1、专升本（高等数学一）模拟试卷 82 及答案与解析一、选择题1 （A）1（B） 0（C） 2（D）2 设函数 y=x2+1，则（A）（B） x2（C） 2x（D）3 函数 y=ex+e 一 x 的单调增加区间是（A）(一， +)（B） (一，0（C） (一 1，1)（D）0 ，+)4 设f(x)dx=x 2+C，则xf(1 一 x2)dx=（A）一 2(1 一 x2)2+C（B） 2(1 一 x2)2+C（C） (1 一 x2)2+C（D） (1 一 x2)2+C5 过点(0 ，2，4) 且平行于平面 x+2z=1，y 一 3z=2 的直线方程为6 设 z=ln(x3+y3)，则 dz|(1,1
2、)=（A）dx+dy（B）（C）（D）2(dx+dy)7 比较 的大小，其中 D：(x-2) 2+(y 一 1)21，则（A）I 1=I2（B） I1I 2（C） I1I 2（D）无法比较8 若 发散，则9 微分方程 的通解为10 设方程 y“一 2y一 3y=f(x)有特解 y*，则它的通解为（A）y=C 1e 一 xr+C2e3x+y*（B） y=C1e 一 x+C2e3x（C） y=C1xe 一 x+C2e3x+y*（D）y=C 1ex+C2e 一 3x+y*二、填空题11 当 x=1 时， f(x)=x3+3px+q 取到极值( 其中 q 为任意常数)，则 p=_12 设 f(x)=0
3、x|t|dt，则 f(x)=_13 设 f(x2)= 则 f(x)=_14 设 f(x)是连续的奇函数，且 01f(x)dx=1，则 一 10f(x)dx=_15 设 z=xy，则 dz=_16 设 交换积分次序，则有 I=_17 当 p_时，反常积分 1+ 收敛18 判断级数 收敛还是发散，你的结论是_19 ylnxdx+xlnydy=0 的通解是_20 y“一 2y=3y=0 的通解是_21 设 y=y(x)是由方程 2y 一 x=(x 一 y)ln(x 一 y)确定的隐函数，求 dy22 已知曲线 y=ax2+bx2+x2+3 在点(1，6)处与直线 y=11x 一 5 相切，求 a，b
4、23 设xf(x)dx=arcsinz+C，求24 25 求方程 y=e3x 一 2y 满足初始条件 y|x=0=0 的特解26 设 ，求 dz27 求 (1 一 x2 一 y2)dxdy，其中 D 是由 y=x，y=0，x 2+y2=1 在第一象限内所围的区域28 一艘轮船以 20 海里/小时的速度向东行驶，同一时间另一艘轮船在其正北 82 海里处以 16 海里/小时的速度向南行驶，问经过多少时间后，两船相距最近 ?专升本（高等数学一）模拟试卷 82 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 C【试题解析】 y=x 2+1,3 【正确答案】 D【试题解析】 y=
5、e x+e 一 x，则 y=ex 一 e 一 x，当 x 0 时，y 0，所以 y 在区间0，+) 上单调递增4 【正确答案】 C5 【正确答案】 C【试题解析】 两平面的交线方向 一 2，3，1，即为所求直线的方向，所以所求直线方程为6 【正确答案】 C【试题解析】 7 【正确答案】 C【试题解析】 因积分区域 D 是以点(2，1)为圆心的一单位圆，且它位于直线x+y=1 的上方，即在 D 内恒有 x+y1，所以(x+y) 3(x+y) 3所以有 I1I 28 【正确答案】 A【试题解析】 若 发散，可能有 如 故 A 正确由 发散可见B 不成立， C 不成立由 发散知 D 不成立9 【正确
6、答案】 C【试题解析】 原方程的通解为10 【正确答案】 A【试题解析】 考虑对应的齐次方程 y“一 2y一 3y=0 的通解特征方程为 r2 一 2r一 3=0，所以 r1=一 1，r 2=3，所以 y“一 2y一 3y=0 的通解为 y=C1e 一 x+C2e3x，所以原方程的通解为 y=C1e 一 x+C2e3x+y*二、填空题11 【正确答案】 一 1【试题解析】 f(x)=3x 2+3p，f(1)=3+3p=0，所以 p=一 112 【正确答案】 |x|【试题解析】 当 x0 时，f(x)=( 0xtdt)=x，当 x 0 时，f(x)= 0x(一 t)dt=一 x，当 x=0 时，
7、 同理 f一 (0)=0，所以 f(0)=0，故f(x)=|x|13 【正确答案】 【试题解析】 令 x2=t，则14 【正确答案】 一 1【试题解析】 f(x)是奇函数，则 一 11f(x)dx=0，因此 一 10f(x)dx=一 01f(x)dx=一 115 【正确答案】 yxy 一 1dx+xylnxdy【试题解析】 z=x y，则 所以 dz=yxy 一 1dx+xylnxdy16 【正确答案】 0xdxx4xf(x，y)dy【试题解析】 f(x，y)dx 的积分区域=(x，y)|0x4，x 2y4x)，所以I=04dxx4xf(x，y)dy17 【正确答案】 0【试题解析】 若 收敛
8、，必有 p0，因如果 p0，则当 x1 时，发散，故 p0 时， 收敛18 【正确答案】 发散【试题解析】 由 发散，所以原级数发散19 【正确答案】 (lnx) 2+(1ny)2=C【试题解析】 分离变量得积分得 即(1nx) 2+(lny)2=C20 【正确答案】 y=C 1e 一 x+C2e3x【试题解析】 由 y“一 2y一 3y=0 的特征方程劲 r 2 一 2r 一 3=0， 得特征根为r1=3，r 2=一 1，所以方程的遵解为 y=C 1e 一 x+C2e3x21 【正确答案】 方程两边对 x 求导有(注意 y 是 x 的函数)，22 【正确答案】 曲线过点(1，6)，即点(1，
9、6) 满足曲线方程， 所以 6=a+b+4，(1) 再 y=4ax3+3bx2+2x，且曲线在点 (1，6)处与 y=11x 一 5 相切， 所以 y|x 一1=4a+3b+2=11， 联立(1)(2)解得 a=3，b=一 123 【正确答案】 原式两边对 x 求导，得24 【正确答案】 令 则 x=t2 一 1，dx=2tdt，所以=122(t 一 1)tdt=212(t2 一 t)dt=25 【正确答案】 原题可改写为 即 e2ydy=e3xdx，两边积分得代入初始条件 y|x=0，得 所以 故所求特解为26 【正确答案】 27 【正确答案】 积分区域 D 如图所示，据被积函数特点 (含 x2+y)，及积分区域的特点(扇形 )，该积分易用极坐标计算 D 可表示为于是28 【正确答案】 设经过 t 小时两船相距 S 海里，则 即S2=(8216t)2+(20t)2，所以(S 2)=2(8216t)(一 16)+220t20，令(S 2)=0，得驻点 t=2，即经过两小时后两船相距最近
