1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 53 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设 ，则 m 的值为( )（A）（B） 2（C）一 2（D）2 当 x0 时，在下列变量中为无穷小量的是( )（A）e x1（B）（C）（D）3 14 x2 一 3x+2dx 的值为( )（A）（B）（C）（D）4 下列说法不正确的是( )（A） 是发散的（B） 是发散的（C） 是收敛的（D） 是发散的5 在下面曲面中，为旋转抛物面的是( )（A）x 2+y2=z2（B） x2+y2+2z2=1（C）（D）x 2+y2=2x6 设 ，则 fx(x，1)=( )（A）（B）（C）（D
2、）二、填空题7 如果 在 x=0 处连续，那么 a=_8 设 =_9 点 M(2，一 3，4)到平面 3x+2y+z+3=0 的距离 d=_10 设函数 y=y(x)是由方程 ex 一 ey=sin(xy)确定，则 y x=0=_11 函数 f(x)=arctanx 在 一 1，1上满足拉格朗日中值定理的点是_12 交换积分次序 01dyyef(x，y)dx=_ 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 设方程 ex+ysin(x+z)=0 确定 z=z(x，y)，求 dz14 计算二重积分 其中 D=(x，y)x 2+y22x，y0)15 判别 的敛散性，若收敛，是绝对收敛或条件收敛16
3、求 的收敛半径与收敛域17 求 的通解18 求 y+6y+13y=0 满足 y(0)=3，y(0)=一 1 的特解19 设 求 dy20 求由方程 x2y2+y=1(y0) 所确定 y=y(x)的极值四、综合题21 设 x(0，1)，证明：(1+x)ln 2(1+x)x 222 证明：(1)f(x)在 x=0 处可微；(2)f(x)在 x=0 处不可微五、证明题23 设 f(x)在a，b上连续(ab) ，且 f(x)0证明方程 .江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 53 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 A【试
4、题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 14x2 一 3x+2dx=32(一 x2+3x 一 2)dx+24(x23x+2)dx4 【正确答案】 D【试题解析】 ,Sn=u1+u2+un=ln(n+1)，5 【正确答案】 C【试题解析】 A 项为圆锥面，B 项为球面6 【正确答案】 B【试题解析】 二、填空题7 【正确答案】 0【试题解析】 那么 a=08 【正确答案】 tant【试题解析】 9 【正确答案】 【试题解析】 根据点 M(x1，y 1，z 1)到平面 Ax+By+Cz+D=0 的距离为10 【正确答案】 1【试题解析】 对方程两边求导得：e x 一 eyy=cosxy.xy，
5、根据 x 的值求出 y 值，则可得出 y x=0=111 【正确答案】 【试题解析】 设点 ，根据拉格朗日定理，则此点满足 f(1)一 f(一 1)=f()1 一(一1)，所以点 等于12 【正确答案】 1edx0lnxf(x，y)dy【试题解析】 通过作图可得出结论三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 一 1 一 tan(x+z)dx 一 tan(x+z)dy【试题解析】 (1)令 F=ex+ysin(x+z)，F x=ex+ysin(x+z)+cos(x+z)Fy=ex+ysin(x+z)，F=ex+ycos(x+z)(2)14 【正确答案】 【试题解析】 15 【正确
6、答案】 绝对收敛【试题解析】 (1)这是任意项极数 (2)16 【正确答案】 收敛半径一 1x5，收敛域一 1，5)【试题解析】 (1) 收敛半径 R=3 有一 3x 一23 即一 1x5(2)当 x=5 时， 发散(调和级数)；当 x=一 1 时，收敛(莱布尼兹级数)(3) 级数的收敛域为一 1，5)17 【正确答案】 【试题解析】 (1)判别方程的类型： 可分离变量方程(2)18 【正确答案】 y=e -3x(3cos2x+4sin2x)【试题解析】 (1) r2+6r+13=0， (2)通解 y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)(3)特解:y(0)=3，3=C 1，y=一 3e
7、-3x(C1cos2x+C2sin2x)+e-3x(一 2C1sin2x+2C2cos2x).y(0)一 119 【正确答案】 【试题解析】 20 【正确答案】 极大值 y(0)=1【试题解析】 (1)求驻点：2xy 2+x22yy+y=0，令 y=0，2xy 2=0，(y0)驻点x=0 (2)判别极值点 2y 2+2x2yy+4xyy+2x2(y2+y)+y=0，当 x=0 时 y=1 代入上式 2+0+0+0+y(0)=0， y(0)= 一 20x=0 为极大值点 (3)极大值 y(0)=1四、综合题21 【正确答案】 22 【正确答案】 (1) f(x)在 x=0 处可微，(2)当 x0时， 因此结合结论(1)有于是，我们可以计算一下 f(x)在 x=0 是否可微，不存在所以 f(x)在 x=0 处不可微注：可微即可导五、证明题23 【正确答案】 根据积分上限函数的性质知，F(x)在a ，b上连续且可导又 所以由零点定理知，方程 F(x)=0 在(a ，b)内至少有一实根又于是 F(x)在(a，b) 内单调递增，F(x) 在(a，b)内与 x 轴至少有一个交点，即方程 F(x)=0 在(a ，b)内至少有一个实根故由、知，方程在(a，b) 内有且仅有一个实根
