[考研类试卷]考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编29及答案与解析.doc

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1、考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编 29 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 (2007 年) 当 x0 +时,与 等价的无穷小量是( ) 2 (1990 年) 设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x),且有 f(0)=b,其中a、b 为非零常数,则 ( )(A)f(x)在 x=1 处不可导(B) f(x)在 x=1 处可导,且 f(1)=a(C) f(x)在 x=1 处可导,且 f(1)=b(D)f(x)在 x=1 处可导,且 f(1)=ab3 (2005 年) 设 f(x)=xsinx+cosx,下列命题中正确的是( )

2、(A)f(0)是极大值, 是极小值(B) f(0)是极小值, 是极大值(C) f(0)是极大值, 也是极大值(D)f(0)是极小值, 也是极小值4 (2015 年) 设函数 f(x)在(一,+)内连续,其 2 阶导函数 f(x)的图形如右图所示,则曲线 y=f(x)的拐点个数为( )(A)0(B) 1(C) 2(D)35 (2001 年) 设 g(x)=0xf(u)du,其中 则g(x)在区间(0,2)内( )(A)无界(B)递减(C)不连续(D)连续6 (2016 年) 已知函数 则( )(A)f xfy=0(B) fx+fy=0(C) fx一 fy=f(D)f x+fy=f7 (2005

3、年) 设 an0,n=1,2,若 收敛,则下列结论正确的是( )二、填空题8 (1990 年) 极限 =_9 (1995 年) 设 ,则 f(n)(x)=_10 (2011 年) 曲线 在点(0,0)处的切线方程为_11 (1997 年) 若 则 01f(x)dx=_12 (2015 年) 设函数 f(x)连续, (x)=0x2xf(t)dt.若 (1)=1,(1)=5,则 f(1)=_13 (2007 年) 设 f(u,v)是二元可微函数,=_14 (2007 年) 微分方程 满足 y x=1 的特解为 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 (1988 年) 求16

4、(1993 年) 设某产品的成本函数为 C=aq2+bq+c,需求函数为 其中 C 为成本,q 为需求量(即产量),P 为单价,a,b,c,d,e 都是正的常数,且db求: 1)利润最大时的产量及最大利润; 2)需求对价格的弹性; 3)需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量17 (2003 年) 设 试补充定义 f(1)使得 f(x)在 上连续18 (2013 年) 设生产某商品的固定成本为 60 000 元,可变成本为 20 元件,价格函数为 P=60 一 ,( 户是单价,单位:元;Q 是销量,单位:件),已知产销平衡,求: )该商品的边际利润; )当 P=50 时的边际利润,并解释其经济意

5、义; )使得利润最大的定价 P19 (1994 年) 设函数 f(x)可导,且 f(0)=0,F(x)= 0xf(xn 一 tn)dt,求20 (2002 年) 设21 (2017 年) 求22 (1988 年) 设 u+eu=xy,求23 (1998 年) 设24 (2005 年) 计算二重积分 其中 D=(x,y)1 0x1,0y125 (2012 年) 计算二重积分 及 y 轴为边界的无界区域26 (1987 年) 将函数 展成 x 的幂级数,并指出其收敛区间27 (2006 年) 求幂级数 的收敛域及和函数 S(x)28 (1994 年) 设函数 y=y(x)满足条件 ,求广义积分 0

6、+y(x)dx29 (2016 年) 设函数 f(x)连续,且满足 0xf(xt)dt= 0x(x 一 t)f(t)dt+ex 一 1,求 f(x)考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编 29 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 直接法则应选 B2 【正确答案】 D【试题解析】 在 f(1+x)=af(x)中,令 x=0 得 f(1)=af(0)所以,应选 D3 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=sinx+xcosxsinx=xcosx , f(x)=cosxxsinxf(0)=0 ,f(0)=1 0,则 f(0)是极小

7、值 是极大值故应选 B4 【正确答案】 C【试题解析】 由右图知 f(x1)=f(x2)=0,f(0)不存在,其余点上二阶导数 f(x)存在且非零,则曲线 y=f(x)最多三个拐点,但在 x=x1 两侧的二阶导数不变号,因此不是拐点而在 x=0 和 x=x2 两侧的二阶导数变号,则曲线 y=f(x)有两个拐点,故应选 C5 【正确答案】 D【试题解析】 则 g(x)在(0,2)内连续,应选 D6 【正确答案】 D【试题解析】 故应选 D7 【正确答案】 D【试题解析】 级数 的部分和数列为 Sn=(a1a 2)4(a3 一 a4)+(a2n1 a2n) =a1a 2+3a 4+a2n1 一 a

8、2n 显然该 Sn 也就是级数存在,则级数 收敛二、填空题8 【正确答案】 应填 2【试题解析】 9 【正确答案】 应填【试题解析】 由于 f(x)=2.(一1)(1+x)2 ,f(x)=2.(一 1)?(一 2)(1+x)3 ,f (n)(x)=2(一 1)nn!(1+x)(n+1) =10 【正确答案】 应填 y=2x【试题解析】 等式 两端对 x 求导得将 x=0,y=0 代入上式得 21+y(0)=y(0)y(0)=一 2 故所求切线方程为 y=一 2x11 【正确答案】 应填【试题解析】 12 【正确答案】 应填 2【试题解析】 (x)=x 0x2f(t)dt,由 (1)=1 知 0

9、1f(t)dt=1,又 (x)= 0x2f(t)dt+2x2f(x2) 由 (1)=5 知 5= 01f(t)dt+2f(1)=1+2f(1) 则 f(1)=213 【正确答案】 应填【试题解析】 14 【正确答案】 应填【试题解析】 由 y x=1=1 知,1=C三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 原式=16 【正确答案】 (1)利润函数为 L=pq 一 c=(deq)q 一(aq 2+bq+c)=(db)q 一(e+a)q2 一 c17 【正确答案】 令 1 一 x=y,则由于 f(x)在 上连续18 【正确答案】 () 成本函数 C(Q)=60 000+

10、20Q,故该商品的边际利润 ()当 p=50 时,销量 Q=10 000,L(10 000)=20其经济意义为:销售第 10 001 件商品时所得的利润为 20 元()令得 Q=20 000,且 L(20 000)0,故当 Q=20 000 件时利润最大,此时 P=40(元)19 【正确答案】 令 xn 一 tn=u,则 F(x)=0xtn1 f(xnt n)dt= F(x)=xn1 f(xn)20 【正确答案】 令 u=sin2x,则有于是21 【正确答案】 令 xt=u,则 t=x 一 u,dt=一 du22 【正确答案】 等式 u+eu=xy 两边同时对 x 求导得上式两边再对y 求偏导

11、得23 【正确答案】 24 【正确答案】 如图所示, 将 D 分成 D1 与 D2 两部分,则25 【正确答案】 26 【正确答案】 27 【正确答案】 因为 所以当x21 即一 1x1 时,原幂级数绝对收敛;当 x=1 时,级数为显然收敛,故原幂级数的收敛域为一 1,1因为 f(0)=0,f(0)=0 ,所以f(x)=0xf(t)dt+f(0)=20xarctantdt =2xarctanx 一 ln(1+x2),x一 1,1 从而 s(x)=2xxarctanxxln(1+xx),x一 1,128 【正确答案】 特征方程为 r2+4r+4=0,解得 r1=r2=一 2,原方程通解为 y=(C1+C2x)e2x 由初始条件得 C1=2,C 2=0,因此,微分方程的特解为 y=2e 2x 0+y(x)dx=0+2e2xdx =129 【正确答案】 令 u=xt,则 0xf(xt)dt= 0xf(u)du 由题设 0xf(u)du=x0xf(t)dt0xtf(t)dt+ex 一 1,求导得 f(x)= 0xf(t)dtex,且 f(0)=一 1 因此 f(x)一 f(x)=ex ,从而 f(x)=e dx(C+ex edx dx)

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