1、湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 y= 的定义域为 ( )（A）(0 ，1)（B） (0，2)（C） (0，1) (1，2)（D）(0 ，1)(1，22 设 f(x)= ，则 f(x)为 ( )（A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）无法判定3 x=0 是函数 f(x)=sinx.sin 的 ( )（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）无穷间断点4 已知当 x0 时， 1 与 sin2x 是等价无穷小，则 a= ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 若 存在，且 f(x)= = (
2、 )（A）1（B） 2（C） 1（D）26 设 f(x)=0x(3t2+2t+1)dt，则 = ( )（A）6x 2+4x+2（B） 6t2+4t+2（C） 3x2+2x+1（D）3t 2+2t+17 已知 f(x)= ，则 f(x)在 x=0 处 ( )（A）极限存在但不连续（B）连续但不可导（C）可导（D）可导，且导数也连续8 函数 f(x)=x33x 29x 的区间3，6上的最大值为 ( )（A）34（B） 54（C） 44（D）249 对于曲线 y=f(x)，在(a ，b)内 f(x)0，f(x)0，则曲线在此区间 ( )（A）单调下降，凸（B）单调上升，凸（C）单调下降，凹（D）单调
3、上升，凹10 函数 f(x)= 在0，1上的最小值为 ( )（A）1（B） 2（C） 0（D）111 曲线 处的法线方程为 ( )12 设 f(x)为连续函数，则 = ( )（A）f(2x 2)（B） x2f(2x2)（C） 2xf(x2)（D）2xf(2x 2)13 设 ，则 f(x)= ( )14 若 f(0)=0， =2，则 f(x)在 x=0 处 ( )（A）导数存在且 f(0)0（B）取得极大值（C）取得极小值（D）导数不存在15 0ke2xdx= ，则 k= ( )（A）ln2（B） ln2（C） 1ln2（D）216 在下列广义积分中，收敛的是 ( )17 已知 a，b ，c 两
4、两垂直， a=1，b=2，c=3，则a+b+c= ( )（A）36（B） 14（C）（D）18 直线 与平面 3x4y+7z10=0 的位置关系是 ( )（A）平行（B）垂直（C）斜交（D）直线在平面内19 设 z= ，则 = ( )（A）5（B）（C） 37（D）20 设区域 D 由 y=x2，x=y 2 围成，则 D 的面积为 ( )21 I= ，则交换积分次序后得，I= ( )22 已知 I=Lyds，其中 L 是由抛物线 y2=4X(y0)，直线 x=1 和 y=0 围成的闭曲线，则 I= ( )23 下列命题正确的是 ( )24 设 f(x).0xf(t)dt=1，x0 则 f2(x
5、)的一般表达式为 ( )25 曲线 f(x)=xsin ( )（A）有且仅有水平渐近线（B）有且仅有垂直渐近线（C）既有水平渐近线也有垂直渐近线（D）水平、垂直渐近线都无26 设函数 f(x)与 g(x)，其中一个是偶函数，一个是奇函数，则必有 ( )（A）f(x)+g(x)=f(x)g(x)（B） f(x)+g(x)=f(x)+g(x)（C） f(x).g(x)=f(x)g(x)（D）f(x).g(x)=f(x).g(x)27 设把半径为 R 的球加热，如果球的半径伸长R，则球的体积近似增加 ( )（A）（B） 4R2R（C） 4R（D）4R R28 若 f(x)的导函数是 sinx，则 f
6、(x)有一个原函数为 ( )（A）x+sinx（B） xsinx（C） x+cosx（D）xcosx29 曲线 的拐点个数为 ( )（A）有一个拐点（B）有两个拐点（C）有三个拐点（D）没有拐点30 设曲线积分 Cxy2dx+y(x)dy 与积分路径无关，其中 (x)具有连续导数，且 (0)=0，则 (0，0) (1，1) xy2dx+y(x)dy 等于 ( )二、填空题31 设函数 f(x)= ，则 fff(x)=_ 32 函数 y=logx1 (16 一 x2)的定义域为_33 极限 =_34 函数 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_35 函数 f(x)= 在0，3上满足罗尔定理条
7、件的 =_36 函数 y=y(x)由方程 ln(x3+y)=x3y+sinx 确定，则 = _37 y= (a0)，是 y=_38 曲线 y=xlnx 平行于直线 y=x+2 的切线方程为_39 f(x)=x3 一 3x 一 9x 在一 3，6上的最大值为_40 曲线 y=3x2x 3 的凸区间为_41 定积分 (cos4x+sin3x)dx=_42 点(2 ，3，1) 在直线 的投影为_43 xyz=x+y+z，则 dz=_44 改变积分次序 =_45 微分方程 y+y+y=0 的通解为_三、综合题46 某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养 x(万尾)，乙种鱼放养 y(万尾)，收获时两种鱼收获量
8、分别为(3xy).x 和(4x2ay).y ，(0) ，求使产鱼量最大的放养数47 过点(1 ，0)作抛物线 y= 的切线，求这条切线、抛物线及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周形成的旋转体的体积 V四、证明题48 设 =1，且 f(x)0，证明：f(x)x湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 要使函数有意义，须 ，求解得：0x1 或1x2故选 D2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 显然 x=0 是 f(x)=sinx.sin 的间断点由于=0，故 x
9、=0 是 f(x)的可去间断点4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案】 A【试题解析】 7 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)= 在 x=0 处有定义，故而连续但 f(x)= 在x=0 无意义，所以 f(x)=在 x=0 处不可导8 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=x 33x 29x，f(x)=3x 26x9， 令 f(x)=0 有 x=3，x= 1而f(3)=27，f(1)=5，f(3)=27f(6)=54 故 f(x)在3，6上的最大值为 549 【正确答案】 A【试题解析】 由定理可知 f(x)0，f(x) 单减；f(x)0，f(x
10、)凸10 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)= ，x 0，1 故 f(x)在0，1上单调递增所以 f(0)=0 为最小值11 【正确答案】 B【试题解析】 曲线方程为 对应切点坐标为 切线斜率则法线斜 k=1 所以法线方程为即 y=x12 【正确答案】 D【试题解析】 13 【正确答案】 C【试题解析】 14 【正确答案】 C【试题解析】 已知 f(0)=0， 故存在 x=0 的一个邻域 U，对任意 xU，有 =20 当 x0 时，f(x)f(0) ；当x0 时，f(x)f(0) 所以 f(x)在 x=0 处取得极小值15 【正确答案】 A【试题解析】 16 【正确答案】 B【试题解析】
11、由公式 (p0)，当 p1 时收敛，p1 时发散，可知 收敛当然，也可逐个积分找出收敛的17 【正确答案】 C【试题解析】 由 a，b ，c 两两垂直，a=1，b =2，c=318 【正确答案】 C【试题解析】 直线的方向量为1，2，9平面的法向量为3，4，7它们对应坐标不成比例，所以不平行即直线不垂直于平面；它们的点积也不等于零所以不垂直，即直线与平面不平行总之，直线和平面斜交19 【正确答案】 B【试题解析】 20 【正确答案】 A【试题解析】 首先画出积分区域图 D如图所示求出， y=x2，x=y 2 的交点(0，0)，(1，1)在0，1区间上曲线 x=y2 在曲线 y=x2 之上故21
12、 【正确答案】 C【试题解析】 首先根据二次积分 I= 画出积分区域 D 的图形：顶点在(0 ，1) ，开口向下，与 X 轴交于1，1抛物线和 y 轴，x 轴围成的在第一象限部分由于原二次积分是把 D 看做 Y 型，现在把 D 看做 X 型，则=01dx 3x2y2dy22 【正确答案】 A【试题解析】 积分曲线由三部分组成 AB：23 【正确答案】 D【试题解析】 24 【正确答案】 C【试题解析】 由 ，两边对 x 求导，f(x)= ，f(x)=f 3(x) 分离变量，f 3 (x)df(x)=dx，两边积分，有f 3 (x)df(x)=dx，得 f2 (x)=2x+C，故 f2(x)=2
13、5 【正确答案】 A【试题解析】 ，有水平渐近线 y=1 =0，所以无垂直渐近线26 【正确答案】 D【试题解析】 由于只是知道 f(x)和 g(x)中一个为偶函数，一个为奇函数，并不清楚具体哪一个是什么函数所以只有 f(x)g( x)=f(x)g(x)恒成立27 【正确答案】 B【试题解析】 V= ，则VV R=4R2R28 【正确答案】 B【试题解析】 因为(xsinx)=sinx 所以 xsinx 是 f(x)的原函数29 【正确答案】 C【试题解析】 令=0 得 t=1，t=1而 t=0 二阶不可导点易知在(，+1) 上 y0在(1， 0)上 y0，在(0 ，1) 上 y0，在(1 ，
14、+)上 u0，故知曲线有三个拐点30 【正确答案】 B【试题解析】 因为曲线积分xy 2dx+y(x)dy 与路径无关，所以 即 y(x)=2xy 又 (0)=0，可得 (x)=x2 即曲线积分为 I=(0， 0)(1，1) xy2dx+yx2dy 我们设计线路为 A(0，0)B(1，0)C(1，1)则 I=AB+BC=0+01ydy=二、填空题31 【正确答案】 【试题解析】 32 【正确答案】 (1，2) (2，4)【试题解析】 y=log x1 (16x 2)，x10 且 x12；16x 20整理x1，x2；4x4，取交集得(1，2)(2，4)33 【正确答案】 e 6【试题解析】 34
15、 【正确答案】 0【试题解析】 35 【正确答案】 2【试题解析】 f(x)= 在0，3 上满足罗尔定理条件，故至少存在一点(0， 3)使得 f()=0f(x)= 所以 f()= =0，得 =236 【正确答案】 1【试题解析】 令 F=ln(x2+y)x 3ysinx ，由方程可得 z=0，则 y=137 【正确答案】 【试题解析】 38 【正确答案】 y=x1【试题解析】 设切点坐标为(x，y)，则 y=(xlnx)=lnx+1=1，得 x=1，代入曲线方程 y=xlnx；得 y=0故切线方程为 y=x139 【正确答案】 54【试题解析】 f(x)=x 33x 29x，x 3，6 f(x
16、)=x 33x 29=3(x3)(x+1)，令f(x)=0，x=3，x=1 而 f(1)=5，f(3)=2，f( 3)=27，f(6)=54 故最大值为5440 【正确答案】 (1，+)【试题解析】 y=3x 2x 3，y=6x3x 2，y=6 6x，令 y=0，得 x=1， 当x1 时，y0，当 1x+ 时，y0，故 f(x)的凸区间为(1，+)41 【正确答案】 【试题解析】 42 【正确答案】 (5，2，4)【试题解析】 过点(2，3，1)且与直线 垂直的平面方程为(x2)+2(y3)+3(z1)=0，即 x+2y+3z11=0，将直线的参数方程代入平面方程，有7+t+2(2+2t)+3
17、(2+3t)11=0解得 t=2，再将之代人直线参数方程，得 (一5，2，4) 43 【正确答案】 (1yz)dx+(1xz)dy【试题解析】 xyz=x+y+z，则 d(xyz)=d(x+y+z)，由全微分法则，yzdx+xzdy+xydz=dx+dy+dz，整理得：44 【正确答案】 【试题解析】 根据二次积分画画出积分区域图 D 原来是把 D 看做 X 型，现在我们把 D 看做 y 型，再写出二次积分就改变了积分次序45 【正确答案】 【试题解析】 y+y+y=0 对应的特征方程为 r2+r+1=0，其特征根为r= ，故微分方程通解为三、综合题46 【正确答案】 由题设知两种鱼的收获总量
18、为： z(x，y)=(3xy)x+(4x2y)y=3x+4yx 22y 22xy 因 =32ax2x， =44x2x由实际意义知，确实存在两种鱼收获量的最大值，目前仅有一个驻点，于是知点 即为最大值点，即甲种鱼放养 万尾；乙种鱼放养 万尾时，两种鱼的收获量最大47 【正确答案】 首先求过点(1，0)的抛物线 y= 的切线方程设切线的切点为(x 0， y0)，则有 于是，求解得切点(3，1)，进而切线方程为：y0= (x1) ，即 x2y1=0 这条切线、抛物线及 x 轴所围成的平面图形如图 于是，所示旋转体的体积为：四、证明题48 【正确答案】 因当 x0 时， 极限存在，所以 f(0)=0，且 f(0)=1，(因为f(0)= =1)，即函数 y=f(x)过点(0，f(0)=0)的切线为y=x，又因为线弧位于任意点切线的上方，所以有 f(x)x，只有在 x=0 处取等号或这样证：设 F(x)=f(x)x，则 F(x)=f(x)1，所以 F(0)=0，又因 F(x)=f(x)0，所以 F(0)0，故 F(x)在 x=0 处取得极小值 F(0)=f(0)=0，所以对于任意 x 恒有 F(x)F(0)=0，即 f(x) x0，所以 f(x)x，且只有在 x=0 处取等号
