2=4，齐次方程 y一3y+ay=0 的通解为 y=C1ex +C2e4x，再把 Axex 代入原方程得
8、 A=1，原方程的通解为 y=C1ex +C2e4x+xex 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 当 0x1 时，0 lnn(1+x)xn，积分得，由夹逼定理得=0【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 两边关于 x 求导得，切线方程为 Yy=一 (Xx)，令 Y=0 得X=x ，则 X+Y=x+ =2【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 关于 y 轴对称，不妨设 a0y (a)= ，过 P 点的法线方程为 y 一 (xa)，设 Q(b， )，因为 Q 在法线上，所以PQ 的长度的平方为
9、 L(a)=(b 一 a)2，由 L(a)= 为唯一驻点，从而为最小点，故 PQ 的最小距离为 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 过直线 L 的平面束为 L：xy+z2+(x+yz)=0，即 L：(+1)x+(1)y+(1 )z2=0，由+1，1，1 1，一 1，一 1=0 得 =一1，投影直线为 L0：【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 (1)二元函数 f(x，y)的定义域为 D=(x，y)y0 ，因为 ACB20 且 A0，所以 为 f(x，y)的极小
10、值点，极小值为 (2)由 ACB2=20及 A=20 得(x，y)=(一 1，0)为 f(x，y)的极小值点极小值为 f(一 1，0)=一 1【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 令 D1= (x，y)1x2 ， yx，D 2=(x，y)2x4，y2，D 1+D2=D= (x，y)1y2，yxy 2，【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 曲面在 xOy 平面上的投影区域为D：x 2y 21，z x=2x，z y=2y，则【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 由两类曲面积分之间的关系得 (x3cos+y3cos+z2cos)dS= x3dydz+y3dzdx+z3dxdy，而 x3d
11、ydz+y3dzdx+z3dxdy= (x2+y2+z2)d=302d0d0Rr4sindr= 所以 (x3cosx+y3cos+z3cos)dS= 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 S 0=02f(x)ex dx=01xex dx+12(2 一 x)ex dx=(1 一 )2，令 t=x 一2，则 S1=e2 02f(t)et dt=e2 S0，令 t=x 一 2n 则 Sn=e2n 02f(t)et dt=e2n S0，S=【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 因为 0收敛【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 因为 0收敛【知识模块】 高等数学26 【
12、正确答案】 (1)显然级数 y=x+ 的收敛域为一 1，1即级数 y=x+ 满足微分方程(1 一 x)y+y=1+x(一 1x1)(2)由(1一 x)y+y=1+x 得 ，解得 ln(1 一 x)+C，或 y=2+(1 一 x)ln(1 一 x)+C(1 一 x)，由 y(0)=0 得C=一 2，故 y=2x+(1 一 x)ln(1x)( 一 1x1)【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 原方程可化为 y一 2y=e2x，特征方程为 2 一 2=0，特征值为1=0， 2=2，y 一 2y=0 的通解为 y=C1+C2e2x，设方程 y一 2y=e2x 的特解为y0=Axe2x，代入原方程得 A= ，从而原方程的通解为 y=C1+(C2+ )e2x由 y(0)=1，y (0)=1 得 ，故所求的特解为 y=e2x【知识模块】 高等数学
