1、四川省专升本（高等数学）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设 f(x)在 x=1 处连续，且 =2，则 f(1)= ( )（A）2（B）（C）一 2（D）2 下列等式不成立的是 ( )（A） =e（B） =e 1（C） =e（D） =e3 已知 f(cosx)=sinx，则 f(cosx)= ( )（A）一 cosx+C（B） cosx+C（C） (sinxcosxx)+C（D） (xsinxcosx)+C4 下列关系式正确的是 ( )（A）df(x)dx=f(x)+C（B） f(x)dx=f(x)（C） f(x)dx=f(x)（D） f(
2、x)dx=f(x)+C5 设 z=x3y2，则 = ( )（A）12dx+4dy（B） 12dx 一 4dy（C） 6dx+4dy（D）6dx 一 4dy6 a=(1，2)，b=(2，1，2)，且 a 与 b 的夹角的余弦为 ，则 = ( )（A）一 2（B）（C）一 2 或（D）2 或7 过点 M(0，1，2)且垂直于平面 2xy+3z 一 1=0 的直线方程为 ( )（A）（B）（C）（D）8 下列反常积分收敛的是 ( )（A） xdx（B） x2dx（C） dx（D） dx9 微分方程 dy=0 的通解为 ( )（A）2(x 3y 2)+3(x2y 3)=C（B） 2(x3y 3)+3(
3、y2 一 x2)=C（C） 2(x3y 3)+3(x2y 2)=C（D）3(x 3y 3)+2(x2y 2)=C10 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列各项正确的是 ( )（A）(2A 1 )T=(2AT)1（B） (2A)1 =2A1（C） E(A1 )1 T=(AT) 11（D）A=二、填空题11 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则 k=_12 参数方程 所确定的函数的一阶导数 =_13 设 f(2)=1， xf(x)dx=_14 微分方程 x(y)22xy+x=0 的阶数是_ 15 设 A= ，且矩阵 X 满足 AX=A+2X，则 X=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 设 f
4、(x)= 试确定 k 的值使 f(x)在点 x=1 处连续17 计算 (x 一 1)99dx18 设 z= sin(x2 一 xy+y2)，求19 求微分方程 y+ycosx=esinx 的通解20 将 f(x)= 展开为 x 的幂级数21 (1)求由曲线 y=ex 与直线 x+y=1，x=1 所围成的平面图形的面积 S；(2)计算二重积分 xydxdy，其中 D 为(1)中的平面区域22 设线性方程组 问 a，b 分别为何值时，方程组无解，方程组有唯一解，方程组有无穷多解?23 求函数 f(x，y)=2x 3 一 6xy+3y2+5 的极值四、综合题24 欲围成一个面积为 150 平方米的矩
5、形场地，所用材料的造价其正面是每平方米6 元，其余三面是每平方米 3 元，问场地的两边各为多少米时，才能使所用材料费最少?25 求由曲线 y=2 一 x2，y=x(x0)与直线 x=0 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积五、证明题26 证明方程 3x 一 1 一 =0 在区间(0，1) 内有唯一的实根四川省专升本（高等数学）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 由题设条件，有 f(x)=f(1)，则 f(1)=22 【正确答案】 C【试题解析】 利用重要极限 =e 可知选项 C 不成立故选 C3 【
6、正确答案】 C【试题解析】 已知 f(cosx)=sinx，在此式两侧对 cosx 求积分，得f(cosx)d(cosx)=sinxd(cosx)，有故选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 A 项，df(x)dx=f(x)dx；B 项，f(x)dx=f(x)+C；C 项， f(x)dx=(f(x)dx)=f(x)，则选 C，由 C 知 D 项不正确5 【正确答案】 A【试题解析】 由 z=x3y2，得 =2x3y，故dz=3x2y2dx+2x3ydy， =12dx+4dy6 【正确答案】 C【试题解析】 a.b=12+(一 1)+22=6 一 ，又a.b=a.bcos(a ，b)=7 【正确
7、答案】 A【试题解析】 本题考查了空间中直线方程的求解由于所求直线与已知平面垂直，因此直线的方向向量 s 可取为已知平面的法向量 n=(2，一 1，3)由直线的点向式方程可知所求直线方程为8 【正确答案】 D【试题解析】 A 项， =发散； B 项， =发散；C 项， =发散；D 项， =0+1=1 收敛故选 D9 【正确答案】 C【试题解析】 对原式变形得(x+x 2)dx 一(y+y 2)dy=0，移项得(x+x 2)dx=(y+y2)dy对等式两边积分可得 y3+C1，从而可得 2(x3y 3)+3(x2 一 y2)=C10 【正确答案】 C【试题解析】 由于(2A T)(2A1 )T=
8、(2A)T(2A1 )T=(2A1 )(2A)T=4E，故 A 错误；B，(2A) 1 = A1 ；C，(A 1 )1 T=AT=(AT)1 1 ；D，由 AA1 =E 知该选项错误二、填空题11 【正确答案】 1【试题解析】 由已知及连续的定义得 ex=1=f(0)，得 k=112 【正确答案】 e2t【试题解析】 13 【正确答案】 1【试题解析】 由分部积分公式有 f(x)dx=2f(2) f(x)dx=211=114 【正确答案】 1【试题解析】 微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，称为这个方程的阶15 【正确答案】 【试题解析】 AX=A+2X (A 一 2E)X=A，A 一
9、2E= ，容易证明 A一 2E= 可逆，所以 X=(A 一 2E)1 A，又因为(A 一 2E，A)=三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 =1，要使 f(x)在 x=1 处连续，应有 k=f(1)= f(x)=1【试题解析】 本题考查函数的极限和连续，关键是求出17 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为定积分的计算利用换元积分法计算即可18 【正确答案】 令 u= ，v=x 2xy+y 2，则 z=eusinv，于是有=eusinv. +eucosv.(2xy)= sin(x2xy+y 2)+(2xy)cos(x2xy+y 2)， =eusinv.( ) +eu
10、cosv.(2yx)= (2yx)cos(x2xy+y 2) sin(x2xy+y 2)【试题解析】 本题考查复合函数求导，引进中间变量化简运算求解即可19 【正确答案】 y=e cosxdx esinx .ecosxdxdx+C =esinx esinx .esinxdx+C =esinx (x+C)【试题解析】 本题考查一阶线性微分方程的通解，利用非齐次线性微分方程的通解公式求解即可20 【正确答案】 1，即一3x3【试题解析】 本题考查的知识点为将函数展开为 z 的幂级数21 【正确答案】 (1)S= (ex 1+x)dx=( e x x+ (2)x(e2x (x 22x+1)dx【试题
11、解析】 本题考查定积分与二重积分计算，至于第(2)问，把二重积分化为累次积分计算即可22 【正确答案】 原方程组的增广矩阵变形过程为：讨论：(1)当 a3，b 为实数时，秩 (B)=3=n=3，方程组有唯一解；(2)当a=3，b=3 时，秩(B)=2n=3 ，方程组有无穷多解； (3)当 a=3，b3 时，秩(B)=3秩(A)=2，方程组无解【试题解析】 本题是用初等行变换求非齐次线性方程组的解的不同情况23 【正确答案】 f x(x，y)=6x 26y，f y(x，y)=6x+6y，f xx(x，y)=12x，f xy(x，y)=6， fyy(x， y)=6令 得驻点(0，0)，(1，1)
12、对于驻点(0 ，0)，A=f xx(0，0)=0，B=f xy(0，0)=6，C=f yy(0，0)=6，因为 B2 一AC=(一 6)20，所以点(0，0)不是极值点对于驻点(1，1)，A=f xx(1，1)=12，B=f xy(1，1)=6，C=f yy(1，1)=6，因为 B2AC= (一 6)2126=360，且 A=120，所以点(1，1)是极小值点，极小值为 f(1，1)=4【试题解析】 本题考查的知识点是二元函数的无条件极值二元函数取得极值的充分条件：设 z=f(x，y)在 (x0，y 0)的某个领域内有连续一、二阶偏导数，且fx(x0，y 0)=fy(x0，y 0)=0，令 f
13、xx(x0，y 0)=A，f xy(x0，y 0)=B，f yy(x0，y 0)=C，则 当B2 一 AC0 且 A0 时，f(x 0，y 0)为极大值； 当 B2 一 AC0 且 A0，f(x 0，y 0)为极小值； B 2 一 AC0 时，(x 0，y 0)不是极值点 四、综合题24 【正确答案】 设所围场地正面长为 x，另一边为 y，则 xy=150，从而y= 设四面围墙高度相同，都是 h，则四面围墙所使用的材料总费用为 f(x)=6xh+3(2yh)+3xh=9xh+6h. 则 f(x)=9h(1 一 )，令 f(x)=0，得驻点 x1=10，x 2=10( 舍去) f(10)=18h
14、0由于驻点唯一，由实际意义可知最小值存在，因此当正面长为 10 米，侧面长为 15 米时所用材料费最少【试题解析】 先用其四个面的面积乘以相应的单位面积的造价，求和写出总费用函数 f(x)，然后用求一元函数 y=f(x)最值法即可得解25 【正确答案】 由平面图形 axb，0yy(x)所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积为 Vx= y2(x)dx画出平面图形的草图(如图所示)，则所求体积为 0x1，0y2 一 x2 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积减去 0x1，0yx 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积当 x0 时，由【试题解析】 就一般情
15、况而言，如果有两条曲线 y=f(x)，y=g(x)( 假设 f(x)g(x)与x=a，x=b(ab)所围成的平面绕 z 轴旋转一周，则其所生成的旋转体的体积公式为：Vx= f2(x)一 g2(x)dx五、证明题26 【正确答案】 令 f(x)=3x 一 1 一 ，则 f(x)在区间0，1上连续由于dt=1，所以 f(1)=2 0又 f(0)=10，根据连续函数的介值定理，函数 f(x)在区间(0 ，1)内至少有一个零点，即所给方程在 (0，1) 内至少有一个实根又 f(x)=3 一 ，当 0x1 时，f(x)0因此，f(x)在0，1上单调增加，由此知 f(x)在区间(0 ，1)内至多有一个零点综上可知，方程 3x 一 1 一=0 在区间 (0，1)内有唯一的实根【试题解析】 首先设 f(x)=3x 一 1 一 dt，然后验证 f(x)在0，1上满足介值定理条件由介值定理得到 f(x)在区间(0 ，1)内至少有一个零点 (实根) ，并且根据f(x)=3 一 0(0x 1)说明 f(x)是单调增函数，从而得到 f(x)在(0，1)内至多有一个零点由此得到方程 3x 一 1 一 =0 在(0，1) 内有唯一的实根
