[专升本类试卷]四川省专升本（高等数学）历年真题试卷汇编1及答案与解析.doc

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1、四川省专升本（高等数学）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 当 x0 时，a= 是无穷小量，则 ( )（A）a 是比 2x 高阶的无穷小量（B） a 是比 2x 低阶的无穷小量（C） a 与 2x 是同阶的无穷小量，但不是等价无穷小量（D）a 与 2x 是等价无穷小量2 = ( )（A）e（B） e1（C）一 e1（D）一 e3 设 y=lnx，则 y= ( )（A）（B）（C）（D）4 设 axb ，f(x) 0，f(x) 0，则在区间(a ，b) 内曲线弧 y=f(x)的图形 ( )（A）沿 x 轴正向下降且向上凹（B）沿 x 轴

2、正向下降且向下凹（C）沿 x 轴正向上升且向上凹（D）沿 x 轴正向上升且向下凹5 球心在(1，2，2) 且与 xOy 平面相切的球面方程是 ( )（A）(x+1) 2+(y2) 2+(z+2)2=4（B） (x+1)2+(y2) 2+(z+2)2=2（C） x2+y2+z2=4（D）x 2+y2+z2=26 dx= ( )（A）一 2（B）一 1（C） 0（D）17 已知向量 a=i+j+k，则垂直于 a 且垂直于 y 轴的向量是 ( )（A）ij+k（B） ij 一 k（C） i+k（D）ik8 下列级数中，条件收敛的级数是 ( )（A）（B）（C）（D）9 微分方程 y+y=0 的通解为

3、 ( )（A）C 1cosx+C2sinx（B） (C1+C2x)ex（C） (C1+C2x)ex（D）C 1ex +C2ex10 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中错误的是 ( )（A）AA T=ATA（B） A*A=AA*（C） (A2)n=(An)2（D）(E+A)(EA)=(EA)(E+A)二、填空题11 设二元函数 z=ln(x+y2)，则 =_12 =_13 过点(1 ，一 1，0) 与直线 垂直的平面方程为_14 =_15 设 A= ，矩阵 X 满足方程 AX+E=A2+X，则 X=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 求17 设 y=y(x)由方程 y2 一 3xy+x

4、3=1 确定，求 dy18 已知平面过两点 M(3，一 2，5)和 N(2，3，1)且平行于 z 轴，求此平面的方程19 求(x 2sinx)dx 20 计算 xy2dxdy，其中积分区域 D 由直线 y=x， x=1 及 x 轴围成21 将 f(x)=cos2x 展开 x 的幂级数22 求 y2y一 3y=ex 的通解23 设线性方程组 问 为何值时，方程组无解， 为何值时，方程组有解，有解时，求方程组的解四、综合题24 某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x 单位的产品甲与 y 单位的产品乙总费用是 400+2x+3y+001(3x 2+xy+3y2)(元)

5、求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少?25 过点 M(3，0)作曲线 y=ln(x3)的切线，该切线与此曲线及 x 轴围成一平面图形 D试求平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积五、证明题26 证明不等式： ，其中 nm ，且 m，n 均为正整数四川省专升本（高等数学）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 故选 C2 【正确答案】 B【试题解析】 由于故选 B3 【正确答案】 C【试题解析】 y=lnx， 故选 C4 【正确答案】 B【试题解析】 当 axb 时，f(x)0，因此曲线弧 y=f(

6、x)在(a，b) 内下降由于在(a， b)内 f(x)0，因此曲线弧 y=f(x)在(a，b)内下凹故选 B5 【正确答案】 A【试题解析】 已知球心为(一 1，2，一 2)，则代入球面标准方程为(x+1) 2+(y2)2+(z+2)2=r2又与 xOy 平面相切，则 r=2故选 A6 【正确答案】 C【试题解析】 因为被积函数 是奇函数，所以在对称区间内dx=07 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意知 a=(1，1，1)，设所求向量为 (x，y，z) ，则故所求向量为 i 一 k8 【正确答案】 C【试题解析】 对于 A 中所给级数0，因此 发散，应排除 A；对于 B 中所给级数 ，可知

7、 ，因此 发散，应排除 B；对于 D 中所给级数 考虑为 p=2 的 P 级数，可知其为收敛级数，从而知为绝对收敛，应排除 D；对于 C 中所给级数的 P 级数，可知其发散但是，注意到 由莱布尼茨判别法可知 收敛，从而知其为条件收敛故选 C9 【正确答案】 A【试题解析】 由题意得微分方程的特征方程为 r2+10，故 r=i 为共轭复根，于是通解为 y=C1cosx+C2sinx10 【正确答案】 A【试题解析】 因为 A 是 n 阶矩阵，所以 AAT=故 AAT 不一定等于 ATA，故选项 A 错误二、填空题11 【正确答案】 dx【试题解析】 由于 函数 z=ln(x+y2)的定义域为x+

8、y2 0在 z 的定义域内 为连续函数，因此 dz 存在，且又由于 故12 【正确答案】 +C【试题解析】 13 【正确答案】 x2y+3z 一 3=0(或(x 一 1)一 2(y+1)+3z=0)【试题解析】 直线垂直于平面 ， 的法向量即为直线的方向向量，即n=s=(1，一 2，3)，且点(1，一 1，0)在平面 上，(x1)2(y+1)+3z=014 【正确答案】 【试题解析】 令 =u，则 x= u2，dx= udu，当 x=1 时，u=3 ，当 x=1 时，u=1，则原式=15 【正确答案】 【试题解析】 由 AX+E=A2+X (AE)X=A2 一 E。A= ，则 AE=，显然 A

9、E 可逆，所以(AE) 1 (AE)X=X=(AE)1 (A2E)=(AE)1 (AE)(A+E)=A+E，所以 X=三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 【试题解析】 本题采用凑微分法求定积分17 【正确答案】 将方程两端关于 x 求导，可得 2yy3(y+xy)+3x 2=0，可解得因此 dyydx= dx【试题解析】 若 y=y(x)由方程 F(x，y)=0 确定，求 dy 常常有两种方法(1)将方程 F(x，y)=0 直接求微分，然后解出 dy(2)先由方程 F(x，y)=0 求 y，再由 dy=ydx 得出微分 dy18 【正确答案】 因为平面平行于 z 轴，故设

10、所求平面方程为 Ax+By+D=0又过两点 M，N，将其坐标分别代入方程得 解得A= ，再代入方程得 Dy+D=0，故得 5x+y 一 13=0【试题解析】 解本题的关键是要抓住题中的两个条件其一，此平面平行于 z 轴，因而此平面方程为 Ax+By+D=0；其二，平面过两个点，那么将这两个点代入方程后应使等式成立19 【正确答案】 (x 2 一 sinx)dx= x3+cosx+C【试题解析】 本题直接根据不定积分公式进行求解20 【正确答案】 【试题解析】 计算二重积分的基本思想是将其化为累次积分可以将二重积分转化为先对 y 积分，后对 x 积分的累次积分21 【正确答案】 【试题解析】 我

11、们已知 cosx 的展开式，所以首先将 f(x)化成 (1+cos2x)的形式，然后套用已知展开式即可22 【正确答案】 其对应的齐次线性微分方程的特征方程为 r2 一 2r 一 3=0，特征根为 r1=1，r 2=3，相应齐次方程的通解为 =C1ex +C2e3x设方程的特解为y*=Aex，代入 y一 2y一 3y=ex，得 A= ，原方程的特解 y*= ex【试题解析】 本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解求解二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=f(x)的一般步骤：(1)先求出与其相对应的齐次线性微分方程的通解 =C1y1+C2y2；(2)再求出它的一个特解 y*；(3)y

12、=C 1y1+C2y2+y*即为所求方程的通解23 【正确答案】 对方程组的增广矩阵作初等行变换，得所以 =0 或 =3 时，方程组无解；0 且3 时，方程组有唯一解，其解为【试题解析】 本题是利用初等行变换求解非齐次线性方程组四、综合题24 【正确答案】 设 L(x， y)表示产品甲与乙分别生产 x 与 y 单位时所得的总利润，因为总利润等于总收入减去总费用，所以 L(x，y)=(10x+9y)一400+2x+3y+001(3x 2+xy+3y2) =8x+6y 一 001(3x 2+xy+3y2)一 400， L x(x，y)=80 01(6x+y)=0， L y(x，y)=6 001(x

13、+6y)=0， 得驻点(120，80) 因为A=Lxx=0060，B=L xy=001，C=L yy=006， 所以 B2 一 AC=(一 001)2 一(一 006) 2=3510 3 0， 故 x=120，y=80，L(120 ，80)=320 是极大值 所以生产 120 单位产品甲与 80 单位产品乙所得利润最大【试题解析】 解本题的关键是掌握二元函数的无条件极值，根据题意写出总利润函数 L(x，y)，然后利用求二元函数 z=L(x，y)最值法求解即可25 【正确答案】 设切线与曲线的切点为 M0(x0，ln(x 0 一 3)(如图所示)，由于 所以切线方程为 yln(x0 一 3)=(

14、xx0)，因为切线经过点 M(3，0)，所以将 M(3，0)代入上式得 x0=e+3，从而切线方程为 y= (x 一 3)，于是，所求旋转的体积为 V= 12e 一 (ln(x 一3)2dx【试题解析】 就一般情况而言，如果有两条曲线 y=f(x)，y=g(x)( 假设 f(x)g(x)与x=a，x=b(ab)所围成的平面绕 z 轴后所成的旋转体的体积公式为： Vx= f2(x)一 g2(x)dx五、证明题26 【正确答案】 设 f(x)=lnx，因为 nm，m，n 为正整数，所以根据拉格朗日中值定理，易知 f(x)在区间n ，m上，至少存在一点 (n，m) ，使得又因为 0nm，故 ，从而有整理得【试题解析】 解题的关键是掌握拉格朗日中值定理