1、四川省专升本（高等数学）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 y= 的定义域为 ( )（A）x2 且 x1（B） x2 且 x1（C） x2（D）x1 且 x12 函数 y=f(x)在(a ，b) 内二阶可导，且 f(x)0，f(x)0，则曲线 y=f(x)在(a ，b)内 ( )（A）单调增加且为凹弧（B）单调增加且为凸弧（C）单调减少且为凹弧（D）单调减少且为凸弧3 下列极限中，不正确的是 ( )（A） (x+1)=4（B） =1（C） =（D） =+4 由点 A(x1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)确定向量 = (
2、)（A）（B）（C）（D）(x 2 一 x1)2+(y2y 1)2+(z2z1)25 e2x dx 等于 ( )（A）2(e 2 1)（B） (e2 1)（C） 2(e 21)（D） (e2 1)6 设函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)存在一阶偏导数，则 = ( )（A）（B）（C）（D）7 设有直线 ，则该直线必定 ( )（A）过原点且垂直于 x 轴（B）过原点且平行于 x 轴（C）不过原点，但垂直于 x 轴（D）不过原点，且不平行于 x 轴8 设 z=excosy，则 等于 ( )（A）e xcosy（B） excosy（C） exsiny（D）e xsiny9 设 f(x)=
3、，则 x4 的系数为 ( )（A）1（B）一 2（C） 2（D）310 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有 ( )（A）当A=a(a0)时，B=a（B）当 A=a(a0)时，B=a（C）当 A0 时，B=0（D）当A=0 时，B=0二、填空题11 函数 y= 的定义域是_12 设 y= ，则 y=_13 方程 x2+2y2 一 z2=0 表示的二次曲面是_14 设 y=arctan ，则其在区间 0，2 上的最大值为_15 设 ，且 k 为常数，则 k=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 若 f(x)存在二阶导数，求函数 y=f(lnx)的二阶导数17 计算18 设二元函数 z
4、=arcsin(y19 已知曲线方程 求在点(1，1，1)处曲线的切线方程和法平面方程20 计算21 求微分方程 +3z=e2t 的通解22 将 f(x)= 展开成(x+1) 的幂级数23 设有线性方程组 问 取何值时，有解? 有无穷多个解?四、综合题24 某工厂生产某种产品，固定成本 20000 元，每生产一单位产品，成本增加 100元，已知总收益 R 为年产量 Q 的函数，且 R=R(Q)=问每年生产多少产品时，总利润最大?此时总利润是多少?25 已知平面 1：kx2y+3z2=0 与平面 2：3x 一 2yz+5=0 垂直，试求参数 k的值五、证明题26 证明：当 x1 时，lnx四川省
5、专升本（高等数学）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可得 解得 x一 2 且 x1，故应选 A2 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查的知识点为利用一阶导数符号判定函数的单调性和利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性，由于在(a，b)内 f(x)0，可知 f(x)在(a，b)内单调增加，又由于 f(x)0，可知曲线 y=f(x)在(a，b)内为凸弧，可知应选 B3 【正确答案】 C【试题解析】 C 项中， 不存在，=是错误的4 【正确答案】 B【试题解析】 由 A(x1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z
6、 2)，可知 =(x2 一 x1，y 2 一 y1，z 2 一z1)，则 = 故选 B5 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的知识点为牛顿-莱布尼茨公式和定积分的换元法e2x d(一 2x) 因此选 D6 【正确答案】 B【试题解析】 由偏导数的定义得 可知应选B7 【正确答案】 A【试题解析】 首先需要指出，若直线的标准式方程为 则约定有 xx0=0， ，这意味着所给直线在平面 x=x0 上由直线的标准式方程 可知所给直线过原点事实上，也可以将原点坐标(0，0，0)代入所给直线方程验证，可知其成等式，即(0，0，0)在所给直线上由于所给直线的方向向量 s=(0，4，3)，而 x 轴正向方
7、向上的单位向量 i=(1，0，0)因此si，即所给直线与 x 轴垂直故知所给直线过原点且与 x 轴垂直，应选 A8 【正确答案】 D【试题解析】 因为 =ex.cosy，所以 =ex.(siny)=e xsiny9 【正确答案】 C【试题解析】 从 f(x)的表达式和行列式的定义可知，当且仅当 f(x)的主对角线的 4个元素的积才能得出 x4，其系数显然是 210 【正确答案】 D【试题解析】 利用等价矩阵性质解本题由于 A，B 等价，所以存在 n 阶可逆矩阵 P 与 Q，使得 B=PAQ，由此得到B=PAQ，所以当A=0 ，有B =0 二、填空题11 【正确答案】 1x2【试题解析】 本题考
8、查对数函数的定义域和简单指数不等式的求解由 82x+10，得 2.2x8=23，知 x2，又由 (x1)0，知 1x2，所以 1x212 【正确答案】 e x( )【试题解析】 本题考查如何求函数的二阶导数y= e x13 【正确答案】 锥面【试题解析】 对照二次曲面的标准方程，可知所给曲面为锥面14 【正确答案】 【试题解析】 由 y=arctan 0，所以 y 在0，2上单调递减于是 ymax=y x=0=arctan1=15 【正确答案】 【试题解析】 dx=karctanx 故 k=三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 y=f(lnx)(lnx)=【试题解析】 这是
9、抽象函数的求导问题，而 f(lnx)又是复合函数，所以应用复合函数的求导公式来计算17 【正确答案】 令 =t，则 x=ln(t2 一 1)，dx= dt故【试题解析】 通过换元法去根号，使被积函数有理化注意积分后要进行反换元，即将式中的 t 用 换回18 【正确答案】 z=arcsin(y )，【试题解析】 求偏导时只需注意：对 x 求偏导时，y 看做常数；对 y 求偏导时，x 看做常数，再用一元函数的求导公式求解即可19 【正确答案】 由 可得 两边关于 x 求导得可解得 在点(1，1，1)处，=3，所以切向量 s=(1，2，一 3)所以切线方程为，法平面为 x+2y 一 3z=0【试题解
10、析】 对于空间曲线切线方程与法平面方程的求解一般是将所给方程的两边关于 x 求导并化简得切向量，进而利用公式求解20 【正确答案】 【试题解析】 先作出积分区域，如图所示，然后在极坐标系下进行计算21 【正确答案】 由一阶非齐次线性微分方程的通解公式可得原式的通解为y=e3dt (e2te3dtdt+C)=e3t (e5tdt+C)= e2t+Ce3t 【试题解析】 对于一阶非齐次线性微分方程 y+p(x)y=Q(x)的通解公式的求解，可直接应用公式 y=ep(x)dx (Q(x)ep(x)dxdx+C)求解22 【正确答案】 由于 所以【试题解析】 有关幂级数的展开问题，通常是利用某些已知展
11、开式将题给式子转化成已知展开式的形式进行求解23 【正确答案】 A= =3 一 3+2=( 一 1)2(+2)，当 1，一 2 时，方程组有唯一解；当 =1 时，B= ，方程组有无穷多解；当 =2 时， 方程组无解【试题解析】 非齐次线性方程组解情况的分析，若 r(A)=r(B)=n，有唯一解；若r(A)=r(B)=rn，有无穷多解；若 r(A)r(B)，无解四、综合题24 【正确答案】 由题意知总成本函数为 c=C(Q)=20000+100Q，从而可得利润函数为 L=L(Q)=R(Q)=c(Q)= 令 L(Q)=0，得Q=300，则 L(Q) Q=300=10，所以 Q=300 时总利润最大
12、，此时 L(300)=25000，即当年产量为 300 个单位时，总利润最大，此时总利润为 25000 元【试题解析】 先写出利润函数 L(x)，然后用函数 y=L(x)求最值即可得解25 【正确答案】 平面 1， 2 的法向量分别为 n1=(k，一 2，3)，n 2=(3，一 2，一 1)，由题设知，n 1 与 n2 垂直，于是有 n1.n2=0，即 3k+(一 2).(一 2)+3.(一 1)=0，解得 k=【试题解析】 如果给出两个一般的平面方程1： A1x+B1y+C1z+D1=0， 2：A 2x+B2y+C2z+D2=0，则它们的法向量分别为n1=(A1，B 1，C 1)，n 2=(A2，B 2，C 2)如果这两个平面 1 与 2 垂直，则应满足n1.n2=0，即 A1A2+B1B2+C1C2=0五、证明题26 【正确答案】 令 F(x)=lnx 一 ，满足 F(1)=0，且当 x1 时，F(x)为单调递增函数， F(x)F(1)=0，所以当 x1 时，lnx【试题解析】 本题通过构造函数并对其单调性进行判定，从而证明不等式的成立
