1、考研数学三线性代数（行列式）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 1， 2， 1， 2， 都是 3 维列向量，且行列式 1， 1，= 1， 2， = 2， 1， = 2， 2，=3 ，那么-2， 1+2， 1+22=( )（A）-18（B） -36（C） 64（D）-962 设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=( )（A）0（B） a2（C） -a2（D）na 23 设 A 是 3 阶矩阵，其中 a110，A ij=aij，(i=1 ，2，3，j=1 ，2，3)，则2A T=( )（A）0（B） 2（C）
2、 4（D）84 4 阶行列式 的值等于( )（A）a 1a2a3a4-b1b2b3b2 （B） a1a2a3a4+b1b2b3b4（C） (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4) （D）(a 2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)5 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（A）当 mn，必有行列式AB0（B）当 mn，必有行列式AB=0（C）当 nm，必有行列式AB0（D）当 nm，必有行列式AB=06 设 1， 2， 3， 1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 1， 2， 3， 1=m ， 1， 2， 2， 3=n，则 4 阶行列式 3， 2， 1， 1+2等于
3、 ( )（A）m+n（B） -(m+n)（C） n-m（D）m-n7 设 A=n ，且A =m，则B=( )（A）m（B） -8m（C） 2m（D）-2m8 1， 2， 3， 1， 2 均为 4 维列向量，A=( 1， 2， 3， 1)，B=( 3， 1， 2， 2)，且A=1，B =2，则A+B=( )（A）9（B） 6（C） 3（D）1二、填空题9 设 3 阶行列式 D3 的第 2 行元素分别为 1、-2、3，对应的代数余子式分别为-3、2、1，则 D3=_10 如果 的代数余子式 A12=-1，则代数余子式 A21=_11 如果 A= (4，5，6)，则A=_12 行列式 的结果是_13
4、 设 A= ，则 ATB=_14 已知 3 阶行列式 =_15 四阶行列式 的值是_16 设 n 阶矩阵 A= ，则 A=_17 行列式 D= =_18 已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的 3 阶矩阵，则 D= =_19 设 f(x)= ，则 f(x+1)-f(x)=_20 方程A= =0 的根是_21 在 xOy 平面上，平面曲线方程 y= ，则平面曲线与 x 轴的交点的坐标是_22 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2,3，则行列式 A3-5A2+7A=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 设 A= ，证明：行列式 A=(n+1)a n24 证明： =anxn
5、+an-1xn-1+a1x+a025 计算：D 2n= ，其中未写出的元素都是 026 设 A 是 n 阶可逆矩阵，且 A 与 A-1 的元素都是整数，证明：A=1考研数学三线性代数（行列式）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B 【试题解析】 本题考查行列式的性质利用性质 1， 2， 1+2= 1， 2， 1+ 1， 2， 2和k 1， 2， 3=k 1， 2， 3则有 -2 ，+ ，+2= -2， ， +2+-2，+2 =-2 ， 1， 1+ -2， 1，2 2+ -2， 2， 1+-2， 2，2 2 =-2 1， 1，
6、-4 1， 2， -2, 2， 1， -4 2， 2， =(-2-4-2-4)3=-123=-36 所以应选 B【知识模块】 行列式2 【正确答案】 A【试题解析】 按这一列展开，D=a 1jA1j+a2jA2j+a2njA2nj=aA1j+aA2j+aA2nj，并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a，n 个为-a，从而行列式的值为零所以应选 A【知识模块】 行列式3 【正确答案】 D【试题解析】 =23A T=8A，且由已知故 A*=AT 又由 AA*=AAT=AE，两边取行列式，得 AA T=A 2=AE= A 3 得 A 2(A -1)=0 又 a110，则A=a 11A11+
7、a12A12+a13A13= 故A=1 ，从而2A T=8，所以应选 D【知识模块】 行列式4 【正确答案】 D【试题解析】 根据行列式的按 k 行(列)展开法则，将此行列式第 2、3 行(列)展开，得 =(a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)， 所以应选 D【知识模块】 行列式5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 AB 是 m 阶方阵，且r(AB)rainr(A)，r(B)minm，n，所以当 mn 时，必有 r(AB)m，从而AB=0 ，所以应选 B【知识模块】 行列式6 【正确答案】 C【试题解析】 由行列式的性质：互换两行(列)，行列式变号，得 3， 2， 1，( 1+2)=
8、3， 2， 1， 1+ 3， 2， 1， 2 =- 1， 2， 3， 1+ 1， 2， 2， 3 =n-m 所以应选 C【知识模块】 行列式7 【正确答案】 D【试题解析】 方法一：方法二：将行列式A的第一列加到第二列上，再将二、三列互换，之后第一列乘以2 就可以得到行列式B由行列式的性质知B=-2 A=-2m 【知识模块】 行列式8 【正确答案】 B【试题解析】 方法一：由矩阵加法公式，得 A+B=(1+3， 1+3， 3+2， 1+2)，结合行列式的性质有A+B= 1+3， 2+1， 3+2， 1+2=2( 1+2+3)，2+1， 3+2， 1+2=2 1+2+3， 2+1， 3+2， 1
9、+2=2 1+2+3，-3， -1， 1+2=2 2，- 3，-1， 1+2=2 1， 2， 3， 1+2=2(A+ B)=6 方法二：A+B=+，+ ，+ ，+= =，+=【知识模块】 行列式二、填空题9 【正确答案】 -4【试题解析】 根据行列式的求解方法，行列式的值等于它的任一行(列)的元素与其相应的代数余子式乘积之和，故 D3=a21A21+a22A22+a23A23=1(-3)+(-2)2+31=-4【知识模块】 行列式10 【正确答案】 2【试题解析】 根据代数余子式的定义可知 A12=(-1)1+2= =-(5x-4)=-1，因此可得 x=1所以 A21=(-1)2+1【知识模块
10、】 行列式11 【正确答案】 0【试题解析】 方法一：令 M= ，N=(4，5，6)因为 r(MN)r(M)1，即 r(A)1，又 AO，则 r(A)1，所以 r(A)=1，因此A =0 方法二：采用矩阵相乘的方法， A 中任意两行成比例，因此该行列式值为 0【知识模块】 行列式12 【正确答案】 -2(x 3+y3)【试题解析】 将后两列加到第一列上【知识模块】 行列式13 【正确答案】 140【试题解析】 因为 A 是一个对称矩阵，所以 AT=A= ，因此所以可得A TB=140 【知识模块】 行列式14 【正确答案】 【试题解析】 结合行列式的性质：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子
11、可以提到行列式记号的外面，即【知识模块】 行列式15 【正确答案】 -15【试题解析】 利用行列式的性质：把行列式某一行(列)的各元素乘以同一数后，然后加到另一行(列) 对应的元素上去，行列式不变；上(下)三角形行列式的运算对已知行列式作变换，则【知识模块】 行列式16 【正确答案】 -2(n-2)!【试题解析】 运用行列式的性质把第 2 行所有元素乘以一 1 加到其他各行所对应的元素上，再将第 1 行所有元素乘以 2 加到第 2 行相应的元素上，可得【知识模块】 行列式17 【正确答案】 120【试题解析】 利用行列式的性质和范德蒙德公式将行列式第四行加到第一行上后，就可以提出公因子 10，
12、然后将第四行逐行换至第二行，即原式【知识模块】 行列式18 【正确答案】 【试题解析】 根据行列式按行(列)展开法则，得【知识模块】 行列式19 【正确答案】 6x 2【试题解析】 f(x+1)-f(x)=【知识模块】 行列式20 【正确答案】 1， 2， 3，-( 1+2+3)【试题解析】 由观察可知，x 1=a1 时，1、2 行对应元素相等，A =0；x 2=a2 时，2、3 行对应元素相等， A=0； 3=a3 时，3、4 行对应元素相等，A=0 又由行列式的每行元素和为 x+a1+a2+a3，将 2、3、4 列各元素加到第 1 列相应元素上去，且提取公因式，得A=(x+a 1+a2+a
13、3) =0，故有 x=-(a1+a2+a3) 所以方程是一元四次方程，四个根依次是 a1，a 2，a 3，-(a 1+a2+a3)【知识模块】 行列式21 【正确答案】 (2，0) ，(3，0)【试题解析】 曲线 y= 与 x 轴(即 y=0)的交点为方程组 的解，行列式 为范德蒙德行列式，即有 y= =(3-2)(x-2)(x-3)=0，解得 x=2，x=3，故曲线与 x 轴的交点坐标为(2，0)，(3，0) 【知识模块】 行列式22 【正确答案】 18【试题解析】 令 为矩阵 A 的特征值，则( 3-52+7)为(A 3-5A4+7A)的特征值多项式令 ()=3-52+7，由于 1，2，3
14、 是 A 的特征值，则 (1)=3，(2)=2 ，(3)=3是 (A)的特征值， 故有 A 3-5A2+7A=(A) =(1)(2)(3)=323=18 【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 方法一：数学归纳法记Dn=A= ，以下用数学归纳法证明 Dn=(n+1)an 当 n=1时，D 1=2a，结论成立当 n=2 时，D 2= =3a2，结论成立假设结论对小于 n 的情况成立，将 Dn 按第一行展开，则有 Dn=2aDn-1-=2aDn-1-a2Dn-2=2anan-1-a2(n-1)an-2=(n+1)an，结论仍成立故A=(n+1)a
15、n 得证 方法二：消元法记=(n+1)an【知识模块】 行列式24 【正确答案】 本题可利用递推法证明显然D1=aN，根据上面的结论有 Dn+1=xDn+a0=x(xDn-1+a1)+a0=x2Dn-1+xa1+a0=xnD1+an-1xn-1+a1x+a0=anxn+an-1xn-1+a1x+a0=右边， 所以，对于 n 阶行列式命题成立【知识模块】 行列式25 【正确答案】 该行列式只有两条对角线上有元素，其余均为 0，可以按照其中一行展开，找出递推关系式 按照第一行展开，得 将以上两个行列式分别按照最后一行展开，得由此得递推公式 D2n=(andn-bncn)D2n-2 按照递推公式逐层代入得【知识模块】 行列式26 【正确答案】 由于 AA1=E，则AA -1=1 因为 A 的元素都是整数，所以A必是整数同理可得，A -1亦必是整数 又由于两个整数A和A -1相乘为 1，故A和A -1只能同时取值为1【知识模块】 行列式
