1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 29 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2007 年) 当 x0 +时，与 等价的无穷小量是( ) 2 (1990 年) 设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f(0)=b，其中a、b 为非零常数，则 ( )（A）f(x)在 x=1 处不可导（B） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=a（C） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=b（D）f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=ab3 (2005 年) 设 f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是( )
2、（A）f(0)是极大值， 是极小值（B） f(0)是极小值， 是极大值（C） f(0)是极大值， 也是极大值（D）f(0)是极小值， 也是极小值4 (2015 年) 设函数 f(x)在(一，+)内连续，其 2 阶导函数 f(x)的图形如右图所示，则曲线 y=f(x)的拐点个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）35 (2001 年) 设 g(x)=0xf(u)du，其中 则g(x)在区间(0,2)内( )（A）无界（B）递减（C）不连续（D）连续6 (2016 年) 已知函数 则( )（A）f xfy=0（B） fx+fy=0（C） fx一 fy=f（D）f x+fy=f7 (2005
3、年) 设 an0，n=1，2，若 收敛，则下列结论正确的是( )二、填空题8 (1990 年) 极限 =_9 (1995 年) 设 ，则 f(n)(x)=_10 (2011 年) 曲线 在点(0，0)处的切线方程为_11 (1997 年) 若 则 01f(x)dx=_12 (2015 年) 设函数 f(x)连续， (x)=0x2xf(t)dt.若 (1)=1，(1)=5，则 f(1)=_13 (2007 年) 设 f(u，v)是二元可微函数，=_14 (2007 年) 微分方程 满足 y x=1 的特解为 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 (1988 年) 求16
4、(1993 年) 设某产品的成本函数为 C=aq2+bq+c，需求函数为 其中 C 为成本，q 为需求量(即产量)，P 为单价，a，b，c，d，e 都是正的常数，且db求： 1)利润最大时的产量及最大利润； 2)需求对价格的弹性； 3)需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量17 (2003 年) 设 试补充定义 f(1)使得 f(x)在 上连续18 (2013 年) 设生产某商品的固定成本为 60 000 元，可变成本为 20 元件，价格函数为 P=60 一 ，( 户是单价，单位：元；Q 是销量，单位：件)，已知产销平衡，求： )该商品的边际利润； )当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意
5、义； )使得利润最大的定价 P19 (1994 年) 设函数 f(x)可导，且 f(0)=0，F(x)= 0xf(xn 一 tn)dt，求20 (2002 年) 设21 (2017 年) 求22 (1988 年) 设 u+eu=xy，求23 (1998 年) 设24 (2005 年) 计算二重积分 其中 D=(x，y)1 0x1，0y125 (2012 年) 计算二重积分 及 y 轴为边界的无界区域26 (1987 年) 将函数 展成 x 的幂级数，并指出其收敛区间27 (2006 年) 求幂级数 的收敛域及和函数 S(x)28 (1994 年) 设函数 y=y(x)满足条件 ，求广义积分 0
6、+y(x)dx29 (2016 年) 设函数 f(x)连续，且满足 0xf(xt)dt= 0x(x 一 t)f(t)dt+ex 一 1，求 f(x)考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 29 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 直接法则应选 B2 【正确答案】 D【试题解析】 在 f(1+x)=af(x)中，令 x=0 得 f(1)=af(0)所以，应选 D3 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=sinx+xcosxsinx=xcosx ， f(x)=cosxxsinxf(0)=0 ，f(0)=1 0，则 f(0)是极小
7、值 是极大值故应选 B4 【正确答案】 C【试题解析】 由右图知 f(x1)=f(x2)=0，f(0)不存在，其余点上二阶导数 f(x)存在且非零，则曲线 y=f(x)最多三个拐点，但在 x=x1 两侧的二阶导数不变号，因此不是拐点而在 x=0 和 x=x2 两侧的二阶导数变号，则曲线 y=f(x)有两个拐点，故应选 C5 【正确答案】 D【试题解析】 则 g(x)在(0，2)内连续，应选 D6 【正确答案】 D【试题解析】 故应选 D7 【正确答案】 D【试题解析】 级数 的部分和数列为 Sn=(a1a 2)4(a3 一 a4)+(a2n1 a2n) =a1a 2+3a 4+a2n1 一 a
8、2n 显然该 Sn 也就是级数存在，则级数 收敛二、填空题8 【正确答案】 应填 2【试题解析】 9 【正确答案】 应填【试题解析】 由于 f(x)=2.(一1)(1+x)2 ，f(x)=2.(一 1)?(一 2)(1+x)3 ，f (n)(x)=2(一 1)nn!(1+x)(n+1) =10 【正确答案】 应填 y=2x【试题解析】 等式 两端对 x 求导得将 x=0，y=0 代入上式得 21+y(0)=y(0)y(0)=一 2 故所求切线方程为 y=一 2x11 【正确答案】 应填【试题解析】 12 【正确答案】 应填 2【试题解析】 (x)=x 0x2f(t)dt，由 (1)=1 知 0
9、1f(t)dt=1，又 (x)= 0x2f(t)dt+2x2f(x2) 由 (1)=5 知 5= 01f(t)dt+2f(1)=1+2f(1) 则 f(1)=213 【正确答案】 应填【试题解析】 14 【正确答案】 应填【试题解析】 由 y x=1=1 知，1=C三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 原式=16 【正确答案】 (1)利润函数为 L=pq 一 c=(deq)q 一(aq 2+bq+c)=(db)q 一(e+a)q2 一 c17 【正确答案】 令 1 一 x=y，则由于 f(x)在 上连续18 【正确答案】 () 成本函数 C(Q)=60 000+
10、20Q，故该商品的边际利润 ()当 p=50 时，销量 Q=10 000，L(10 000)=20其经济意义为：销售第 10 001 件商品时所得的利润为 20 元()令得 Q=20 000，且 L(20 000)0，故当 Q=20 000 件时利润最大，此时 P=40(元)19 【正确答案】 令 xn 一 tn=u，则 F(x)=0xtn1 f(xnt n)dt= F(x)=xn1 f(xn)20 【正确答案】 令 u=sin2x，则有于是21 【正确答案】 令 xt=u，则 t=x 一 u，dt=一 du22 【正确答案】 等式 u+eu=xy 两边同时对 x 求导得上式两边再对y 求偏导
11、得23 【正确答案】 24 【正确答案】 如图所示， 将 D 分成 D1 与 D2 两部分，则25 【正确答案】 26 【正确答案】 27 【正确答案】 因为 所以当x21 即一 1x1 时，原幂级数绝对收敛；当 x=1 时，级数为显然收敛，故原幂级数的收敛域为一 1，1因为 f(0)=0，f(0)=0 ，所以f(x)=0xf(t)dt+f(0)=20xarctantdt =2xarctanx 一 ln(1+x2)，x一 1，1 从而 s(x)=2xxarctanxxln(1+xx)，x一 1，128 【正确答案】 特征方程为 r2+4r+4=0，解得 r1=r2=一 2，原方程通解为 y=(C1+C2x)e2x 由初始条件得 C1=2，C 2=0，因此，微分方程的特解为 y=2e 2x 0+y(x)dx=0+2e2xdx =129 【正确答案】 令 u=xt，则 0xf(xt)dt= 0xf(u)du 由题设 0xf(u)du=x0xf(t)dt0xtf(t)dt+ex 一 1，求导得 f(x)= 0xf(t)dtex，且 f(0)=一 1 因此 f(x)一 f(x)=ex ，从而 f(x)=e dx(C+ex edx dx)
