1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 43 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f“(x)连续，f(0)=0， =1，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（D）f(0)非极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点2 设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，则( )3 设 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)在(一 ，0)内单凋减少（C）对任意的 x(一 ，0)，有 f(x)f(0)（D）对任意
2、的 x(0，)，有 f(x)f(0)4 设函数 f(x)= 则在点 x=0 处 f(x)( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但导数不连续（D）导数连续5 设 f(x)= 则在 x=1 处 f(x)( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但不是连续可导（D）连续可导6 若 f(x)=f(x)，且在(0，+) 内 f(x)0，f“(x)0，则在(一，0)内( )（A）f(x)0，f“(x)0（B） f(x)0，f“(x)0（C） f(x)0，f“(x)0（D）f(x)0，f“(x)07 设 f(x)，g(x)(axb) 为大于零的可导函数，且 f(x)g(x)一 f(x)g(x)0
3、，则当axb 时，有 ( )（A）f(x)g(b) f(b)g(x)（B） f(x)g(a)f(a)g(x)（C） f(x)g(x)f(b)g(b)（D）f(x)g(x) f(a)g(a)二、填空题8 设函数 y=y(x)由 e2x+y 一 cos(xy)=e 一 1 确定，则曲线 y=y(z)在 x=0 对应点处的法线方程为_9 设 f(x)二阶连续可导，且=_10 设 f(u)可导，y=f(x 2)在 x0=一 1 处取得增量x=005 时，函数增量 y 的线性部分为 015，则 f(1)= _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)
4、 内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得 f()= f()12 设函数 f(x)和 g(x)在区间 a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g(x) 0，试证明存在 (a，b)，使 =013 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：(1)存在 (a，b)，使得 f()=2f()(2)存在 (a，b) ，使得 f()+f()=014 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，且 g(x)0证明：存在 (a，b)，使得 。15 设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得
5、0f(t)dt+( 一 1)f()=016 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，证明：存在 (1，2) ，使得f()一 f()=f(2)一 2f(1)17 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 ，(0，1)，使得 f()+f()=018 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)证明：存在 ， (a，b)，使得。19 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，连接点 A(a，f(a)，B(b，f(b)的直线与曲线 y=f(x)交于点 C(c，f(c)(其中 acb)证明：存在 (a，b)，使得f“()=02
6、0 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内三阶可导，f(a)=f(b)，且 f(x)在a，b上不恒为常数证明：存在 ，(a ，b)，使得 f()0， f()021 设 ba 0，证明： 22 设 f(x)在a，b上满足f“(x)2 ，且 f(x)在(a，b)内取到最小值证明：f(a) + f(b)2(b 一 a)23 设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(0)=f(1)，又f“(x)M，证明：f(x)24 证明：当 x1 时， 25 证明：当 x0 时，x 2(1+x)ln 2(1+x)26 证明：当 x0 时，arctanx+ 27 求 y=0x(1 一 t)arctantdt 的
7、极值考研数学一（高等数学）模拟试卷 43 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 =1 及 f“(x)的连续性，得 f“(0)=0，由极限的保号性，存在 0，当 0|x| 时， 0，从而 f“(x)0，于是 f(x)在(一 ，)内单调增加，再由 f(0)=0，得当 x(一 ，0)时，f(x) 0，当 x(0，) 时，f(x) 0，x=0为 f(x)的极小值点，选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 当 x(一，0)时，f(x)f(0) ，应选(D
8、)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)为偶函数，故在(一，0)内有 f(x)0因为 f“(x)为奇函数，所以在(一 ，0)内 f“(x)0，选(C) 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 当 x=0 时，y=1，【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 由 dy=2xf(x2)x
9、 得 dy|x=1=一 2f(1)005=一 01f(1)，因为y的线性部分为 dy，由一 01f(1)=015 得 f(1)=一 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 令 (x)=(b 一 x)af(x)，显然 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0， 由 (x)=(b 一x)a1(b 一 x)f(x)一 af(x)得 (b 一 )a1(b 一 )f()一 af()且(b 一 )a10，故 f()=【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 令 (x)=f(x)x
10、ag(t)dt+g(x)axf(t)dt， (x)在区间a，b上连续，在区间(a ，b)内可导，且 (x)=f(x)xbg(t)dt 一 f(x)g(x)+g(x)f(x)+g(x)axf(t)dt =f(x)xbg(t)dt+g(x)axf(t)dt，因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b) 使 ()=0，即 f()bg(t)dt+g()af(t)dt=0，由于 g(b)=0 及 g(x)0，所以区间(a，b)内必有g(x)0，从而就有 xbg(t)dt0，于是有 =0【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 (1)令 (x)= f(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以
11、 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b) ，使得 ()=0， 而 (x)= 0，故f()=2f() (2)令 (x)=xf(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0， 而 (x)=xf(x)+f(x)，故 f()+f()=0【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)f(x)g(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a， b)内可导，且 F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F()=0，而 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)
12、一 f(x)g(x)一 f(x)g(x)，所以【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 (x)=x0xf(t)dt 一 0xf(t)dt 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0 而 (x)=0xf(t)dt+(x 一 1)f(x)，故 0f(t)dt+( 一 1)f()=0【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 (x)= ，则 (x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 (1)=(2)=f(2)一 f(1)，由罗尔定理，存在 (1，2) ，使得 ()=0，而(x)= ，故 f()一 f()=f(2)一 2f(1)【知识模块】 高等数学17 【正确
13、答案】 因为 f(0)=f(1)，所以f()=一 f()，即 f()+f()=0【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 令 F(x)=x2，F(x)=2x0(axb)，由柯西中值定理，存在(a， b)，使得，再由拉格朗日中值定理，存在 (a，b)，使得。【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 由微分中值定理，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得因为点 A，B ，C 共线，所以 f(1)=f(2)， 又因为 f(x)二阶可导，所以再由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得f“()=0【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上不恒为常数且 f(a)=f(b
14、)，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=f(b)，不妨设 f(c)f(a)=f(b) ， 由微分中值定理，存在 (a，c)，(c， b)，使得【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 因为 f(x)在(a ，b)内取到最小值，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)为f(x)在a，b上的最小值，从而 f(c)=0 由微分中值定理得两式相加得|f(a)|+|f(b)|2(b 一 a)【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由泰勒公式得【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 令 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 xlnx，f(1)=2ln
15、20，因为 f(x)=ln(1+x)+1lnx 一 1=ln(1+ )0(x 1)，所以 f(x)在1，+) 上单调增加。 再由 f(1)=2ln20 得当 x1 时，f(x)0，即 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 令 f(x)=x2 一(1+x)ln 2(1+x)，f(0)=0； f(x)=2xln 2(1+x)一 2ln(1+x)，f(0)=0；【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 令 y=(1x)arctanx=0，得 x=0 或 x=1，y“=一 arctanx+0，所以 x=0 为极小值点，极小值为y=0；x=1 为极大值点，极大值为 y(1)=01(1 一 t)arctantdt=01arctantdt01tarctantdt【知识模块】 高等数学
