1、陕西专升本（高等数学）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 如果函数 f(x)的定义域为1 ，2，则函数 f(1 一 lnx)的定义域为( )?（A）1 ，-ln2（B） 0，1（C） 1，e（D）2 =( )(a0)（A）e（B） eab（C） eb（D）e ab+c3 =( )（A）1（B）一 1（C） 0（D）不存在4 将二重积分 化为二次积分，其中 D 为 axb,cyd，则下列式子正确的是( )（A） aydycdx2y2dy （B） abdycxx2y2dy（C） cxdyayx2y2dx （D） cdy2dyabx2dx5 幂级数
2、 的收敛域是( )（A）(一 9，9)（B） (一 3，3)（C） (一 2，4)（D）(一 2，4二、填空题6 已知极限 ，则常数 a 等于_7 设 f(x0)存在，则极限 等于_8 曲面 ex+y+x2+y2 一 z2=0 在(0，O，1)处的切平面方程是_9 =_.10 设积分区域 D=(x,y)0yx，x 2+y22x，则二重积分 等于_.三、综合题11 设 问 k 为何值时，函数 k(x)在定义域内连续12 已知当 x时，f(x)与 为等价无穷小，求 13 求函数 f(x，y，z)=x 2yz3 的梯度 gradf(x，y，z)及其在点(2，一 1，1)处方向导数的最大值14 设 z
3、=f(yex，xy 2)，其中 f 具有二阶连续导数，求 .15 求曲线 的凹凸区间与拐点16 求由方程 所确定的隐函数 z=z(x，y)的全微分17 计算 ，其中区域 D=(x，y)1x 2+y24，x0，y0)18 计算曲线积分 其中 f(s)在(一 ，+)内有连续的导数，l 为从点 到 B(1，2)的直线段19 将函数 展开为 x 的幂级数，并写出收敛区间20 求微分方程 y+2y一 3y=e2x 的通解四、证明题21 在抛物线 y=x2(0x1)上求一点(a ，a 2)，过此点分别作平行于 y 轴和 x 轴的直线x=a，y=a 2，设抛物线 y=x2 与直线 x=a 和 x 轴所围成的
4、平面图形的面积为 S1，抛物线 y=x2 与直线 y=a2 和 x=1 所围成的平面图形的面积为 S2(如图所示)试求 a 为何值时，S 1+S2 为最小22 证明：当 x0 时，陕西专升本（高等数学）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 11 一 lnx2，得 一 2lnx 一 1一 1 即一 1lnx0，故 ，应选择 D。2 【正确答案】 B【试题解析】 当 x一时，此极限为(1 )型未定式，且与第二个重要极限结构相似，故应利用第二个重要极限计算出结论后再作选择，因为所以应选择 B.3 【正确答案】 A【试题
5、解析】 所以应选择 A.4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 D：axb，cyd 为矩形域，所以或 Dx2y2dxdy=cdy2dyabx2dx 故应选择 D.5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 所以，原级数的收敛区间是x 一 13，即一 2x4，且当 x=一 2 时级数亦发散。故原级数的收敛域是(一 2，4)二、填空题6 【正确答案】 ln3【试题解析】 7 【正确答案】 3f(x 0)【试题解析】 8 【正确答案】 x+y 一 2z=一 2【试题解析】 F(x)=e x+y+x2+y2 一 z2，F x=ex+y+2x，F y=ex+y+2y，F z=一 2z；F x (0,0,1)
6、=1， Fy (0,0,1)=1，F z (0,0,1)=一 2 切面方程：1.(x 一 0)+1.(y 一 0)一 2(z 一 1)=0即x+y 一 2z+2=09 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 三、综合题11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 gradf(x ，y，z)=2xyz 3，x 2z3，3x 2yz2gradf(2，一 1，1)=一4，4，一 1214 【正确答案】 令 yex 为第 1 变量，xy 2 为第 2 变量15 【正确答案】 由上表可见，在区间(一，一 1)和(0，1)内，曲线上凹，在区间(一 1，0)和(1，+)内
7、，曲线下凹，点(0，0) 为拐点16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 这是一个单调连通区域，故积分与路径无关，选择从 A 到 B 的任一条位于 z 轴上方的曲线作为积分路径，选择积分路径为折线 ACB，其中 ，注意到19 【正确答案】 20 【正确答案】 该方程的特征方程为 r2+2r 一 3=0，特征根为 r=1，一 3因此该方程对应的齐次方程 y+2y一 3y=0 的通解为 y=C 1ex+C2e-3x设所给方程的一个特解为 y *=ae2x，将其代入原方程有 4ae2x+4ae2x 一 3ae2x=e2x 则于是原方程的通解为： 四、证明题21 【正确答案】 22 【正确答案】
