1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 42 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 y= 的渐近线有( ) 。（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条2 函数 f(x)=x3 一 3x+k 只有一个零点，则 k 的范围为( )（A）k1（B） k1（C） k2（D）k23 设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，f(0)=1，且 =0，则 f(x)在x=0 处 ( )（A）可导，且 f(0)=0（B）可导，且 f(0)=一 1（C）可导，且 f(0)=2（D）不可导 4 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，若 =2，则 f(x)在 x=0
2、处( )（A）不可导（B）可导但 f(0)0（C）取极大值（D）取极小值5 设函数 f(x)在x 内有定义且f(x)x 2，则 f(x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续但不可微（C）可微且 f(0)=0（D）可微但 f(0)06 设 y=y(x)由 x 一 1x+y dt=0 确定，则 y“(0)等于( )（A）2e 2（B） 2e2（C） e2 一 1（D）e 217 当 x0，1时，f“(x)0，则 f(0)，f(1) ，f(1) 一 f(0)的大小次序为( )（A）f(0)f(1)一 f(0)f(1)（B） f(0)f(1)f(1)一 f(0)（C） f(0)f(1)f(1)一
3、 f(0)（D）f(0)f(1)一 f(0)f(1)二、填空题8 设 f(x)= 可导，则 a=_，b=_9 设 f(x)为奇函数，且 f(1)=2，则 =_10 设 f(x)= ，且 f(0)存在，则a=_，b=_，c=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=f(0)=0，f“(0)0 ，设 u(x)为曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在 x 轴上的截距，求 12 设 f(x)在 x=a 处二阶可导，证明： =f“(a)13 设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)=1，求 aaf(x+a)dx 一 aaf(xa)dx14
4、设 15 设 f(x)连续，且 g(x)=0xx2f(xt)dt，求 g(x)16 证明曲线 上任一点的切线的横截距与纵截距之和为 217 举例说明函数可导不一定连续可导18 设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b，有 f(x)f(y)M xy k (1) 证明：当 k0 时，f(x)在a，b上连续； (2)证明：当k1 时，f(x)=常数19 设 f(x)= 处处可导，确定常数 a，b，并求 f(x)20 设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，且当 x0，1时 f(x)=x(x2 一 1)，讨论函数f(x)在 x=0 处的可导性。21 求曲线 y= 的上凸区间2
5、2 设 23 设 f(x)二阶可导，f(0)=0，令 g(x)= (1)求 g(x)； (2)讨论 g(x)在 x=0 处的连续性24 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，且 f(x)0，证明：存在， (1，2)使得 。25 求常数 a， b 使得 在 x=0 处可导26 设 f(x)= ，验证 f(x)在 0，2上满足拉格朗日中值定理的条件，并求(0，2) 内使得 f(2)一 f(0)=2f()成立的 。考研数学一（高等数学）模拟试卷 42 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 为水平渐近线，显然该曲线没有
6、斜渐近线，又因为 x1 及 x2 时，函数值不趋于无穷大，故共有两条渐近线，应选(B) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 ， 令 f(x)=3x23=0，得x=1，f“(x)=6x， 由 f“(一 1)=一 60，得 x=1 为函数的极大值点，极大值为f(1)=2+k， 由 f“(1)=6 0，得 x=1 为函数的极小值点，极小值为 f(1)=一 2+k， 因为 f(x)=x3 一 3x+k 只有一个零点，所以 2+k0 或一 2+k0，故|k| 2，选(C)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 由
7、 =2 得 f(0)=0， 由极限保号性，存在 0，当0|x| 时， 0，从而 f(x)0=f(0)， 由极值的定义得 f(0)为极小值，应选(D)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日中值定理得 f(1)一 f(0)=f(c)(0c1)，因为 f“(x)0，所以 f(x)单调增加，故 f(0)f(c) f(1) ，即 f(0)f(1)一 f(0)f(1)，应选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题8 【正确答案】 3，2【试题解析】 f(10)=f(1)
8、=a+b，f(1+0)=1， 因为 f(x)在 x=1 处连续，所以a+b=1； 因为 f(x)在 x=1处可导，所以 a=3，故 a=3，b= 一 2【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 6【试题解析】 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)为偶函数， 由=3f(1)=3f(1)=6【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 2，2，2【试题解析】 f(0+0)= =a，f(0)=2，f(00)=c， 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(0+0)=f(0)=f(00)，因为 f(x)在 x=0 处可导，即 f+(0)=f(0)，故 b=一 2【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出
9、文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)的切线为 Y 一 f(x)=f(x)(Xx)，【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 aaf(x+a)dxaaf(xa)dx=aaf(x+a)d(x+a)一 aaf(xa)d(x 一 a)=02af(x)dx 一 2a0f(x)dx=02af(x)dx+02af(x)dx，【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 g(x)= x20xf(xt)d(x 一 t) x2x0f(u)du=x20xf(u)du， g(x)=2x0x
10、f(u)du+x2f(x)【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 而 f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 处可导，但 f(x)在 x=0 处不连续【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 (1)对任意的 x0a，b，由已知条件得 0|f(x) 一 f(x0)|M|xx0|k，=f(x0)， 再由 x0 的任意性得 f(x)在a ，b上连续 (2) 对任意的 x0a，b，因为 k1， 所以 0 M|xx0|k1，由夹逼定理得 f(x0)=0，因为 x0是任意一点，所以 f(x)0，故 f(x)常数【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 由 f(x
11、)在 x=0 处连续，得 b=0【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 因为 f(0)f+(0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 所以 g(x)在 x=0 处连续【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 令 F(x)=lnx，F(x)= 0，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 因为 f(x)在 x=0 处可导，所以 f(x)在 x=0 处连续，从而有 f(0+0)=2a=f(0)=f(0 一 0)=3b，【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由 f(10)=f(1)=f(1+0)=1 得 f(x)在 x=1 处连续，从而 f(x)在0，2上连续 得 f(x)在 x=1处可导且 f(1)=一 1，从而 f(x)在(0 ，2)内可导，故 f(x)在0，2上满足拉格朗日中值定理的条件【知识模块】 高等数学
