1、湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 y=lnx+arcsinx 的定义域为 ( )（A）(0 ，+)（B） (0，1（C） 1，1（D）1，0)2 函数 f(x)= 是 ( )（A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶（D）可能是奇函数也可能是偶函数3 极限 = ( )（A）（B）（C） 0（D）4 已知 =6，则 a，b 取值为 ( )（A）a= 2， b=3（B） a=0，b=9（C） a=4，b=3（D）a= 1， b=65 要使函数 f(x) (a 为自然数)在 x=0 处的导函数连续，则 n= ( )（A
2、）0（B） 1（C） 2（D）n36 曲线 y= 的渐近线有 ( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条7 函数 f(x)=(x2x2)x 3x 不可导点个数是 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）38 函数 f(x)在a，b上连续是积分 abf(x)dx 存在的 ( )（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要9 若 f(x)= 0xsin(tx)dt，则必有 ( )（A）f(x)=sinx（B） f(x)= 1+cosx（C） f(x)=sinx（D）f(x)=1sinx10 已知 f(x)连续，且 f(0)=0，设 (x)= 则 (0)= ( )
3、（A）f(0)（B）（C） 1（D）11 已知向量 a、b 的夹角为 ，且a =1，b = 则a+b = ( )12 曲面 x2+y2=1=2z2 表示 ( )（A）旋转单叶双曲面（B）旋转双叶双曲面（C）圆锥面（D）椭球面13 极限 = ( )（A）e 1（B） e（C） 1（D）014 设 z=f(x，y)可微，且当 y=x2 时，f(x ，y)=1 及 =x，则当 y=x2(x0)时， =( )（A）（B）（C） 0（D）115 利用变量替换 u=x，v= ，一定可把方程 化成 ( )16 曲面 xy+yz+zx=1 在点 P(1，2，3)处的切平面方程为 ( )（A）5x+2y+z+2
4、=0（B） 5x2y+z+2=0（C） 5x+2yz+2=0（D）5x+2yz 4=017 设 D 由 y2=x，y=x 围成，则 xydxdy= ( )18 设 D 由 x0，y0 及 x2+y21 所围成，则 xy2dxdy= ( )19 L 为 y=x3,y=x 所围边界线第一象限部分，f(x，y)连续，则 L(x，y)ds= ( )20 L 是沿 y=11x从点 O(0，0)到点 B(2，0) 的折线段，则曲线积分 L(x2+y2)dx(x 2y 2)dy= ( )21 若 =+，则级数 ( )（A）收敛于 0（B）收敛于（C）发散（D）敛散性无法确定22 已知幂级数 在点 x=2 处
5、收敛，则实数 a 的取值范围为 ( )（A）1a3（B） 1a3（C） 1a3（D）1a323 已知 an(x1) n 收敛域为1，3，则 的收敛域是 ( )（A）1，3（B） 2，2（C）（D）4，424 设连续函数 f(x)满足 f(x)= +ln2，则 f(x)= ( )（A）e xln2（B） e2xln2（C） ex+ln2（D）e 2x+ln225 微分方程 y+y=2x2ex 的特解应设为 y*= ( )（A）(Ax 2+Bx+C)ex（B） (Ax3+Bx2+Cx)ex（C） (Ax2+Bx+C)ex（D）(Ax 3+Bx2+Cx)ex26 求极限 ( )（A）1（B） 0（C
6、）（D）227 若 =k0，则级数 满足 ( )（A）收敛（B）发散（C）敛散性不确定（D）收敛于 028 微分方程 y+xy=1 的通解为 ( )（A）y=x+C 1lnx（B） y=x+C1lnx+C 2（C） y=x+C2（D）y=C 1lnx+C 229 函数 f(x)在点 x=1 处可导，且 ，则 f(1)= ( )30 函数 f(x)是连续函数，则 a ax2f(x)f(x)dx= ( )（A）1（B） 2（C） 1（D）0二、填空题31 设 f(x)为连续的奇函数且 f(2)=1，则 =_32 极限 =_33 曲线 y=x+ex 在点(0，1)处的切线斜率 k=_34 函数 f(
7、x)= 在0，3上满足罗尔定理结论的 =_35 函数 f(x)=x+2cosx 在 上的最大值为_ 36 曲线 y=x33x 2+2x+1 的拐点为 _37 设 f(x)= +cos2x，则 f(27)()=_38 不定积分 =_39 40 极限41 将 xOz 平面内的曲线 z2=5x 绕 x 轴旋转一周，生成的旋转曲面的方程为_42 由方程 ex+y+xyz=ez 确定的隐函数 z=z(x，y)的偏导数 =_43 幂级数 的收敛域为_44 级数 的和函数 s(x)=_45 以 y=C1ex+C2e2x 为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 求极限
8、47 函数 y=y(x)由方程 确定，求 y48 计算广义积分49 求函数 z=exy.sin(x+y)的全微分50 计算 ，其中区域 D 由直线 y=0，y=z 及 x=1 围成51 求 ，其中 C 为圆 x2+y2=a2，直线 y=x 及 x 轴在第一象限所围扇形边界线52 将函数 f(x)= 展开成关于 x 的幂级数53 求微分方程 y+ =0 满足条件 y x=0=1 的特解四、综合题54 (1)求曲线 y=x2，y=2x 2 所围图形的面积 (2)求(1)中图形绕 y 轴旋转一周所生成的旋转体体积55 设 f(x)具有二阶导数，试确定 f(x)，使曲线积分 Cex 2f(x) f(x
9、)ydx+f(x)dy与积分路径无关五、证明题56 证明：当 x0 时，arctanx+湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 要使函数有意义，须 ，求解得：0x1选 B2 【正确答案】 A【试题解析】 因 f(x)= =f(x)3 【正确答案】 B【试题解析】 用等价无穷小代换简单些，4 【正确答案】 B【试题解析】 因为当 x3 时，分母0 必有分子0，否则一定无极限，即有9+3a+b=0，应用洛必达法则，左端= (2x+a)=6+a=6，所以 a=0，这时 b=95 【正确答案】 D【试
10、题解析】 A 错，因函数在 x=0 处不连续；B 错，虽然函数在 x=0 处连续，但不可导；C 也错，函数在 x=0 处可导，进而函数在(，+)上均可导，但导函数在 x=0 处不连续，下面证明 因为 f(0)= =0， 当 x0时，f(x)= 所以当 x0 时，f(x)不存在，所以 f(x)在x=0 处不连续； 仅 D 正确，当 n3 时，f(x)= =0 当x0 时，f(x)= ，此时有 f(x)f(0)=0 x0 所以导函数 f(x)在 x=0 处连续6 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，y，所以 x=0 为垂直渐近线，当 x时，y ，所以 y= 为水平渐近线，当 x1 或 x2
11、 时，y ，所以在 x=1，x=2 处无渐近线7 【正确答案】 C【试题解析】 因 f(x)=(x2)(x 1)xx+1 x1，可知函数在x=0，x=1 处不可导，而在 x=1 处函数可导，原因是函数 g(x)=(x1)x1在x=1 处左、右导数存在且相等，即 g(1)=08 【正确答案】 A【试题解析】 连续为条件，积分存在为结论，显然由 abf(x)dx 存在 连续，肯定不是必要条件，但9 【正确答案】 A【试题解析】 令 t=x=u， dt=du，t=0，u=x，t=x ，u=0 所以 f(x)=sin(x)(1)=sinx 10 【正确答案】 B【试题解析】 为求 (0)，先判断 (x
12、)在 x=0 处连续，考虑= f(0)=0=(0)，所以 (x)在 x=0 处连续，而11 【正确答案】 D【试题解析】 因为a+b 2=(a+b)2=a2+b2+2a.b=1+ =5 所以a+b=12 【正确答案】 A【试题解析】 该曲面可看做由双曲线 绕 z 轴旋转而成13 【正确答案】 A【试题解析】 14 【正确答案】 B【试题解析】 15 【正确答案】 A【试题解析】 16 【正确答案】 A【试题解析】 令 F(x，y， z)=xy+yz+zx1，则曲面上任一点处的切平面的法向量为： n=F x， Fy，F z=y+z ，x+z，y+x 于是点 P(1，2，3)处的切平面的法向量为：
13、n 1=5，2，1 故切平面方程为：5(x1)2(y+2) (z+3)=0 即 5x+2y+z+2=017 【正确答案】 C【试题解析】 观察被积函数先积谁都一样，再看积分区域 D，应先积 x，否则，会出现根号18 【正确答案】 C【试题解析】 用极坐标19 【正确答案】 C【试题解析】 因为 当沿 y=x3 从 O 到 A 时，y=3x 2 这时ds= 当沿 y=x 从 O 到 A 时，y=1，这时 ds= 所以20 【正确答案】 C【试题解析】 L=OA+AB=012x2dx+12(x2+(2x) 2(x 2(2x) 2dx=21 【正确答案】 B【试题解析】 22 【正确答案】 A【试题
14、解析】 由幂级数的系数可得其收敛半径为 1，所以其收敛域为a1，a+1 ，因为 2a1，a+1)，即 a12，2a+1，所以 1a323 【正确答案】 C【试题解析】 由已知条件知，幂级数的收敛半径为 2，且在端点处收敛，所以级数收敛域为2，2 ，即2t2，令 t=x2，则 ，所以幂级数的收敛域为24 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=f(x).2，即 y=2y，所以 y=Ce2x，当 x=0 时，y=ln2，所以C=ln2，所以 f(x)=e2xln225 【正确答案】 B【试题解析】 因为与方程对应的齐次方程 y+y=0 的通解为 Y=C1+C2ex ，由于齐次方程中不含有 ex，且
15、原方程缺函数 y，于是特解应设为： y *=(Ax2+Bx+C).x.ex26 【正确答案】 C【试题解析】 (其中当 x1 时，lnx x1) 27 【正确答案】 A【试题解析】 28 【正确答案】 B【试题解析】 微分方程变形(xy)=1，所以 xy=x+C，即 y=1+ ，所以通解为y=x+C1lnx+C 229 【正确答案】 B【试题解析】 30 【正确答案】 D【试题解析】 被积函数 x2f(x)f(x)是奇函数，故 a ax2f(x)f( x)dx=0 二、填空题31 【正确答案】 -1【试题解析】 因 f(x)为奇函数，有 f(2)=f(2)=1；又 f(x)连续， 故=f(2)
16、=1故填132 【正确答案】 e 3【试题解析】 =e3故填 e333 【正确答案】 2【试题解析】 因 y1+e，故由导数的几何意义知，点 (0，1)处的切线斜率 k=f(0)=2，故填 234 【正确答案】 2【试题解析】 因 f(x)= ，x 0，3，故罗尔定理的结论为： f()=0，于是，求解，得：=2，=3(舍去)，故填 235 【正确答案】 【试题解析】 因 f(x)=12sinx，令 f(x)=0，得驻点：x= ；又；于是通过比较知，f(x)在上最大值 M=36 【正确答案】 (1，1)【试题解析】 因 y=3x26x+2，y=6x 6，令 y=0 得：x1，又x1，y0；x1
17、时，y0，故曲线的拐点为(1，1)37 【正确答案】 0【试题解析】 因 f(x)= +cos2x， 于是 f(n)(x)=， 故 f(27)()=0，即填 038 【正确答案】 【试题解析】 39 【正确答案】 0【试题解析】 因 12sin2xdx 是定积分，是一常数，故 12sin2xdx=040 【正确答案】 0【试题解析】 41 【正确答案】 y 2+z2=5x【试题解析】 由旋转曲面的方程特征知，所求曲面的方程为：y 2+z2=5x42 【正确答案】 【试题解析】 方程可化为：e x+y+xyze z=0，于是，令 F(x，y，z)=e x+y+xyze z，有：43 【正确答案】
18、 1，1【试题解析】 因 an= ，于是 p= =1，故幂级数的收敛半径 R=1，进而知收敛区间为：(1，1)；又 x=1 时，幂级数皆收敛，故幂级数的收敛区域为1，1 44 【正确答案】 ，x2【试题解析】 因 ，x245 【正确答案】 y+y2y=0【试题解析】 因方程的通解为 y=C1ex+C2e2x 所以，方程有特征根：r 1=1，r 2=2 于是特征方程为：r 2+r2=0 故，相应的微分方程为：y+y2y=0三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 47 【正确答案】 方程两端 y 对 x 求导有 即xy y=x+yy，所以 y=48 【正确答案】 令 =t，x=t
19、 2，dx=2tdt，x=0，t=0；x+，t+ 所以0+ dx=20+tet dt=2 0+tdet =2te t 0+20+e49 【正确答案】 因 z=exysin(x+y)，于是 dz=de xysin(x+y)=d(exy).sin(x+y)+eexydsin(x+y) =exy.(ydx+xdy).sin(x+y)+exy.cos(x+y)(dx+dy) =exyysin(x+y)+cos(x+y)dx+xsin(x+y)+cos(x+y)dy 50 【正确答案】 积分区域如图所示 由被积表达式知，该题必须先积 y，于是：51 【正确答案】 积分路径 C 如图所示52 【正确答案】
20、 53 【正确答案】 变量分离 +exdx=0 积分得 +ex=C，当 x=0，y=1，所以 C=1 所以原方程的解为四、综合题54 【正确答案】 联立方程 得交点(1，1)，由对称性所求面积为 S=所求体积 V=201x2dy=201ydy=(立方单位)55 【正确答案】 因 由曲线积分与路径无关，所以有 ，即 y+2y+y=ex 先求对应齐次方程 y+2y+y=0 的通解 因特征方程为：r 2+2r+1=0 所以 r=1 为二重根， 所以齐次方程的通解为Y=ex (C1x+C2) 设 y*=2Ax2ex 为方程 y+2y+y=e x 的特解 则 y*=2五、证明题56 【正确答案】 记 f(x)=arctanx+ 0，所以 f(x)单调递减又 =0，所以 f(x)0故当 x0 时， arctanx+
