1、河南省专升本（高等数学）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 y=arcsin 的定义域为 ( )（A）(-1，1)（B） 0，4（C） 0，1)（D）0 ，12 极限 = ( )（A）3（B）（C） 0（D）不存在3 点 x=0 是函数 y= 的 ( )（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）第二类间断点4 设 f(x)= sint2dt，g(x)=x 3+x4，则当 x0 时，f(x)是比 g(x)的 ( )（A）等价无穷小（B）同阶非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小5 设 f(x)在 x=2 处可导，且 f(2)
2、=1，则 = ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设曲线 y=x2+ax+1 在点 x=1 处的切线斜率为-1，则常数 a 为 ( )（A）-3（B） -2（C） -1（D）07 设 y= ，则 dy= ( )（A）（B）（C） exdx（D）e xlnxdx8 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)，则曲线 y=f(x)在(a，b)内平行于 x 轴的切线 ( )（A）仅有一条（B）至少有一条（C）有两条（D）不存在9 函数 y=ax2+c 在区间(0 ， +)内单调增加，则 a，c 满足 ( )（A）a0，且 c0（C） a0 ，且 c 为任意实数
3、10 函数 y= 的最大值是 ( )11 设 x=atcost，y=atsint，(a0) ，则 = ( )12 设 f(2x-1)=ex，则 f(x)= ( )13 设 f(x)=e-x，则 = ( )（A）e -x4+C（B） +C（C） -e-x4+C（D） +C14 设 f(x)在0， 上连续， f(x)=xcosx+ = ( )（A）-1（B） 0（C） 1（D）15 下列广义积分收敛的是 ( )16 下列不等式成立的是 ( )17 设平面 ：2x+y+kz-1=0 与直线： 平行，则 k= ( )（A）5（B） 4（C） 3（D）218 方程 x2+y2-z2=0 表示的二次曲面是
4、 ( )（A）球面（B）旋转抛物面（C）圆锥面（D）圆柱面19 设 z=tan(xy-x2)，则 = ( )20 设 z=u2lnv，u= ，则 dz= ( )（A）2y 3dx+3xy2dy（B） y3dx-3xdy（C） y3dx+3xy2dy（D）2xy 3dx+3x2y2dy21 交换积分次序， = ( )22 设 D=(x， y)0x2 ，0y1，则 eydxdy= ( )（A）2(e-1)（B） (e-1)2（C） 2e（D）e+123 设 L 是逆时针方向的第一象限圆周：x 2+y2=1，则 L(x+y)dx+(x-y)dy= ( )（A）-2（B） -1（C） 0（D）124
5、旋转曲面 x2-y2-z2=1 是 ( )（A）xOy 平面上的双曲线 x2-y2=1 绕 y 轴旋转所得（B） xOy 平面上的双曲线 x2-y2=1 绕 z 轴旋转所得（C） xOy 平面上的双曲线 x2-y2=1 绕 x 轴旋转所得（D）xOy 平面上的圆 x2+y2=1 绕 x 轴旋转所得25 下列级数中，收敛的是 ( )26 下列级数中，条件收敛的是 ( )27 幂级数 的收敛区间(不包括端点)为 ( )（A）(-2，2)（B） (-1，2)（C） (-1，3)（D）(-2，3)28 如果连续函数 f(x)满足：f(x)= dt+2，则 f(x)= ( )（A）2e x（B） 2e2
6、x（C） 2e3x（D）2e -x29 微分方程 y-3y+2y=0 的通解为 ( )（A）y=C 1e-x+C2e-2x（B） y=C1e-x+C2e2x（C） y=C1ex+C2e-2x（D）y=C 1ex+C2e2x30 微分方程 y-7y+6y=ex 的特解可设为 ( )（A）y *=Ce*（B） y*=Cxe*（C） y*=(ax+b)e*（D）y *=Cx*e*二、填空题31 函数 y= 的反函数 f-1(x)=_32 设 (x-1)，则 f(1)=_33 函数 f(x)= 的单调递减区间为_34 设函数 y=f(x)由方程 e2x-y-cos(xy)=e-1 所确定，则 dy=_
7、35 函数 f(x)= ，(x0) 取得极小值时的 x 值为_36 =_37 在区间0 ，2上，曲线 y=sinx 与 x 轴所围成图形的面积为 _38 已知 f(x)dx=1，f(1)=0，则 xf(x)dx_39 过点 M0(1，-1，2) 且垂直于直线 的平面方程是_40 =_41 方程 sinx+2y-z=ez 确定函数 z=z(x，y)，则 =_42 设 z= ，且 f(x)可导，则 =_43 设 D 是由直线 x+y=1， x-y=1 及 x=0 所围成的闭区域，则 dxdy=_44 设 a 为常数，若级数 (un-a)收敛，则 =_45 以 y=c1e3x+c2e-2x 为通解的
8、二阶常系数齐次线性微分方程为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 47 设 y=xcosx+x2，求 y48 设xf(x)dx=e 2x+C，求49 计算 f(x-1)dx，其中 f(x)=50 设 z=f(xy，51 计算 ，其中 D 是由直线 y=x，2y=x ，x=1 围成的区域。52 将 y=3sin2x 展开成麦克劳林级数53 求微分方程 xlnxdy+(y-lnx)dx=0 满足 y x=e=1 的特解四、综合题54 用 a 元钱购料，建造一个宽与深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面单位面积材料费的 12 倍，求水池的长与宽各为多少米时，才能使水池的容积最大?
9、54 已知平面图形由 y=0，y=3 与 y= 围成55 求此图形的面积56 求此图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积五、证明题57 当 x0 时，证明不等式：xe x-1xe x河南省专升本（高等数学）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 若函数有意义，则满足 1-x20 且 -11，求解得x0x1，所以选 C.2 【正确答案】 B【试题解析】 原式3 【正确答案】 C【试题解析】 当 x=0 时，函数无意义，故 x=0 为间断点，又=0，故 x=0 为函数的跳跃间断点，选 C.4 【正确答案】 B【试题解析】
10、，故选 B.5 【正确答案】 C【试题解析】 因 f(2)=1，所以6 【正确答案】 A【试题解析】 由题意，y=x 2+ax+1，当 x=1 时，y=-1，即 21+a=-1，得 a=-37 【正确答案】 A【试题解析】 因 y= ，则 dy=8 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知，f(x)在a ，b 上满足罗尔定理的条件，由定理的几何意义知，选项 B 正确9 【正确答案】 D【试题解析】 因 y=ax2+c 在(0，+)内递增，则 y=2ax0，又 x(0，+)，于是a0，由于对 c 无要求，故 c 可以取任意实数，选项 D 正确10 【正确答案】 B【试题解析】 因 y= ，令 y=
11、0，得驻点 x=0 或 x=-4；又 x0；x0时，y ；在 x=0 处取得极大值，极大值为 f(0)= =0，故函数的最大值为 选项 B 正确11 【正确答案】 A【试题解析】 12 【正确答案】 B【试题解析】 因 f(2x-1)=ex，故 f(x)= ，故 f(x)= +C13 【正确答案】 B【试题解析】 令 lnx=u，则 =f(lnx)dlnx=f(u)+C=f(lnx)+C=e-lnx+C= +C14 【正确答案】 A【试题解析】 令 f(x)dx=a(a 为常数)，则 f(x)=xcosx+a， 对等式两边在0， 上积分得， 即 a=-1所以f(x)dx=-115 【正确答案】
12、 C【试题解析】 对于 C， =1 收敛，所以选 C.16 【正确答案】 B【试题解析】 对于 B，因 1x2，则 x3x 2，故 ，所以选 B.17 【正确答案】 A【试题解析】 因平面， 的法向量 =2，1，k ，直线的方向向量 =3，4，-2，因直线与平面平行，所以 =0，即2，1，k.3，4，-2=23+1 4+k(-2)=0，即 k=5，选 A.18 【正确答案】 C【试题解析】 x 2+y2-z2=0 可看做是 绕 z 轴旋转形成的曲面，是圆锥面19 【正确答案】 A【试题解析】 =sec2(xy-x2).(y-2x)= ，选 A.20 【正确答案】 C【试题解析】 先将函数进行复
13、合，得 z= =xy3故 dz=y3dx+3xy2dy，选 C.21 【正确答案】 B【试题解析】 因已知积分的积分区域 D 可表示为 D=D1+D2，其中， D1：(x，y)0x1 ， D 2：(x ，y) 1x4，x-2y 其图形如第21 题图所示，区域 D 又可表 示为 D：(x，y)-1y2，y 2xy+2 于是，原积分交换积分次序后为： ，选项 B 正确22 【正确答案】 A【试题解析】 原式= =2(e-1)，选 A.23 【正确答案】 B【试题解析】 因 P(x，y)=z+y，Q(x，y)=x-y ，则 ，所以积分与路径无关，故原积分为：24 【正确答案】 C【试题解析】 由旋转
14、曲面的方程特征知，选项 C 正确25 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A， 1，(n)，故发散；选 =1 故发散选项C，u n= ，故该级数是 = 1 的 P 级数，收敛；选项 D， 是p= 21021 的 P 级数，发散，所以选 C.26 【正确答案】 B【试题解析】 选项 A，C，D 是绝对收敛，选项 B，根据莱布尼兹判别法和 p 级数的特点容易判断是条件收敛27 【正确答案】 C【试题解析】 因 an1= ，从而收敛半径 R= =2，收敛区间为 -2x-12，即-1x328 【正确答案】 B【试题解析】 因 f(x)= +2，两边求导，得 f(x)=2f(x)，于是 f(x)=Ce2
15、x，同时注意到 f(0)=2，故 C=2，即 f(x)=2e2x29 【正确答案】 D【试题解析】 因方程的特征方程为：r 2-3r+2=0，故有特征根 r1=1，r 2=2，于是方程的通解为 y=C1ex+C2e2x30 【正确答案】 B【试题解析】 因方程的特征方程为 r2-7r+6=0，特征根为 r1=1，r 2=6，而自由项f(x)=ex，=1 是一重特征根，故方程的特解应设为 y=Cxex二、填空题31 【正确答案】 【试题解析】 由求反函数的步骤可得 f-1(x)=32 【正确答案】 1【试题解析】 令 =t，则 x= ，故 f(t)= ，f(t)= ，所以 f(1)=133 【正
16、确答案】 (e，+)【试题解析】 由 f(x)= 0 知 xe，故 f(x)的单调递减区间为(e，+)34 【正确答案】 【试题解析】 方程两边微分得 e2x+y(2x+y)+sin(xy)d(xy)=0，即 e 2x+y(2dx+dy)+sin(xy)(xdy+ydx)=0，整理得 dy=35 【正确答案】 x=【试题解析】 f(x)=2- ，令 f(x)=0，得 x=36 【正确答案】 +C【试题解析】 =arctanxd(arctanx)= +C37 【正确答案】 4【试题解析】 S= =438 【正确答案】 -1【试题解析】 =f(x)-1=-139 【正确答案】 2x+3y+z-1=
17、0【试题解析】 所求平面方程为 2(x-1)+3(y+1)+(x-2)=0，整理得 2x+3y+z-1=040 【正确答案】 0【试题解析】 =041 【正确答案】 【试题解析】 方程两边对 x 求偏导数得 cosx- ，整理得42 【正确答案】 2xyf( )【试题解析】 43 【正确答案】 1【试题解析】 由二重积分的几何意义知， dxdy 为区域。的面积，故 dxdy=144 【正确答案】 0【试题解析】 由 (un-a)收敛，知 (un-a)=0，即 =a45 【正确答案】 y-y-6y=0【试题解析】 由通解知，微分方程特征根分别为 3，-2，即特征方程为 2-6=0，故所求微分方
18、y-y-6y=0三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 原式= (利用等价无穷小代换，当 x0时，sinx 2x 2)=47 【正确答案】 令 y1=xcosx，两边取对数，则 lny1=cosxlnx，两边同时求导得，所以 =xcosx(-sinxlnx+ ) 因此，y=x cosx(-sinxlnx+)+2x48 【正确答案】 对于xf(x)dx=e 2x+C，两边求导得，xf(x)=2e 2x，整理得 f(x)=49 【正确答案】 令 x-1=t，原式= =e3+ln2-150 【正确答案】 令 u=xy，v=51 【正确答案】 区域 D 可表示为：(x，y)0x1，
19、yx52 【正确答案】 因 y=3sin2x= (1-cos2x) =53 【正确答案】 原方程可化为 y+ 则原方程的通解为 y=将初始条件 y x=e=1 代入，得 C= ，故满足条件的特解为四、综合题54 【正确答案】 设长方体水池的长为 x 米，宽为 y 米，则深也为 y 米，并设底面单位面积材料费用为 m 元，则 四周的单位面积材料费用为 12m 元由题意知， xy+2(xy+y2)12m=a，而长方体水池的容积为 V=xy2 该题即求 V=xy2 在条件xy+2(xy+y2)12m=a 下的条件极值 令 F(x， y，)=xy 2+(34xy+24y 2-) 令 Fx=0，F y=0,F=0，可得 x=由题意可知，当长方体长为 ，宽为 时，水池的容积最大55 【正确答案】 如第 52 题图所示， 所求面积S=56 【正确答案】 所求体积 V=五、证明题57 【正确答案】 构造函数 f(x)=ex，显然 f(x)在区间0，x(x0) 内连续且可导，且 f(x)=ex，由拉格朗日中值定理得，存在一点 满足 =e，(0 x) 而e0e ex，故有 1 e x 所以 xe x-1xe x
