1、广东专插本（高等数学）模拟试卷 42 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设 f()为奇函数，则 F()f()(2 2 )为 ( )（A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）无法判定奇偶性2 函数 ysin在 0 处的导数为 ( )（A）1（B） 0（C） 1（D）不存在3 设 f()e ，则 ( )（A）e C（B） C（C） e C（D） C4 下列函数在给定区间内满足拉格朗日中值定理条件的是 ( )（A）y ，1，1（B） y ，1，2（C） y ，1，1（D）y ，2，25 若级数 均发散，则必有 ( )（A） (anb n)发散（B） (a
2、 nb n )发散（C） (an2b n2)发散（D） anbn 发散二、填空题6 设 f() 在 0 处连续，则 a_7 设 f()e 2，则 f(2016)(0)_8 曲线 y 的水平渐近线是_9 已知当 0 时，1cos2 与 0sinln(1at)dt 为等价无穷小，则 a_10 已知某二阶常系数齐次线性微分方程的两个特征根分别为 r11，r 22，则该方程为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 求极限12 求曲线 y(1) 的凹凸区间及拐点13 求不定积分.arctand14 设 f() 求 f()d15 设 z( y， 2)，且 具有二阶连续偏导数，求 16 计算二重积分
3、(2y)ddy，其中 D 为曲线 y 2 与 y 2 所围成的区域17 求微分方程 y y 20 的通解18 判定级数 的敛散性四、综合题19 设 zarctan 2arccot ，求函数 z 在点(1，1)处的全微分20 设 f()在区间 0，1上连续，且 f()1，证明：方程 2 0f(t)dt1 在区间(0，1)内仅有一个实根广东专插本（高等数学）模拟试卷 42 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 F( )f( )(2 2 )f()(2 2 )F()，奇函数，故选B2 【正确答案】 D【试题解析】 显然左右导数不相等，故
4、0 处的导数不存在3 【正确答案】 B【试题解析】 f()e ，故选 B4 【正确答案】 B【试题解析】 A 项，y 在 0 处不可导；C 项，y 在 0 处不可导；D 项，y在 1 处不连续，故选 B5 【正确答案】 B【试题解析】 假设级数 (a nb n)收敛，又有a na nb n，b na nb n，故可得级数 a n与 b n收敛，与题设矛盾，故假设不成立，即 (a nb n)发散二、填空题6 【正确答案】 一 1【试题解析】 连续的充要条件为 f()f(0) ， 则12aa，故 a17 【正确答案】 2 2016【试题解析】 f()e 2.22e 2，f()2e 2.22 2e2
5、，f (n)()2 ne2，f (2016)(0)2 2016e20 220168 【正确答案】 y0【试题解析】 0，故水平渐近线为y09 【正确答案】 4【试题解析】 故 a410 【正确答案】 y3y2y0【试题解析】 根据题意可知特征方程为(r1)(r 2) 一 0，即 r23r20，故所求方程为 y3y2y0三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 【正确答案】 由于当 0 时， 4 是无穷小量，且 1，故可知0 当 0 时，1 3 3，故所以12 【正确答案】 函数的定义域是(，) ，且当 1 时，y0，当 20 时，y 不存在，故以 1 和 20 将定义域分成三个部分区间，并列
6、表讨论如下：所以，在(， )内曲线是凸的，在( ，)内曲线是凹的，曲线的拐点为13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 因为 z (y， 2)，且 具有二阶连续偏导数， 所以 12 2，从而 112 2116 【正确答案】 积分区域 D 如图所示 考察被积函数与积分区域 D 的图形可以得知，本题可以任意选定积分次序 先对 y 积分，积分区域 D 为： 2y ，01， 于是17 【正确答案】 微分方程 y y 20 为一阶线性方程，其中 P() ，Q() 2， 则通解为18 【正确答案】 1， 故级数收敛四、综合题19 【正确答案】 20 【正确答案】 设 F()2 0f(t)dt1， 因为 f()在0，1上连续，所以 F()也在0， 1上连续 F(0) 10，F(1)2 01f(t)dt11 01f(t)dt，由于 f(t)1，则 01f(t)dt1， 故 F(1) 0，由零点定理可知至少存在一个 (0，1)使 F()0 又因为 F()2 f()0，所以 F()在(0，1) 上单调增加， 因此方程 2 0f(t)dt1在(0， 1)内仅有一个实根
