1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1998 年) 设函数 ，讨论函数 f(x)的间断点，其结论为( )（A）不存在间断点（B）存在间断点 x=1（C）存在间断点 x=0（D）存在间断点 x=一 1 2 (2014 年) 设 ，且 a0，则当 n 充分大时有( )3 (2003 年) 设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f(0)存在，则函数 （ ) （A）在 x=0 处左极限不存在（B）有跳跃间断点 x=0（C）在 x=0 处右极限不存在（D）有可去间断点 x=04 (2012 年) 曲线 渐近线的条数为
2、( )（A）0（B） 1（C） 2（D）35 (1993 年) 设 f(x)为连续函数，且 ，则 F(x)等于( )6 (2008 年) 设函数 f 连续，若 其中区域 Duv 为图中阴影部分， 则 =( )（A）vf(u 2)（B）（C） vf(u)（D）7 (1996 年) 下述各选项正确的是( )二、填空题8 (2012 年) =_9 (1992 年) 设商品的需求函数 Q=1005p，其中 Q、p 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于 1，则商品价格的取值范围是_10 (2009 年) 设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，其对价格 p 的弹性 p=02，则当需求量为 10
3、000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加_11 (1990 年) 曲线 y=x2 与直线 y=x+2 所围成的平面图形面积为 _12 (2012 年) 由曲线 和直线 y=x 及 y=4x 在第一象限中围成的平面图形的面积为_13 (2003 年) 设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示全平面，则=_14 (2016 年) 设 D=(x，y)xy1，一 1x1，则 =_15 (1992 年) 级数 的收敛域为_16 (1997 年) 差分方程 yt+1 一 yt=t2t 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (2016 年) 求极限18 (1990 年)
4、设 f(x)在闭区间 0，c上连续，其导数 f(x)在开区间(0，c)内存在且单调减小，f(0)=0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)f(a)+f(b)其中 a、b 满足条件 0aba+bc19 (1998 年) 设函数 f(x)在 a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 f(x)0试证存在， (a，b)，使得20 (2010 年) 求极限 21 (1991 年) 假设曲线 L1： y=1 一 x2(0x1)与 z 轴和 Y 轴所围区域被曲线L2：y=ax 2 分为面积相等的两部分其中 a 是大于零的常数，试确定 a 的值22 (2000 年) 设函数 f(x)在 0，上连续，且
5、0f(x)dx=0， 0f(x)cosxdx=0试证明：在(0， )内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)=f(2)=023 (2011 年) 求不定积分24 (1994 年) 计算二重积分 ，其中 D=(x，y)x 2+y2x+y+125 (2003 年) 设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足26 (2010 年) 计算二重积分围成27 (2001 年) 已知 fn(x)满足 fn(x)=fn(x)+xn1 ex(n 为正整数) ，且 求函数项级数 之和28 (1990 年) 求微分方程 y+2cosx=(1nx)esinx 的通解29 (2009 年)设曲线 Y=f(x)，其
6、中 f(x)是可导函数，且 f(x)0已知曲线 y=f(x)与直线 y=0，x=1 及 x=t(t1)所围成的曲边梯形绕 z 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线的方程考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 ，由此可知 x=1 为间断点2 【正确答案】 A【试题解析】 直接法：由 则当 n充分大时有 故应选 A3 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(x)为奇函数，则 f(0)=0，从而又 在 x=0 处无定义，则x=0 为 g(x)的可去间断点4 【正确
7、答案】 C【试题解析】 由于 则该曲线有水平渐近线 y=0，又，则 x=1 为该曲线的一条垂直渐近线，故应选 C.5 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案】 A【试题解析】 故应选A7 【正确答案】 A【试题解析】 由于 0(un+vn)2=un2+vn2+2unvn2(un2+vn2)由原题设知收敛二、填空题8 【正确答案】 应填【试题解析】 这是“1 ”型极限，由于9 【正确答案】 应填(10，20【试题解析】 由 Q=100 一 5p，得 Q(p)=一 5，需求弹性为令 得 P20 或10P20又由 Q(p)=100 一 5p=0，得最高价格为 p=20所以商品价格的取值范围是(
8、10 ，2010 【正确答案】 应填 8000【试题解析】 由于收益 R=pQ(p)则 pQ(p)=(一 02)Q(p)故 =(一 02)Q(p)+Q(p)=080(p)=0810 000=8 00011 【正确答案】 应填【试题解析】 令 x2=x+2 解得 x=一 1 和 x=2，则所求面积为 S= 1 2(x+2 一 x2)dx=12 【正确答案】 应填 41n2【试题解析】 曲线 和直线 y=x 及 y=4x 在第一象限围成的平面域如图，则所围面积为13 【正确答案】 应填 a1【试题解析】 由题意知令=(x，y)0x1 且 0yx1)其中区域 的面积为 114 【正确答案】 应填【试
9、题解析】 积分域 D 如图所示，显然关于 y 轴对称，15 【正确答案】 应填(0，4)【试题解析】 则原幂级数在一 2x 一22 处收敛，即在 0x4 内收敛当 x=0 时，原级数为发散16 【正确答案】 应填 yt=C+(t 一 2)2t【试题解析】 齐次差分方程 yt+1 一 yt=0 的通解为 C，C 为任意常数 设(at+b)2 t是差分方程 yt+1 一 yt=t2t 的一个特解，则 a=1，b= 一 2，因此，y t=C+(t 一 2)2t 为所求通解三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 18 【正确答案】 要证 f(a+b)f(a)+f(b)，就
10、是要证明 f(a+b)一 f(a)一 f(b)0 又 f(0)=0，所以，只要证明 f(a+b)一 f(a)一 f(b)+f(0)0 而 f(a+b)一 f(a)一 f(b)+f(0)=f(a+b)一 f(b)一f(a) 一 f(0) =f(2)a 一 f(1)n=af(2)一 f(1) 01a，b 2a+b 又f(x)单调减少，则 f(2)f(1)，从而有 f(a+b)一 f(a)一 f(b)+f(0)0 故 f(a+b)f(a)+f(b)19 【正确答案】 由拉格朗日中值定理知 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a) (ab)由柯希中值定理知，20 【正确答案】 21 【正确答案】 由
11、 S1=S2 知 解得 a=322 【正确答案】 令 F(x)=0f(t)dt，0x 则有 F(0)=0，F()=0，又因为 0= 0f(x)cosxdx=0cosxdF(x)=F(x)cosx 0+0F(x)sinxdx=0F(x)sinxdx 所以存在 (0，) ，使 F(e)sins=0，因若不然，则在 (0，) 内或 F(x)sinx 恒为正，或 F(x)sinx 恒为负，均与 I F(x)sinxdx=0 矛盾但当 (0，) 时，sins0 ，故 F()=0 由以上证得 F(0)=F()=F()=0 (0) 再对 F(x)在区间0， ， ，上分别用罗尔中值定理知至少存在 1(0，)，
12、 2(， )，使 F( 1)=F(2)=0 即 f( 1)=f(2)=023 【正确答案】 24 【正确答案】 由 x2+y2x+y+1 得25 【正确答案】 26 【正确答案】 区域 D 如图所示27 【正确答案】 由原题可知 f n(x)一 fn(x)=xn1 ex 由一阶线性方程通解公式可知记 其收敛域为一 1，1)，当 x(一 1，1)时，有于是，当一 1x1 时，有28 【正确答案】 由一阶线性方程求解公式得 y=e cosxdx (lnx)esinx ecosxdx+C=esinx lnxdx+C=esinx xlnx 一 x+C29 【正确答案】 由题设可知旋转体体积为 V= 1tf2(x)如曲边梯形的面积为 S= 1tf(x)dx 由题设可知， 1tf2(x)dx=t1tf(x)dx 即 1tf2(x)dx=t1tf(x)dx 上式两端对 t 求导得f2(t)=1tf(x)dx+tf(t) (*)继续求导得 2f(t)f(t)=f(t)+f(t)+tf(t)在(*)式中令 t=1 得 f2(1)=f(1)，即 f(1)=1 或 f(1)=0而由题设知 f(t)1，则 f(1)=1，代入 则所求曲线方程为
