1、专升本（高等数学一）模拟试卷 50 及答案与解析一、选择题1 设 f(0)=0，且 f(0)存在，则 =( )（A）f(0)（B） 2f(0)（C） f(0)（D）2 设有直线 l1： ，当直线 l1 与 l2 平行时，=( )（A）1（B） 0（C）（D）-13 设 0xf(t)dt=xsinx，则 f(x)=( )（A）sinx+xcosx（B） sinx-xcosx（C） xcosx-sinx（D）-(sinx+xcosx)4 设 f(x)=sin2x，则 f(0)=( )（A）-2（B） -1（C） 0（D）25 设 z=xy+y，则 =( )（A）e+1（B）（C） 2（D）16 设
2、函数 f(x)在区间0，1上可导，且 f(x)0，则( )（A）f(1)f(0)（B） f(1)f(0)（C） f(1)=f(0)（D）f(1)与 f(0)的值不能比较7 曲线 y=x-3 在点(1，1)处的切线斜率为 ( )（A）-1（B） -2（C） -3（D）-48 方程 x2+2y2-z2=0 表示的二次曲面是( )（A）椭球面（B）锥面（C）旋转抛物面（D）柱面9 设 y1，y 2 为二阶线性常系数微分方程 y“+p1y+p2y=0 的两个特解，则 C1y1+C2y2( )（A）为所给方程的解，但不是通解（B）为所给方程的解，但不一定是通解（C）为所给方程的通解（D）不为所给方程的解
3、10 设 unan(n=1，2，)(a0)，且 收敛，则 ( )（A）必定收敛（B）必定发散（C）收敛性与 a 有关（D）上述三个结论都不正确二、填空题11 若 =-2，则 a=_。12 设 sinx 为 f(x)的原函数，则 f(x)=_。13 设 y= ，则 y=_。14 x(x2-5)4dx=_。15 如果函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，则在(a ，b) 内至少存在一点 ，使得 f(b)-f(a)=_。16 设 z=sin(x2y)，则 =_。17 二元函数 z=x2+3xy+y2+2x，则 =_。18 交换二重积分次序 01dxx2xf(x，y)dy=_ 。19 设
4、 (x)=0xln(1+t)dt，则 “(x)=_。20 微分方程 y=x 的通解为_。21 求函数 y= 在点 x=0 处的导数 y|x=0。22 计算23 设 y= -2，求所给曲线的水平渐近线与铅直渐近线。24 求由曲线 y=2-x2，y=x(x0)与直线 x=0 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积。25 将 f(x)= 展开为 x 的幂级数。26 设 z=f(u，)，而 u=x2y，= ，其中 f(u，)存在偏导数，求 。27 判定级数 的收敛性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛?28 求 y“+6y+13y=0 的通解。专升本（高等数学一）模拟试卷 50 答案与解析
5、一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 此极限属于 型，可用洛必达法则，即 ，故选 B。2 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为直线间的关系。直线，其方向向量分别为s1=1，2，)，s 2=2，4，-1) 又 l1l2，则 ，从而 = ，故选 C。3 【正确答案】 A【试题解析】 在 0xf(t)dt=xsinx 两侧关于 x 求导数，有 f(x)=sinx+xcosx。故选 A。4 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(c)=sin2x 可得 f(x)=cos2x(2x)=2cos2x，f(0)=2cos0=2，故选D。5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 =elne+1=
6、e+1。故选 A。6 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x) 0 说明 f(x)在0，1上是增函数，因为 10，所以 f(1)f(0)。故选 A。7 【正确答案】 C【试题解析】 由导数的几何意义知，若 y=f(x)可导，则曲线在点(x 0，f(x 0)处必定存在切线，且该切线的斜率为 f(x0)。由于 y=x-3，y=-3x -4，y| x=1=-3，可知曲线y=x-3 在点(1，1)处的切线斜率为-3，故选 C。8 【正确答案】 B【试题解析】 对照二次曲面的标准方程，可知所给曲面为锥面，故选 B。9 【正确答案】 B【试题解析】 如果 y1，y 2 这两个特解是线性无关的，即 C，则
7、 C1y1+C2y2 是其方程的通解。现在题设中没有指出是否线性无关，所以可能是通解，也可能不是通解，故选 B。10 【正确答案】 D【试题解析】 由正项级数的比较判定法知，若 unn，则当 收敛时， 也收敛；若 也发散，但题设未交待 un 与 n 的正负性，由此可分析此题选 D。二、填空题11 【正确答案】 -2【试题解析】 因为 =a，所以 a=-2。12 【正确答案】 0【试题解析】 因为 sinx 为 f(x)的一个原函数，所以 f(x)=(sinx)=cosx，f(x)=-sinx。13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 15 【正确答案】 f()(b-a
8、)【试题解析】 由题目条件可知函数 f(x)在a ，b 上满足拉格朗日中值定理的条件，因此必定存在一点 (a，b)，使 f(b)-f(a)=f()(b-a)。16 【正确答案】 x 2cos(x2y)【试题解析】 设 u=x2y，则 z=sinu，因此 =cosu.x2=x2cos(x2y)。17 【正确答案】 3【试题解析】 因为 z=x2+3xy+y2+2x，18 【正确答案】 【试题解析】 因为 01dxx2xf(x，y)dy， 所以其区域如图所示，所以先对 x 的积分为 。19 【正确答案】 【试题解析】 用变上限积分公式( 0xf(t)dt)=f(x)，则 (x)=ln(1+x)，“
9、(x)= 。20 【正确答案】 【试题解析】 本题考查可分离变量的微分方程分离变量得 dy=xdx，两端分别积分，dy=xdx ，21 【正确答案】 可知 y|x=0=0。【试题解析】 此题如果先求函数 y 的导数 y后，再代入 x=0 便得 y没有意义。所以此题只能利用导数的定义式，即 f(x0)= 的方法来求。22 【正确答案】 利用洛必达法则： 。【试题解析】 本题考查的知识点为利用洛必达法则求“ ”型极限，或利用等价无穷小量代换简化求极限运算。23 【正确答案】 ，可知 y=2 为水平渐近线； ，可知 x=0 为铅直渐近线。【试题解析】 解本题的关键是要知道函数 y=f(x)的水平渐近
10、线和铅直渐近线的判定方法。即：(1)如果 =，则称 x=x0 是一条铅直渐近线； (2)如果=C，则称 y=C 是一条水平渐近线。24 【正确答案】 由平面图形 axb，0yy(x)所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积为 Vx=aby2(x)dx。画出平面图形的草图 (如图所示)，则所求体积为 0x1，0y2-x 2 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积减去 0x1，0yx 所围成的平面图形绕 z 轴旋转一周所生成的旋转体体积。【试题解析】 就一般情况而言，如果有两条曲线 y=f(x)，y=g(x)( 假设 f(x)g(x)与x=a，x=b(ab)所围成的平面绕
11、 x 轴旋转一周后所成的旋转体的体积公式为：Vx=abf2(x)-g2(x)dx。25 【正确答案】 所给 f(x)与标准展开级数中的形式不同，由于【试题解析】 不容易直接展开为幂级数形式但是对其求导后所得函数，即 是常见函数，它的展开式是已知的。这样我们就得到 f(x)的幂级数展开式，然后对其两边积分，就可以得到 f(x)的展开式。26 【正确答案】 由复合函数的链式法则有【试题解析】 本题考查的是抽象函数求偏导数的方法。题中已给出u=x2y，= ，所以直接利用复合函数求偏导的链式法则即可。27 【正确答案】 所给级数是任意项级数，不是交错级数。由于又由于 的 p 级数，因而收敛。由正项级数的比较判别法可知。【试题解析】 这是一道任意项级数判断敛散性的题，首先清楚如果给了一个任意项级数28 【正确答案】 特征方程为 r2+6r+13=0，故 r=-32i 为共轭复根，于是通解为 y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)。【试题解析】 本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的求解。
