1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 69 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 若 x0 时， 一 1 与 xsinx 是等价无穷小，则 a=( )。（A）1（B）一 4（C） 4（D）32 下列函数中，在一 1，1上满足罗尔中值定理条件的是( )。（A）f(x)=（B） f(x)=x+5（C） f(x)=（D）f(x)=x+13 设 I= + ，交换积分次序后， I=( )。（A）（B）（C）（D）4 已知 y=ln(x+ )，则下列正确的是( )。（A）dy=（B） y=（C） dy=（D）y=5 xyy=1，y(1)=1 的解是( )。（A）x（B） y
2、2=2lnx+1（C） y2=lnx（D）y 2=x6 设 为正项级数，如下说法正确的是( )。（A）若 =0，则 必收敛（B）若 =1(01)，则 必收敛（C）若 收敛，则 必定收敛（D）若如果 收敛，则 必定收敛二、填空题7 =_。8 设 f(x)为连续奇函数，则 f(0)=_。9 =_。10 已知 = ，|a|=4，|b|=5，则|a+b|=_。11 若直线 y=5x+m 是曲线 y=x2+3x+2 的一条切线，则常数 m=_。12 z= + (0rR)的定义域是_。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 设 y=xtanx，求 y。14 分析 f(x)= 的间断点，并指明其类型。1
3、5 求 dx。16 设 z=f(2x+3y，xy)其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 。17 在一 1 和 2 之间求值 C，使 y=一 x，y=2x ，y=1+Cx 所围图形面积最小。18 求 dx。19 求 2yy+2xy2=xex2 的通解。20 计算二重积分 dxdy，其中 D 是第一象限内圆 x2+y2=2x 及直线y=0 所围成的区域。四、综合题21 求椭球面 + + =1 在点 M0(1，2，3)处的切平面和法线方程。22 设平面图形由曲线 y=1x2(x0)及两坐标轴围成。23 有一边长为 48cm 的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，然后将四边折起做成一个方形无盖
4、容器，问截去的小正方形的边长多大时，所得容器的容积最大?五、证明题24 设 ba0，证明： f(x)e2x+ydx= (e3xe2x+a)f(x)dx。江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 69 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时， 一 1 ax2，xsinxx 2 于是，根据题设有=1,故 a=一 4。2 【正确答案】 A【试题解析】 B、C 和 D 不满足罗尔定理的 f(a)=f(b)条件。3 【正确答案】 C【试题解析】 通过图形得出结论。4 【正确答案】 C【试题解析】 y= 。5 【正确答案】 B【试题解析】
5、 xyy=1 y= y2=2lnx+C 又因为 f(1)=1 所以 1=21n1+C，那么 C=1，所以 y2=2lnx+16 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 当 un 取 时，不对，排除，B 选项 0l 必收敛，n 仍然可用 ， 条件收敛，且 是发散的，故排除，所以选 C。二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 原式=8 【正确答案】 0【试题解析】 (1)f(x) 为奇函数， f(一 x)=一 f(x)，(2) = ，又f(x)在 x=0 连续， f(0)=一 f(0)，故 f(0)=09 【正确答案】 【试题解析】 原式=10 【正确答案】 【试题解析】 |a+b| 2=(a+
6、b).(a+b)=|a|2+|b|2+2|a|b|. =16+25+220 =61 故|a+b|= 。11 【正确答案】 1【试题解析】 由已知，切线斜率 k=y=2x+3=5，解得 x=1，代入曲线方程得y=6，即切点坐标为(1，6)，代入切线方程 y=5x+m，解得 m=1。12 【正确答案】 D=(x ，y)|r 2x 2+y2R 2【试题解析】 定义域 D=(x，y)|r 2x 2+y2R 2三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 y=x tanx=elnx tanx=etanx lnxy=etanx lnx.(sec2x.lnx+tanx. )=xtanx.14 【
7、正确答案】 f(x)= 间断点为一 1， 1。f( 一 1 一 0)= 一 1，f(一 1+0)=1，x= 一 1，第一类跳跃间断。f(10)=1 ，f(1+0)= 一 1，x=1，第一类跳跃间断。15 【正确答案】 =+C16 【正确答案】 根据复合函数求偏导数法则，为方便表示令=2x+3y，v=xy， =2f+yfv， =2(f.3+fv.x)+y(fv.3+fvv.x)+fv，因为二阶偏导在定义域内连续，所以 fv=fv，合并得 =6f+(2x+3y)f17 【正确答案】 三直线所围区域如图，设其面积为 S(C)，则：S(C)= (1+Cx)一(一 x)dx+ (1+Cx)一 2xdx=
8、 1+(C+1)xdx+ 1+(C2)xdx= 令 S(C)=0，得 C= 当一 1C 时 S(C)0；当 C2 时，S(C)0，由极值点的唯一性知，当 x= 时，三直线所围图形面积最小。18 【正确答案】 因为 为奇函数， 为偶函数，所以原式=ln2。19 【正确答案】 (y 2)+2xy2=xex2，令 U=y2，则+2xu= ，p=2x，q= ，pdx=x 2，所以q(x)e pdxdx=xex2ex2dx= ，则 u= ，即 y2= ，其中 C 为任意常数。20 【正确答案】 原式= (1r)rdr=四、综合题21 【正确答案】 设 F(x,y,z)= 一 1，则Fx= x，F y=
9、，F z= ，F x(1，2，3)= ，F y(1，2， 3)= ，F z(1，2，3)= ，所以切平面方程为 (x 一 1)+ (y2)+ (z3)=0，即 6x+3y+2z 一 18=0，法线方程为：22 【正确答案】 如图，利用定积分几何意义 (1)该平面绕 x 轴旋转所形成旋转体体积为 V=10(1x2)2dx=10(12x2+x4)dx= =(2)由题意，直线 y=a 将平面分成面积相等的两部分 a0 dy=10 d23 【正确答案】 设截下的小正方形的边长为 xcm，则正方形容器的底边长 482x，高为 x，容器为 V(x)=(482x) 2.x，其中 x 的变化范围是 03。五、证明题24 【正确答案】 积分域 D： 积分域又可表示成D： ， badybyf(x)e2x+ydx= f(x)e2x+ydx=badxxaf(x)e2x+ydy=baf(x)e2xdxx
