1、四川省专升本（高等数学）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设函数 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a 的值为 ( )（A）一 2（B） 2（C）（D）2 等于 ( )（A）2（B） 1（C）（D）03 设函数 f(x)= ，则 ( )（A）x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点（B） x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点（C） x=0 是 f(x)的第一类间断点， x=1 是 f(x)的第二类间断点（D）x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点4 已知导函数 y=ktan2x 的一个原函数为
2、 ln(cos2x)，则 k= ( )（A）（B）（C）（D）5 设函数 f(x)=e2x，则不定积分f( )dx= ( )（A）2e x+C（B） ex+C（C） 2e2x+C（D）e 2x+C6 在空间直角坐标系中，表示圆柱面的方程是 ( )（A）x 2+y2 一 z2=0（B） x2+y2=4（C） x=y2（D）x 2+y2+z2=17 设 vn 是正项级数，且 unv n(n=1，2，)，则下列命题正确的是 ( )（A）若 un 收敛，则 vn 收敛（B）若 un 发散，则 vn 发散（C）若 vn 发散，则 un 发散（D）若 vn 收敛，则 un 发散8 设向量组 1， 2， r
3、 是向量组 1， 2， r， 的一个极大线性无关组，记 nr 矩阵 A= (12 r)，则非齐次线性方程组 AX= ( )（A）必无解（B）必有解，且解唯一（C）必有解，且有无穷多组解（D）不能确定，可能有解，可能无解9 微分方程 y+y=0 的通解为 ( )（A）y=e x（B） y=ex（C） y=Cex（D）y=Ce x10 A，B 为 n 阶方阵，A 可逆，则下面运算正确的是 ( )（A）A 1 =A 1（B） AB =AB（C） (kA)*=kA*（D）(A *)1 =(A1 )*二、填空题11 设 y=2x.x2+sin2，则 y=_12 极限 =_13 过点(1 ，一 1，0)
4、且与直线 平行的直线方程为_14 定积分 (x+x)e x dx=_15 已知行列式 ，则 A11+A21+A31=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 若 =5，求 a 与 b17 已知平面 1：x+2y+z=1， 2：2x+y+z=3 求过点 M0(1，一 1，1)且与平面1， 2 都垂直的平面的方程18 计算 dx19 设函数 z=exey，求20 计算 dx21 求 (x+y)dxdy，其中 D 是由曲线 y=x3，y=x 3 及 y=1 所围成的区域22 求 y+6y+13y=0 的通解23 设线性方程组 且已知(1，一 1，1，一 1)T 是该方程的一个解，试求(1)的全部
5、解；(2) 满足 x2=x3 的全部解四、综合题24 某房地产公司有 50 套公寓要出租，当月租金定为 2000 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加 100 元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费 200 元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?25 设抛物线 y=ax2+bx，当 0x1 时，y0已知它与直线 y=0，x=1 所围成的图形的面积为 ，求 a，b 的值，使此图形绕 z 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小五、证明题26 证明：1+xln(x+ (一 x+)四川省专升本（高等数学）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只
6、有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)在 x=0 处连续， =a，又f(0)=2， a=2，a= 2 故选 A2 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的知识点为无穷小量的性质由于 x时， 为无穷小量，而 sin2x 为有界变量由无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量的性质可知3 【正确答案】 D【试题解析】 显然 x=0，x=1 为间断点，其分类主要考虑左右极限由于函数 f(x)在 x=0，x=1 点处无定义，因此是间断点，且 f(x)=，所以 x=0 为第二类间断点； f(x)=1，所以 x=1 为第一类间断点，故应选 D应特别注意：4 【正确答案】 D【试题解析】 由
7、题意 tan2x，所以有ktan2x= tan2x，则 k= 故选 D5 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=e 2x，令 t= ，则 dx=2dt，f( )dx=f(t).2dt=2e2tdt=e2td(2t)=e2t+C=ex+C故选 B6 【正确答案】 B【试题解析】 方程 F(x， y)=0 表示母线平行于 Oz 轴的柱面，称之为柱面方程方程 x2+y2a 2=0 表示母线平行 Oz 轴的圆柱面方程同理，F(y，z)=0 及 F(x，z)=0都表示柱面，它们的母线分别平行于 Ox 轴及 Oy 轴故选 B7 【正确答案】 B【试题解析】 由正项级数的比较判别法可以得到，若小的级数 u
8、n 发散，则大的级数 vn 必发散故选 B8 【正确答案】 B【试题解析】 r(A nr)=r(12 r)=r，由条件知 必可由 1， 2， r 线性表示得 r(12 r)=r(12 r，)=r 即 AnrXr1= 有唯一解9 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的知识点为一阶微分方程的求解可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解将方程认作可分离变量方程分离变量 =dx ，两端分别积分 =dx ，lny=x+C 1，或 y=Cex 10 【正确答案】 D【试题解析】 A，A 1 =(1) nA 1 =(1) n =(1
9、) nA 1 ，故 A 错误；B ，AB =A nB，故 B 错误；C，由 A1 = A*(d=A )知(kA)*= kA(kA) 1 =kn1 AA 1 ，kA *=kAA 1 ，故 C 错误；D ，由于 A*(A1 )*=(AA 1 )(A 1 (A 1 )1 )=A A 1 A 1 A=E，故 D 正确二、填空题11 【正确答案】 2 xx2ln2+2x+1x【试题解析】 已知 y=2x.x2+sin2，则 y=2xln2.x2+2x.2x=2xx2ln2+2x+1x12 【正确答案】 1【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系由于两
10、条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，一 1)由直线的点向式方程可知所求直线方程为14 【正确答案】 2e 2+2【试题解析】 xexdx，又 exdx=e2+1，所以 (x+x)e x dx=2e2+215 【正确答案】 0【试题解析】 A 11=(1) 1+1 =ac 一 bc，A 21=(一 1)2+1 =0A 31=(一 1)3+1 =bc 一 ac，A 11+A21+A31=0三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 若 则当 x2 时，x 2+ax+b 与 x2 为同阶无穷小量，令 x 2+ax+b=(x2)(x+k)，
11、 ()则 (x+k)=5，此时 k=3，代入()式得 x2+ax+b=(x 一 2)(x+3)，即 x 2+ax+b=x2+x 一 6， 所以 a=1，b=6 【试题解析】 本题关键在于根据同阶无穷小量的定义，将 x2+ax+b 写成两个一次式的乘积，使得两个未知数 a，b 变为一个 k，解答就简便了17 【正确答案】 1 的法向量为 n1=1，2，1， 2 的法向量 n2=2，1，1 ，所求平面 与 1， 2 都垂直，故 的法向量为 n=n1n2= =i 一 3j+5k又因为所求平面过点 M0(1，一 1，1)，故其方程为 1.(x 一 1)一 3(y+1)+5(z 一 1)=0，即x 一
12、3y+5z 一 9=0【试题解析】 本题考查平面方程的求解，据题意可求出平面的法向量，进而求出平面的点法式方程18 【正确答案】 令 x=tant，则 dx= dt当 x=0 时，t=0 ；当 x=1 时，t= 注意到 tan2t+1= ，则有【试题解析】 本题考查的知识点是用换元法去根号计算定积分三角代换x=asint 和 x=atant 是大纲要求掌握的内容19 【正确答案】 =ey.exey =ey.ey.exey=e2y+xey =ey.exey+ey.exey.xey=ey+xey【试题解析】 本题考查对二阶偏导数的求解20 【正确答案】 【试题解析】 本题主要考查不定积分的分母有理
13、化问题21 【正确答案】 如图，因区域关于 y 轴对称，而 f(x)=x 是奇函数，所以 xdxdy=0，所以【试题解析】 计算二重积分的基本思想是将其化为累次积分可以将二重积分转化为：先对 y 积分，后对 x 积分的累次积分22 【正确答案】 特征方程为，r 2+6r+13=0，故 r=32i 为共轭复根， 于是通解为y=e3x (C1cos2x+C2sin2x)【试题解析】 本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的通解23 【正确答案】 (1)将(1，一 1，1，一 1)T 代入得 1 一 + 一 1=0，即 =将A= 代入得 对它的系数矩阵为 A 施行初等行变换：由此可知，当 时， 所以，此
14、时的通解为 x=(x1，x 2，x 3，x 4)T=C1(一 1， ，1) T+(1，一 1，1，一 1)T=(一 C1+1， C1+1，C 1 一 1)T(C1 是任意常数)当 = 时，所以，此时的通解为 x=(x1，x 2，x 3，x 4)T=C2(1，一 3，1，0) T+C3( ，一 1，0，1) T+(1，一 1，1，一 1)T =(C2 C3+1，一 3C2 一 C31，C 2+1，C 31)T(C2，C 3 是任意常数 )(2)当 时，由 x2=x3 得C1+1，即 C1=2，所以，此时 的满足 x2=x3 的通解为x=(x1，x 2，x 3，x 4)T=(一 1，0，0，1)
15、T当 = 时，由 x2=x3 得一 3C2C31=C2+1，即 C3=4C 22，所以，此时的满足 x2=x3 的通解为x=(x1，x 2，x 3，x 4)T=(3C2+2，C 2+1，C 2+1，一 4C23)T(C2 是任意常数)【试题解析】 本题考查的知识点是利用初等变换求线性方程组的通解四、综合题24 【正确答案】 设租金定为 x 元时对应的收入为 y 元，则 y=(50 一 )(x 一200)，即 y= +72x 一 14000，x2 000，令 y= +72=0，得唯一驻点x=3600，结合实际问题知，当租金定为 3600 元时，可获得最大收入，最大收入为115600 元【试题解析
16、】 根据题意，写出收入函数 y，然后用一元函数 y=f(x)的求最值法，即可得解25 【正确答案】 S= (ax2+bx)dx= 即2a+3b=2，则 b=要使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小，则 a= ，把 a= 代入 b= ，所以b= ，综上所述 a=【试题解析】 一般情况下，如果有两条曲线 y=f(z)，y=g(x)(假设 f(x)g(x)与x=a，x=b(ab)所围成的平面绕 x 轴旋转一周后所成的旋转体的体积公式为：V x=f2(x)一 g2(x)dx五、证明题26 【正确答案】 令 f(x)=1+x.ln(x+ 于是令 f(x)=0，得驻点：x=0 ；又 0，x(，+) ；从而可知，f(x)在(一，+)上为单调递增函数因 f(0)=0，故 x0 时，f(x)0，f(x)单调递减；x0 时，f(x) 0，f(x)单调递增；进而知 f(x)在 x=0 处取得最小值，且最小值为 f(0)=0，那么对任意的 x(，+)，有 f(x)0，即 1+x.ln(x+【试题解析】 证明不等式的方法很多，利用函数的单调性证明是常用的方法之一关键是构造函数 f(x)，证明当 xx 0 时，f(x) 0( 或0)，从而推出函数 f(x)单调增加(或减少) ，因而 xx 0 时，f(x) f(x 0)(或 f(x)f(x 0)
