1、2004 年陕西省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知 则 f(x)在 x=0 处( ) （A）无极限（B）有极限但不连续（C）连续但不可导（D）可导2 设函数 f(x)满足 0xf(t)dt=ln(1+x2)，则 f(x)=( )（A）（B）（C）（D）2x3 积分 02x 一 1dx 等于( ).（A）0（B） 1（C） 2（D）4 设级数 条件收敛，则下列级数中发散的是( )（A）（B）（C）（D）5 对微分方程 y一 y一 2y 一 xe-x，利用待定系数法求其特解 y*时，下列特解设法正确的是 ( ) （A）y *=
2、x(Ax+B)e 一 x（B） y*=(Ax+B)e 一 x（C） y*=Axe 一 x （D）y *=x2(Ax+B)e 一 x二、填空题6 已知 =_.7 设 z=f(x，y)可微，又 y=y(x)可导，则对复合函数 =_。8 已知 x0 时，1 一 cos2x 与 为等价无穷小，则 a=_9 设极限 ，则 k=_10 二重积分 =_三、综合题11 求极限 12 计算积分 13 设 z=f(xy，x+y)，其中 f(u，v)具有二阶的连续偏导数，求14 设参数方程 x=arctant，y=ln(1+t 2)，试求15 计算曲线积 L(excosy 一 3y)dxexsinydy，其中积分路
3、径 L 为圆周 x2+y2=2x 的正向16 已知可导函数 f(x)满足 ，求 f(x)17 求幂级数 的收敛域及和函数，并求级数 的和18 试求函数 的单调区间和极值19 设函数 f(x)满足 f(x)=x2 01f(x)dx，求 f(x)20 在曲线 上求平行于平面 x+3y+2z=0 的切线方程四、证明题21 设直线 y=kx(0k1)与曲线 y=x2 以及直线 x=1 围成两图形，记面积分别为 S1和 S2，试求 k 为何值时， S1+S2 最小，并求此时 S1 图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积22 设函数 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导， 存在，试证明：存在(0，
4、1) ，使 f()=02004 年陕西省专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 f(0+0)=ex=1 所以选 D.2 【正确答案】 C【试题解析】 对原式两边同时求一阶导数可得： 所以选 C.3 【正确答案】 B【试题解析】 原式可化为：4 【正确答案】 C【试题解析】 考察任意项级数的条件收敛性质：若级数 发散，则称级数 为条件收敛，所以本题选 C.5 【正确答案】 A【试题解析】 原式特征根内 1=2， 2=一 1，于是相对于原式右边而言有单特征根所以可设特征根为：y *=x(Ax+B)e-x故选 A
5、.二、填空题6 【正确答案】 ln2【试题解析】 7 【正确答案】 【试题解析】 由偏导公式可得：8 【正确答案】 a=4【试题解析】 由题意可得：9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 1 一 cos1【试题解析】 观察二重积分被积函数特点，交换积分次序计算比较方便于是：三、综合题11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 运用格林公式，记圆域 x2+y22x 为 D，则16 【正确答案】 等式两边对 x 求导，得：17 【正确答案】 18 【正确答案】 f(x)=2x 2 一 6x+42(x 一 1)(x 一 2)令 f(
6、x)=0，得驻点：x=1 ，x=2当 x(一，1)U(2 ，+)时，f(x) 0，f(x) 单调增;当 x(1，2)时，f(x)0，f(x)单调减；所以，f(x)在 x=1 取得极大值且 f(x)在 x=2 取得极小值且19 【正确答案】 20 【正确答案】 设平行于平面 x+3y+2z=0 的在曲线上切线的切点所对应的参数为t0，则可知在 t=t0 处切线的方向向量为 t03，t 02，t 0)平面的法向量为1 ，3，2，由切线与平面平行，得(t 03，t 02，t 0.1，3，2=0)即 t03+3t03+2t0=0 解得 t0=一2，t 0=一 1， t2=0(舍去)当 t0=一 2 时，所求切线的方向向量为一 8，4，一 2，切点为 所求切线方程为 即当 t0=一 1 时，所求切线的方向向量为一 1，1，一 1，切点为 所求切线方程为四、证明题21 【正确答案】 求(0，1)内交点：kx=x 2x=k22 【正确答案】 又因为 f(x)在0，1上连续，在(0， 1)内可导，且 f(0)=f(1)=0 所以由罗尔定理知：存在 (0，1)，使 f()=0
