1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 在下列的极限求解中，正确的是( )2 下列级数收敛的是( ) 3 设 a=一 i+j+2k，b=3i+4k，用 b0 表示 b 方向上的单位向量，则向量 a 在 b 上的投影为 ( )4 设 f(x)在 x=x0 处可导 ，则 f(x0)=( )（A）一 4（B）一 2（C） 2（D）45 函数 的水平渐近线方程是( )（A）y=1（B） y=2（C） y=3（D）y=06 下列不定积分计算正确的是( )二、填空题7 设 f(x)=(x500 一 1)g(x)，其中 g(x)在 x
2、=1 处连续，g(1)=4，则 f(1)=_8 y=y(x)由 ln(x+y)=exy 确定，则 x=0 处的切线方程为_9 10 11 若函数 为连续函数，则 a+b=_12 设函数 y=2x2+ax+3 在 x=1 处取得极小值，则 a=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 设方程 x2+y2+z2 一 4z=0 确定 z=z(x，y)，求14 计算 D：x 2+y22x15 判别 的敛散性16 将 f(x)= 展开成 x 的幂级数17 求 xydx+ 满足=y( 一 1)=2 的特解18 已知二阶线性常系数齐次方程的特征方程的根为 r1,2=12i，求此微分方程19 设 y= 求
3、 y及 y“20 求曲线 的凹凸区间与拐点四、综合题21 设 f(x)在闭区间0，1上连续，在 (0，1)内大于 0，并满足 xf(x)=f(x)+3x2若曲线 y=f(x)与 x=1，y=0 所围成的图形 S 的面积为 2，求 y=f(x)22 设 其中 Dt 是由 x=t、y=t 以及坐标轴围成的正方形区域，函数 f(x)连续(1) 求 a 的值使得 g(t)连续；(2)求 g(t)23 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资金，销售收入 z(万元)与电台广告费用 x(万元)及报纸广告费用 y(万元)之间的关系有如下公式：z=15+14x+32y 一 8xy 一 2
4、x2 一 10y2问：在广告费用不限的情况下，怎样才能达到最优的广告策略?五、证明题24 设 x(0，1)，证明：(1+x)ln 2(1+x)x 225 f(x)= 证明：(1)f(x)在 x=0 处可微；(2)f(x)在 x=0 处不可微江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A，很明显是一个发散级数(指数函数的增长速度高于幂函数增长速度)B 项用比较法通项 ，P1 ，发散，对于C，由于 不存在，根据定义可知该级数发散，可排除 D 项，根据莱布尼兹判别
5、法， an0，a n 单调下降，且 ，收敛，故此级数条件收敛3 【正确答案】 B【试题解析】 根据矢量 b 在 a 上的投影公式 proja(b)=4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 6 【正确答案】 A【试题解析】 二、填空题7 【正确答案】 2 000【试题解析】 8 【正确答案】 ye=(e 2-1)x【试题解析】 由 ln(x+y)=exy，得 =exy(y+xy)，k=y(0)=e2-1，所以方程为：ye=(e 21)x9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 1【试题解析】 11 【正确答案】 1【试题解析】 12 【正确答案】 一 4【试
6、题解析】 由极值存在的必要条件知：y| x=1=0，即 4+a=0，故 a=一 4三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 【试题解析】 (1)F=x 2+y2+z2 一 4z，F x=2x，F y=2y，F z=2z 一 414 【正确答案】 【试题解析】 (1)画出积分区域 D D 关于 x 轴对称，y 关于 y为奇函数，15 【正确答案】 收敛【试题解析】 这是正项级数， 由比较法非极限形式知 收敛16 【正确答案】 【试题解析】 17 【正确答案】 【试题解析】 18 【正确答案】 y“-2y+5y=0【试题解析】 (1)特征方程： (r 一 1-2i)(r 一 1+2
7、i)=0， (r-1) 2-(2i)2=0，(r 一 1)2 一4i2=0(i2=一 1)，r 2 一 2r+1+4=0， r 2 一 2r+5=0 (2)微分方程：y“ 一 2y+5y=019 【正确答案】 【试题解析】 20 【正确答案】 拐点(0，一 1)及 (一，0)，(1，+)为凹区间，(0，1)为凸区间【试题解析】 (1)定义域( 一，+) 得 x=0；y“不存在的点为x=1(3) 列表四、综合题21 【正确答案】 由 xf(x)=f(x)+3x2，可得 f(x)一 =3x，所以q=3x那么p(x)dx=-lnx ，q(x)e p(x)dx= 所以 f(x)=(3x+C)x=3x2
8、+Cx 所以 f(x)=3x2+2x22 【正确答案】 如图，画出积分区域，则(1)根据函数连续定义，满足 =f(0)=g(0)=a，所以 a=0(2)当 t0 时，g(t)=( 0tf(x)dx)=f(t) 所以，g(t)=f(t)23 【正确答案】 广告策略最优，即要求公司通过做广告，获得的利润最大 因利润函数：L(x， y)=R(x，y)-C(x，y) =15+14x+32y 一 8xy 一 2x2-10y2 一(x+y) =15+13x+31y 一 8xy 一 2x2 一 10y2又 L“xx(x，y)=-4 ，L“xy(x，y)=一 8，L“yy(x，y)=一 20，故 B2 一 AC=64 一(一 4)(一 20)=一 160又 A=一40，于是点(075，125)为极大值点，也是最大值点即广告费用为 075 万元，报纸广告费用为 125 万元时，才能达到最优广告策略五、证明题24 【正确答案】 原不等式等价于 ln(1+x) 一 ln(1+x)，F(0)=0，F(x)= 当 x0 时， F(x)0，F(x)在x0 上严格单调上升，即 F(x)F(0)=0即原不等式得证25 【正确答案】 f(x)在 x=0 处可微，(2)当 x0 时，f(x)= 因此结合结论(1)有于是，我们可以计算一下 f(x)在 x=0 是否可微，所以f(x)在 x=0 处不可微注：可微即可导
