1、浙江专升本（高等数学）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 下列结论正确的是： ( )（A）当 x0 时，若函数 f(x)极限存在，函数 g(x)极限不存在，则函数和 f(x)+g(x)的极限不存在（B）当 x0 时，若函数 f(x)极限不存在，函数 g(x)极限不存在，则函数和 f(x)+g(x)的极限不存在（C）当 x0 时，若函数 f(x)极限存在，函数 g(x)极限存在，则函数和 f(x)+g(x)的极限可能不存在（D）当 x0 时，若函数 f(x)极限存在，函数 g(x)极限不存在，则函数和 f(x)+g(x)的极限可能不存在2 微分
2、方程 y+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为 ( )（A）y *=ax2+bx+c+Asinx（B） y*=ax2+bx+c+Acosx（C） y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)（D）y *=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)3 下列可推出函数 f(x)在闭区间a ，b上可积的是 ( )（A）f(x)在闭区间a，b上只有有限个间断点（B） f(x)是有界函数（C） f(x)在闭区间 a，b上无单调性（D）f(x)是连续函数4 下列等式不正确的是 ( )（A） f(x)dx=f(x)（B） f(t)dt=fb(x)b(x)（C） f(x)dx=f(x)（D）
3、F(t)dt=F(x)5 下列微分方程是线性方程的是 ( )（A）e xy.y=y（B） .yx 2yylnx=e x（C） yy2y=（D）(y 1)y=x 1二、填空题6 设 =3，则 f(x)=_7 设函数 在 x=0 处连续，常数a=_，b=_8 设函数 f(x)在 x=0 处满足 f(x)=f(0)一 3x+a(x)，且 =0，则 f(0) =_9 已知函数 f(x)=xe2x，则 f(50)(x)_10 设 f(x)=2x5，则 ff(x)1_11 已知 f(lnx)=x51，则 f(x)_12 (x3 一 t)f(t2)dt_13 若a 5，b8， a 与 b 的夹角为 ，则 a
4、b_14 (1+x)ydx+(1 一 y)xdy=0 的通解是_15 在 x=2 处，函数 f(x)= 幂级数展开式为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 求极限17 设函数 f(x)的导函数为 sinx 且 f(0)1；若 F(x)是 f(x)的一个原函数且 F(0)=0，求解：18 求函数 f(x)=x 一 的凹凸区间和拐点19 求由方程 x2 一 xy+y2=3 确定的隐函数 y=f(x)的极大值和极小值20 求积分21 当 x0，时，讨论方程 sin3xcosx 一 的实根个数22 已知函数 2f(t)+t2costdt=xf(x)，且 f( )=0，求函数 f(x)23 求曲
5、线 x2+(y 一 4)2=4 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体体积四、综合题24 设 y=f(x)是第一象限内连接点 A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点 C 为 M 在 x 轴上的投影，O 为坐标原点若梯形 OCMA 的面积与曲边三角形 CBM 的面积之和为 ，求 f(x)的表达式25 设 f(x)在 x=0 的邻域内具有三阶导数，且 =e3，试求 f(0)，f(0)，f(0)及 26 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续，求证：至少存在一点 (a，b)使得 f()f(x)dx浙江专升本（高等数学）模拟试卷 6 答案与解析一、选
6、择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 根据极限运算的基本性质，可以得出结论 A 成立2 【正确答案】 C【试题解析】 对应齐次方程为 r2+1=0，特征根为 r1i ，r 2=i，对于y+y=x2+1，因为 =0 不是特张方程的根，取 k=0，从而其特解形式可设为y1*=ax2+bx+c； 对于 y+y=sinx，因为 =0，=1 ， +i=i 是特征方程的根，取k=1，从而其特解形式可设为 y2*=x(Asinx+Bcosx)，所以 y+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为 y *=y1*+y2*，可见选项 C 正确3 【正确答案】 D【试
7、题解析】 由可积分的条件可知选项 D 正确对于选项 A，f(x)在闭区间a，b上只有有限个间断点的有界函数可推出 f(x)在闭区间a，b 上可积；对于 B 和 C，可以举反例，例如，狄利克雷函数 D(x)= ，显然 D(x)是有界函数，且在0 ，1 上无单调性，但是 D(x)在0，1上不可积；可见只有选项 D 正确4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)在a ，b 定积分计算结果是一个常数，故 f(x)dx=0， B，C， D 计算都正确5 【正确答案】 B【试题解析】 一阶线性微分方程形如 y+P(x)y=Q(x)，二阶线性微分方程形如y+P(x)y+Q(x)y=f(x)，可见选项
8、B 正确二、填空题6 【正确答案】 12【试题解析】 =f(x)=3，所以 f(x)=127 【正确答案】 a 2， b0【试题解析】 因为 f(x)在 x0 处连续，故 f(x)=f(0)=4 而=0，故必有 (ax+b)=0，因此 b=0；所以= =2a=4即 a= 28 【正确答案】 -3【试题解析】 由函数在一点处的导数定义知 f(0)=39 【正确答案】 2 50xe2x+50.249e2x【试题解析】 令 u=x，v=e 2x，则 u=1，u=0，因此由莱布尼茨公式可知(uv) (50)=u(0)v(50)+ u(1)v(49)=250xe2x+50.249e2x10 【正确答案】
9、 4x+13【试题解析】 f(x)=2x+5 ff(x)一 1=f2x+4=2(2x+4)+5=4x+1311 【正确答案】 e5x+x+C【试题解析】 令 t=lnx，则 x=e，f(t)=e 5t+1，因此 f(x)=f(x)dx=(e5t+1)dt= e5t+t+C12 【正确答案】 3x 2 f(t2)dt+2x3f(x4)(x 一 1)【试题解析】 (x3 一 t)f(t2)dt=x3 f(t2)dt tf(t2)dt (x3t)f(t 2)dt=3x2 f(t2)dt+2x4f(x4)2x 3f(x4)13 【正确答案】 7【试题解析】 因为a 一 b 2=(a 一 b).(a 一
10、 b)=a 2 一 2a.b+b 2=a 2 一 2 abcos +b 2=25258 +64=49，故 ab= =714 【正确答案】 xy=ce yx (c 为任意实数)【试题解析】 原方程可化为： dy=0，即： dx= dy，两边积分得到：xy=ce yx (c 为任意实数)15 【正确答案】 (x 一 2)n，x (1，3)【试题解析】 因为 xn，x (一 1，1)，所以 f(x)=(x2) n，收敛区间 x(1，3)三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 17 【正确答案】 由题意：f(x)=sinx，则 f(x)=cosx+C，而 f(0)=1，此时 C=0，
11、因而 f(x)=cosx；又有 F(x)=f(x)，则 F(x)sinx+C，而 F(0)=0，此时 C=0，因而 F(x)=sinx ；所以：18 【正确答案】 函数 f(x)的定义域为 x1，1 当 x1 且 x1 时，f(x)=f=令 f(x)=0，可得 x=0，当 x0 时，f(x)0；当 x0 时，f(x)0 所以函数 f(x)的凹区间为(一 1，0)，凸区间为(0，1)拐点为(0，0) 19 【正确答案】 首先对方程 x2 一 xy+y2=3 两边关于 x 求导，得 y= 令y=0，得： 2x=y，代入原方程得驻点 x=1，x=1 又因0，所以函数y=y(x)在 x=1 处取得极大
12、值，且极大值为 y(1)=2；同理可知 y x=1 = 0，所以函数 y=y(x)在 x=1 处取得极小值，且极小值为 y(1)2 20 【正确答案】 x=e 是瑕点 21 【正确答案】 令函数 f(x)=sin3xcosx ，x0，则 f(x)=sin2x(34sin 2x)令f(x)=0，得 x=0，x= ，x= ，x= f(0)=0f()0 因为函数 f(x)=sin3xcosx 在闭区间0， 和闭区间 上连续所以由零点定理知，至少存在 1(0， )，使得 f(1)=0，f( 2)=0 当x(0， )和( ，)时， f(x)0，故函数 f(x)为增函数当 x( )时，f(x)0，函数 f
13、x)为减函数所以当 x0， 时，方程 sin3xcosx= 仅有两个实根 22 【正确答案】 据题意方程 2f(t)+t2costdt=xf(x)两端同时对 x 求导数，得 f(x)一 f(x)=xcosx 则此方程为一阶线性微分方程，令 P(x)= ，Q(x)=xcosx 则此一阶微分方程的通解为 f(x)=eP(x)dx .Q(x).eP(x)dxdx+C= +C=elnx.xcosxelnxdx+C=xcosxdx+C=x(sinx+C) 又因 f( )=0，所以 C=1，故 f(x)=x(sinx 一 1) 23 【正确答案】 y 1=4+ ，y 2=4 所以 Vx=dx=16 dx
14、16.=322四、综合题24 【正确答案】 据题意可知 (f(x)+1)+ f(t)dt= 在上式两边同时对 x 求导数得 (f(x)+1)+ x2 当 x0 时，可得一阶线性微分方程 f(x)一f(x)= 由通解公式为 f(x)= dx+C=x+C)=x2+Cx+1 又因 f(1)=0，所以可得 C=2，因此所求 f(x)=x2 一 2x+125 【正确答案】 因为1+x+ 所以=3=0 =0，且 f(0)=0 所以=3 所以f(x)2x 2=x2.a(x)，其中 a(x)=0 所以，f(x)=2x2+o(x2)又因 f(x)在 x=0 处的二阶泰勒公式为 f(x)=f(0)+ x2+o(x2)所以可知 f(0)=0，f(0)=4 所以而f(0)=2 所以 =e226 【正确答案】 令 F(x)= f(t)dt. g(t)dt，xa ，b 设函数 f(x)，g(x)在a ，b 上连续F(x)在a，b上可导，且 F(a)=F(b)=0由罗尔定理可知，至少存在一点(a， b)，使得 F()=0，即 f() g(x)dx=g() f(x)dx
