1、考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)=xsinx ( )（A）在( ，+)内无界（B）在 (，+)内有界（C）当 x 时为无穷大（D）当 x时极限存在2 极限 =A0 的充要条件是 ( )（A）a1（B） a1（C） a0（D）与 a 无关3 设当 xx 0 时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是 ( )（A）设当 xx 0 时，g(x)是无穷小，则 f(x)g(x)必是无穷小（B）设当 xx 0 时，g(x)不是无穷小，则 f(x)g(x)必不是无穷小（C）设在 x=x0 的某邻域 g(
2、x)无界，则当 xx 0 时，f(x)g(x) 必是无穷大（D）设在 x=x0 的某邻域 g(x)有界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必不是无穷大4 设函数 f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，且 f(x)在点 x0 处间断，则在点 x0 处必定间断的函数为 ( )（A）f(x)sinx（B） f(x)+sinx（C） f2(x)（D）f(x)5 设当 xx 0 时，(x)，(x)(x)0)都是无穷小，则当 xx 0 时，下列表达式中不一定为无穷小的是 ( )（A）（B） 2(x)+2(x)（C） ln1+(x).2(x)（D）(x)+(x)6 设当 x0 时，e tanxe x 与
3、xn 是同阶无穷小，则 n 为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 当 x0 时，f(x)=xsinax 与 g(x)=x2ln(1bx)是等价无穷小，则 ( )二、填空题8 =_9 =_10 =_11 =_12 极限 =_13 设 =0，则 ， 的值分别为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求极限 ，a015 设 =A(a0，a1)，求 16 已知 存在，且 求f(x)17 设 f(x)是三次多项式，且有18 设 =5，求 a，b 的值19 设 =10,试求 ， 的值20 确定常数 a 和 b 的值，使21 设函数 f(x)= (x0)，证明：存在常数 A，B
4、，使得当 x0 +时，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常数 A，B22 求23 已知 =D0求常数 A，B，C，D24 求25 已知数列x n的通项 xn= ，求26 设 a1=2， (n=1，2，)，证明： 存在并求其极限值27 设 x1=1， xn+1=1+ (n=1，2，)，求28 如果数列x n收敛，y n发散，那么x nyn是否一定发散?如果x n和y n都发散，那么x nyn的敛散性又将如何?29 分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系?30 求考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项
5、中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 对于任意给定的正数 M，总存在着点 ，使f(x n)= M，故 f(x)在( ，+)内无界(C) 错，对于任意给定的正数 M，无论 x 取多么大的正数，总有 xn=2nx(只要n )，使f(xn)=xnsinxn=0M，故当 x时 f(x)不是无穷大千万不要将无穷大与无界混为一谈【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 D【试题解析】 设 f(x)= ，当 x0 时为无界变量，不是无穷大令 g(x)=x，当 x0 时为无穷小，可排除(A)设 x0 时，令 f(x
6、)=x2，g(x)= 可排除(B)，(C)【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 B【试题解析】 方法一 若 f(x)+sinx 在点 x0 处连续，则 f(x)=f(x)+sinxsinx 在点x0 处也连续，与已知矛盾方法二 排除法设 则 f(x)在点 x=0 处间断，f(x)sinx=0 在 x=0 处续若设 f(x)在点 x=0 处间断，但f2(x)=1，f(x)=1 在 x=0 处都连续故可排除(A)，(C)，(D)【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 A【试题解析】 有限个无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小量【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 C【试
7、题解析】 则n=3 时，C=【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 A【试题解析】 故 a=1，b=【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题8 【正确答案】 e 6【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 e 6【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 【试题解析】 原式=【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1
8、4 【正确答案】 原极限等价于求 令 f(t)=arctant，t ，由拉格朗日中值定理可得【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 因为 ，又 x0 时，这样 Axlna+xlnaAxlna(x0)，所以 1+ a Ax，因此 f(x)(a Ax1)sinxAxlnasinx，于是得到【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 因为 所以 f(2a)=f(4a)=0，从而得知 x2a ，x4a 为 f(x)的因式又因为 f(x)为三次多项式，可令 f(x)=b(x2a)(x4a)(xc)于是【知识模块】 函数、极限、连续18 【
9、正确答案】 因为 sinx(cosxb)=0 ，所以 a=0，故 a=1又所以b=4【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 显然由条件知 0，而 因此有 +1=0，且【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 ln(1+x)=x +o(x2)，于是 ln(12x+3x 2)=2x+3x 2 (2x+3x 2)2+o(x2)=2x+x 2+o(x2)，代入即得【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 先看 设 t= ，当 x
10、+ 时，t0 +，有【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 因为 =1，故由夹逼准则有 =1【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 因为 an+1= =1，所以a n有下界下面再证明a n单调递减 即an+1an，所以 ，则A=1，A= 1(舍去)【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 x 2=1+ x 1假设 xnx n1 ，则即 xn+1x n，由数学归纳法可知对一切 n，都有 xn+1x n又 xn+1= 2，所以x n单调增加且有上界，x n必收敛记 =a，对等式 xn+1=1+ 两边取极限，得 a=1+ ，即 a2a1=0解得 a= ，因 xn1，故负值
11、不合题意，于是【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 在题设两种情况下，x nyn的敛散性都不能确定现在先就x n收敛，y n发散的情况来分析利用 yn= (xn0)这个恒等式，就可得到下述结论：若x n收敛且不收敛于零，y n发散，则x nyn必发散这是因为若x nyn收敛，且又x n收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知y n收敛，这与假设矛盾若 =0，且y n发散，则x nyn可能收敛，也可能发散，如：x n= ，y n=n，则 xnyn=1，于是x nyn收敛x n= ，y n=(1) nn，则 xnyn=(1) n，于是 xnyn发散现在再就x n和y n都
12、发散的情况来分析x nyn的敛散性有下面的结论：若x n和y n都发散，且两者至少有一个是无穷大，则x nyn必发散这是因为如果x nyn收敛，而x n为无穷大，从等式 yn= 便得到y n收敛于零，这与假设矛盾若x n和y n都不是无穷大且都发散，则x nyn可能收敛，也可能发散，如x n=yn=(1) n，有 xnyn=1，于是x nyn收敛 xn=(1) n，y n=1( 1) n，有xnyn=(1) n 1，于是x nyn发散【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 不正确初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式子表示的函数分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定不能用一个表达式表示，因此，分段函数可能是初等函数，也可能不是初等函数，如 (x)=x，通常写成分段函数的形式但也可以写成一个表达式x= ，所以函数 (x)=x是初等函数而 ，则不是初等函数【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续
