1、2009 年河南省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 下列函数相等的是 ( )2 下列函数中为奇函数的是 ( )3 极限 = ( )（A）1（B） -1（C） 0（D）不存在4 当 x0 时，下列无穷小量中与 x 等价的是 ( )（A）2x 2x（B）（C） ln(1+x)（D）sin 2x5 设 f(x)= ，则 x=0 是 f(x)的 ( )（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）无穷间断点6 设函数 f(x)可导，且 =-1，则 f(1)= ( )（A）2（B） -1（C） 1（D）-27 设函数 f(x)具有四阶
2、导数，且 f(x)= ，则 f(4)(x)= ( )8 曲线 对应点处的法线方程为 ( )（A）x=（B） y=1（C） y=x+1（D）y=x-19 已知 de-xf(x)=exdx，f(0)=0，则 f(x)= ( )（A）e 2x-ex（B） e2x-ex（C） e2x+e-x（D）e 2x-e-x10 函数在某点处连续是其在该点处可导的 ( )（A）必要条件（B）充分条件（C）充分必要条件（D）无关条件11 函数 y=x4-24x2+6x 的凸区间为 ( )（A）(-2，2)（B） (-，0)（C） (0，+)（D）(-，+)12 曲线 y= ( )（A）仅有水平渐近线（B）既有水平渐
3、近线，又有垂直渐近线（C）仅有垂直渐近线（D）既无水平渐近线，又无垂直渐近线13 下列说法正确的是 ( )（A）函数的极值点一定是函数的驻点（B）函数的驻点一定是函数的极值点（C）二阶导数非零的驻点一定是极值点（D）以上说法都不对14 设 f(x)在a，b上连续，且不是常数函数，若 f(a)=f(b)，则在(a，b)内 ( )（A）必有最大值或最小值（B）既有最大值又有最小值（C）既有极大值又有极小值（D）至少存在一点 ，使得 f()=015 若 f(x)的一个原函数是 lnx，则 f(x)= ( )（A）（B）（C） lnx（D）xlnx16 若f(x)dx=x 2+C，则xf(1-x 2)
4、dx= ( )（A）-2(1-x 2)2+C（B） 2(1-x2)2+C（C） (1-x2)2+C（D） (1-x2)2+C17 下列不等式中不成立的是 ( )18 lnxdx= ( )19 下列广义积分中收敛的是 ( )20 方程 x2+y2-z=0 在空间直角坐标系中表示的曲面是 ( )（A）球面（B）圆锥面（C）旋转抛物面（D）圆柱面21 设向量 a=-1，1，2，b=2，0，1 ，则 a 与 b 的夹角为 ( )22 直线 与平面 4x-2y-2z=3 的位置关系是 ( )（A）平行但直线不在平面上（B）直线在平面内（C）垂直（D）相交但不垂直23 设 f(x，y)在(a，b)处有偏导
5、数，则 = ( )24 函数 z= 的全微分 dz= ( )25 二重积分 化为极坐标形式为 ( )26 设 L 是以 A(-1，0)，B(-3，2)，C(3，0)为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA，则 L(3x-y)dx+(-2y)dy= ( )（A）-8（B） 0（C） 8（D）2027 下列微分方程中，可分离变量的方程是 ( )28 若级数 收敛，则下列级数中收敛的是 ( )29 函数 f(x)=ln(1-x)的幂级数展开式为 ( )30 级数 (x-1)n 在 x=-1 处收敛，则此级数在 x=2 处 ( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）无法确定二、填空题31 已知
6、 f(x)= ，则 ff(x)=_32 当 x0 时，f(x)与 1-cosx 等价，则 =_33 若 =8，则 a=_34 设函数 f(x)= 在(-，+)内处处连续，则 a=_35 曲线 y= 在(2，2)点处的切线方程为_36 函数 f(x)=x2-x-2 在区间0，2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的=_37 函数(x)=x- 的单调减少区间是_38 已知 f(0)=2，f(2)=3 ，f(2)=4，则 =_39 设向量 b 与 a=1，-2，3共线，且 a.b=56，则 b=_40 设 z= =_41 函数 f(x， y)=2x2+xy-2y2 的驻点为_42 设区域 D 为(x，y
7、) x2+y29，则 =_43 交换积分次序后， f(x，y)dy=_44 已知 y= xe-x 是微分方程 y-2y-3y=e-x 的一个特解，则该方程的通解为45 已知级数 的部分不 Sn=n3，则当 n2 时，u n=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 求极限 的值47 设 y=f(x)是由方程 exy+ylnx=sin2x 确定的隐函数，求48 已知xf(x)dx=e -2x+C，求不定积分49 求定积分 (x-1)dx50 设 x= ，求全微分 dz51 求 (2x+y)d，其中区域 D 由直线 y=x，y=2x，y=2 围成52 求微分方程 y-2xy= 的通解53 求幂
8、级数 的收敛区间(考虑区间的端点)四、综合题54 靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为 64 平方米的条件下，问增加的三面墙各长多少米时，其总长度最小.55 设 D 是由曲线 y=f(x)与直线)y=0，y=3 围成的区域，其中 f(x)= ，求 D 绕 y 轴旋转一周形成的旋转体的体积五、证明题56 设 F(x)= ，其中函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，证明：在开区间(a，b)内，方程 F(x)=0 有唯一实根.2009 年河南省专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试
9、题解析】 两个函数相等，当且仅当定义域和对应 法则均相同，故选 D2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)+f(-x)=ln1=0， 所以 f(-x)=-f(x)，即 f(x)为奇函数，故选 C3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 =1， =-1，左右极限均存在，但 ，故极限不存在，故选 D4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 =1，故 ln(1+x)与 x 等价，故选 C.5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 时没有意义，且 =1，所以 x=0 为函数 f(x)的可去间断点，故选 B6 【正确答案】 D【试题解析】 函数 f(x)可导，所以 f(1)= =-
10、2，故选 D.7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)= ，则 f(x)= ，所以 f(4)(x)=8 【正确答案】 A【试题解析】 因为曲线的斜率 k= ，当 t= 时，k=0，则法线的斜率为无穷大，即法线垂直于 x 轴，又曲线上 t= 的点的坐标为 ( ，1)，故选 A.9 【正确答案】 B【试题解析】 对等式的两边进行积分，得 e-xf(x)=ex+C，所以 f(x)=e2x+Cex，又 f(0)=0，即 0=1+C，所以 C=-1，得 f(x)=e2x-ex10 【正确答案】 A【试题解析】 函数在某点可导，则必在该点连续，反之并不一定成立如y= x在 x=0 处连续，但在该点
11、不可导11 【正确答案】 A【试题解析】 因 y=4x3-48x+6，y=12x 2-48，令 y0，得-212 【正确答案】 B【试题解析】 因 =，所以有垂直渐近线，又因 =0，所以有水平渐近线13 【正确答案】 C【试题解析】 如函数 y=x的极值点为(0，0)，但 (0，0)点并非驻点，y=x 3 的驻点在 x=0 时取得，但(0，0)点并非极值点，由极值存在的第二充分条件知应选 C.14 【正确答案】 A【试题解析】 由有界性与最值定理，知 A 选项正确对选项 B，取函数 f(x)=x2，则 f(x)在(-2， 2)内只有最小值，没有最大值；同时也只有极小值，没有极大值；对选项 D，
12、取函数 f(x)=x在(-2 ，2)内，找不到一点 ，使得 f()=015 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x)的一个原函数是 lnx，则 f(x)=(lnx)= ，从而 f(x)=16 【正确答案】 C【试题解析】 因f(x)dx=x 2+C，则xf(1-x 2)dx= f(1-x2)d(1-x2)= f(t)dt=(1-x2)2+C17 【正确答案】 D【试题解析】 因 ex=1+x+ 2+1+x ，故应有 (1+x)dx，故选 D.18 【正确答案】 C【试题解析】 ，故选 C.19 【正确答案】 C【试题解析】 因广义积分 (a1)当 k1 时收敛，当 k1 时发散，故选C.20
13、 【正确答案】 C【试题解析】 该曲面是由平面 x=0 内的抛物线曲线 z=y2 旋转而成，故选 C.21 【正确答案】 D【试题解析】 因 a.b=-12+10+21=0，即 a 上 b，所以 a 与 b 的夹角为22 【正确答案】 A【试题解析】 直线的方向向量为 s=-2，-7，3，平面的法向量为 n=4，-2，-2，因为 s.n=(-2)4+(-7)(-2)+3(-2)=0，即 sn，从而可知直线与平面平行，又因直线过点 M0(-3，-4，0) ，将该点坐标代人平面方程得 4(-3)-2(-4)-20=-43，即该点不在平面内，即直线不在平面内，所以选 A.23 【正确答案】 B【试题
14、解析】 24 【正确答案】 D【试题解析】 25 【正确答案】 D【试题解析】 令 x=rcos，y=rsin ，可知 0 ，0ra ，则极坐标形式为26 【正确答案】 A【试题解析】 ABCA 为顺时针方向，即三角形区域边界的负方向，所以由格林公式 L(3x-y)dx+(x-2y)dy= 表示ABC 的面积，易求得结果为-827 【正确答案】 C【试题解析】 由可分离变量方程的特点，易知 C 为正确选项28 【正确答案】 A【试题解析】 由级数的性质：若 收敛，则 必收敛，故选 A.29 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)=ln(1-x)=-x- -，(-1x1) 30 【正确答案】 B
15、【试题解析】 令 t=x-1，则 在 t=-2 处收敛，由定理可知 必在区间(-2，2)内绝对收敛，又当 x=2 时，t=1 (-2，2)，所以选 B.二、填空题31 【正确答案】 【试题解析】 因 f(x)= ，则 ff(x)=32 【正确答案】 【试题解析】 因当 x0 时，f(x)与 1-cosx 等价，所以33 【正确答案】 ln2【试题解析】 因为 =e3a1=8，所以 3a=ln8，从而 a=ln234 【正确答案】 1【试题解析】 函数 f(x)在(-，+) 内处处连续，所以 =1=f(0)=a，即 a=135 【正确答案】 y=【试题解析】 曲线 y= 的斜率 k=y= ，当
16、x=2 时，k= ，又因过点(2，2)，所以切线方程为 y-2= (x-2)，即 y=36 【正确答案】 1【试题解析】 由拉格朗日中值定理，知 f()= =1，又 f(x)=2x-1，当 x=1 时，f(1)=1 ，故=137 【正确答案】 (0， )【试题解析】 因为 f(x)=1- ，令 f(x)=1- 0，得 0x38 【正确答案】 7【试题解析】 =24-f(2)+f(0)=739 【正确答案】 4，-8 ，12 或 4a【试题解析】 因向量 b 与 a=1，-2 ，3共线，则存在常数 使得 b=a，由a.b=a.a=a 2=14=56，得 =4故 b=4a=4 ，-8，1240 【
17、正确答案】 (2+4x 2)【试题解析】 41 【正确答案】 (0，0)【试题解析】 得驻点为(0，0)42 【正确答案】 0【试题解析】 43 【正确答案】 【试题解析】 由 ，知积分区域为 D=(x，y)0x1，xy ，该区域又可表示为 D：(x， y)0y1 ，y 2xy，所以交换积分次序后得44 【正确答案】 y=C 1e-x+C2e3x- xe-x【试题解析】 相应的齐次微分方程所对应的特征方程为 r2-2r-3=0，解得 r1=-1，r 2=3，故齐次方程的通解为 y=C1e-x+C2e3x，所以原方程的通解为 y=C1e-x+C2e3x-xe-x45 【正确答案】 3n 2-3n
18、+1【试题解析】 u 1=S1=1，当 n2 时，u n=Sn-Sn-1=n3-(n-1)3=3n2-3n+1三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 原式=47 【正确答案】 方法一 方程两边同时对 x 求导，得 exy(y+xy)+ +ylnx=2cos2x，则 y= 方法二 令 F(x，y)=e xy+ylnx-sin2x，则 (x，y)=ye xy+ -2cos2x， (x，y)=xe xy+lnx，从而 y=48 【正确答案】 对原等式两边求导得 xf(x)=-2e-2x，所以 f(x)=49 【正确答案】 50 【正确答案】 因(2x+y)dx+(x-2y)dy51
19、 【正确答案】 积分区域可表示为 D=(x，y)0y2， xy)，则 52 【正确答案】 方法一 对应的齐次线性微分方程 y-2xy=0 的通解为 y= ，设y= 为原微分方程的通解，代入原方程可得 C(x) ，即 C(x)= ，则 C(x)= +C，从而原微分方程的通解为 y= 方法二 原方程为一阶非齐次线性微分方程，其中 P(x)=-2x，Q(x)= ，则方程的通解为 53 【正确答案】 令 t=x2，则幂级数可化为 所以 的收敛半径为 2，则 的收敛半径为 ， 又当 x=发散，所以所求的收敛区间为四、综合题54 【正确答案】 设与已知墙面平行的墙的长度为 x 米，则另两面墙的长为 米，故三面墙的总长为 l=x+ (x0) ，令 l=1- =0，得唯一驻点 x= ，则 x= 必为最小值点，此时三面墙的长度分别为55 【正确答案】 如第 55 题图所示： 依题意得 V=五、证明题56 【正确答案】 因为函数 f(x)在闭区间a ，b上连续，显然 F(x)也在闭区间a ，b上连续，且 F(a)= ，所以方程 F(x)=0 在开区间(a，b)内有实根又 F(x)=f(x)+ 0，所以 F(x)在区间(a，b)内为单调增加，故 F(a)在(a， b)内至多有一个实根因此方程 F(x)=0 在开区间(a，b)内有唯一实根
