1、四川省专升本（高等数学）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 当 x0 时，x 2 是 xln(1+x)的 ( )（A）较高阶的无穷小量（B）等价无穷小量（C）同阶但不等价无穷小量（D）较低阶的无穷小量2 = ( )（A）0（B）（C） 1（D）23 下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是 ( )（A）f(x)= ，一 1，1（B） f(x)=xex ，0，1（C） f(x)= 0，5（D）f(x)=x，0，14 设曲线 y=xex 在点(0 ，一 1)处与直线 l 相切，则直线 l 的斜率为 ( )（A）（B） 1（C） 0（D）一 15
2、平面 1：x 一 2y+3z+1=0 与 2：2x+y+2=0 的位置关系为 ( )（A）垂直（B）斜交（C）平行不重合（D）重合6 设 I1= sinxdx，则 ( )（A）I 1I 2 I3（B） I1I 3I 2（C） I3I 1I 2（D）I 2I 1 I37 设 z=ln(x2+y)，则 = ( )（A）（B）（C）（D）8 设 unavn(n=1，2，)(a0)，且 vn 收敛，则 un ( )（A）必定收敛（B）必定发散（C）收敛性与 a 有关（D）上述三个结论都不正确9 微分方程 y=x 的通解为 ( )（A）y=x（B） y=x+C（C） y= x2（D）y= x2+C10
3、设矩阵 A33 满足 A*=AT，其中 A*为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵，若a11，a 12，a 13 为三个相等的正数，则 a11 为 ( )（A）（B） 3（C）（D）二、填空题11 设 f(x)= ，则 ff(x)=_12 点(3 ，2，1) 到平面 x+y+z 一 1=0 的距离是_13 设 f(x)=x(x+1)10，则f(x)dx=_ 14 z=(1x) 2+(2y) 2 的驻点是 _15 求 x(x 一 1)dx=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 求函数 y= sin3x 在点 x=0 处的导数 y x=017 求18 设 z=f(xy， )，其中
4、f 具有二阶连续偏导数求19 取何值时直线 与 x 轴相交?20 计算 x3ydy，其中 L 是抛物线 y=x2 上从点(0 ，0)到点(1，1)的一段弧21 将 f(x)=arctan 展开为 x 的幂级数22 求由曲线 y=2xx2 与 y=x 所围成的平面图形的面积 S，并求此平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 Vx23 解线性方程组四、综合题24 做一个如图所示的角铁架子，其底为等腰三角形，底边长为 6m，架子总长为5m，试求所用角铁最少时，三根角铁的长度各为多少 ?25 求由曲线 y=2x 2，y=2x 一 1 及 x0 围成的平面图形的面积 S 以及此平面图形绕 x 轴旋转
5、一周所得旋转体的体积 Vx五、证明题26 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)1，又设 f(a)a ，f(b) b，证明：存在唯一的点 (a，b)，使得 f()=四川省专升本（高等数学）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为无穷小量阶的比较由于可知当 x0 时，x 2 与 x 一1n(1+x)为同阶但不等价无穷小量，故应选 C2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 注意罗尔定理有三个条件：(1)f(x)在a，b 上连续；(2)f(x)在(a，b)
6、内可导； (3)f(a)=f(b) 逐一检查三个条件即可为了简便起见先检查 f(a)=f(b)故选 A4 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为导数的几何意义由于 y=xe x，y=1 一ex，y x=0=0由导数的几何意义可知，曲线 y=xex 在点(0，一 1)处切线斜率为0，因此选 C5 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查的知识点为两平面的位置关系两平面的关系可由平面的法向量 n1，n 2 间的关系确定若 n1n2，则两平面必定垂直若 n1n 2，当时，两平面平行，但不重合；当 时，两平面重合若 n1 与 n2 既不垂直，也不平行，则两平面斜交由于 n1=(1，一 2，3)
7、，n2=(2，1，0)，n 1.n2=0，可知 n1n2，因此 12，故选 A6 【正确答案】 D【试题解析】 I 1= I2=I3=所以 I2I 1I 3故选 D7 【正确答案】 B【试题解析】 求 时，将 y 认定为常量，则 故选B8 【正确答案】 D【试题解析】 由正项级数的比较判别法知，若 unvn，则当 vn 收敛时， un 也收敛；若 un 发散时，则 vn 也发散，但题设未交代 un 与 vn 的正负性，由此可分析此题选 D9 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查可分离变量的微分方程分离变量得 dy=xdx，两端分别积分，dy=xdx ，y= x2+C10 【正确答案】 A【试
8、题解析】 利用公式 A*A=AA*=AE(E 是与 A 同阶的单位矩阵)由 A*=AT及 AA*=AE 得 AAT=AE 于是，A 2=A 3，即A=0 ，1由可得 =1(显然A=0 不符合题意)，所以 a11=二、填空题11 【正确答案】 x【试题解析】 ff(x)= =x12 【正确答案】 【试题解析】 由点到平面的距离公式，可得所求距离为 d=13 【正确答案】 (x+1)12 一 (x+1)11+C【试题解析】 f(x)dx=x(x+1) 10dx=(x+1)(x+1)10dx 一(x+1) 10dx=(x+1)11d(x+1)一(x+1)10d(x+1)= (x+1)12 一 (x+
9、1)11+C14 【正确答案】 (1，2)【试题解析】 =一 2(1 一 x)，令 =0，则 x=1， =2(2 一 y)，令 =0，则y=2， 驻点为 (1，2)15 【正确答案】 43【试题解析】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 y= sin3x，则导函数在点 x=0 处没有定义由导数定义有可知 y x=0=0【试题解析】 此题如果先求函数 y 的导数 y后，再代入 x=0 便得 y没有意义，所以此题只能利用导数的定义式，即 f(x0)= 的方法来求17 【正确答案】 将被积函数变形为【试题解析】 利用基本积分公式和积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要
10、进行适当的变形18 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的是抽象函数求偏导数的方法，所以直接利用复合函数求偏导的链式法则即可19 【正确答案】 直线 与 x 轴相交，则交点坐标为(x，0，0)，代入直线方程为 x 一 1=0， x+1=0，+得(1+)x=0，而原点 O(0，0，0)不在直线上，故 x0，所以 1+=0，=1【试题解析】 本题考查空间直线与坐标轴的位置关系20 【正确答案】 L：y=x 2，x：01，dy=2xdx ，【试题解析】 本题考查曲线积分的计算21 【正确答案】 所给 f(x)与标准展开级数中的形式不同，由于因而即有故【试题解析】 f(x)=arctan 不容易直接展
11、开为幂级数形式，但是对其求导后所得函数，即 f(x)= 是常见函数，它的展开式是已知的这样我们就得到 f(x)的幂级数展开式，然后对其两边积分，就可以得到 f(x)的展开式22 【正确答案】 所给平面图形如图中阴影部分所示，由 可解得因此 S= (2xx2 一 x)dx= (xx2)dxVx= (2xx2)2 一 x2dx= (3x24x3+x4)dx=【试题解析】 本题考查的知识点为定积分的几何应用：利用定积分表示平面图形的面积；利用定积分求绕坐标轴旋转所得旋转体体积23 【正确答案】 这里的增广矩阵是 把第一行的适当倍数加到其他各行，得 继续施行初等变换，这一矩阵可以化为 再进一步由第一行
12、减去第二行的三倍，得出矩阵其对应的线性方程组是 把 x2，x 4 移到右边，作为自由未知数，得原方程组的一般解：x1= x4【试题解析】 本题考查用初等变换求线性方程组的通解四、综合题24 【正确答案】 设等腰三角形的高为 h，则 BD=DC= 三根角铁的总长l=5 一 h+2 l=1+ =0，得 4h2=h2+9，解得 h= m由于只有唯一的驻点，所以 h= m 时，所用角铁最少，此时三根角铁的长度分别为 BD=DC=m，AD=(5 )m【试题解析】 这是应用题中的最值问题，首先要列出函数关系式，再求其在已知条件下的最值25 【正确答案】 由已知曲线画出平面图形如图阴影区域所示由 ，得交点坐
13、标为(1，1)，则【试题解析】 本题考查的知识点有平面图形面积的计算及旋转体体积的计算难点是根据所给的已知曲线画出封闭的平面图形，然后再求其面积 S求面积的关键是确定对 x 积分还是对 y 积分确定平面图形的最简单方法是：题中给的曲线是三条，则该平面图形的边界也必须是三条，多一条或少一条都不是题中所要求的确定对 x 积分还是对 y 积分的一般原则是：尽可能用一个定积分而不是几个定积分之和来表示本题如改为对 y 积分，则有 计算量显然比对 x 积分的计算量要大，所以选择积分变量的次序是能否快而准地求出积分的关键在求旋转体的体积时，一定要注意题目中的旋转轴是 x 轴还是 y 轴由于本题在 x 轴下
14、面的图形绕 x 旋转成的体积与 x 轴上面的图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积重合了，所以只要计算 x 轴上面的图形绕 x 轴旋转形成旋转体的体积即可如果将旋转体的体积写成 Vx= (2x 一 1)dx，则有而实际体积为 ，两者之差为 ，恰为 x 轴下面的三角形图形绕 z 轴旋转一周的旋转体体积五、证明题26 【正确答案】 构造函数 F(x)=f(x)一 x，则 F(a)0，F(b) 0， 由 F(x)的连续性知，至少存在一点 (a，b)，使 F()=0，即 f()= 若存在 1， 2(a，b)， 12使 F(1)=F(2)=0 由罗尔中值定理知，存在 (a，b)使 F()=0，即 f()=1，矛盾 故(a，b)内存在唯一的 ，使得 f()=【试题解析】 本题是对罗尔中值定理的考查，通过构造函数 F(x)=f(x)一 x，证明存在唯一的点 (a，b)，使得 f()=
