1、7.1 二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题,-2-,知识梳理,考点自诊,1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 .我们把直线画成虚线以表示区域 边界直线.当我们在平面直角坐标系中画不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时,此区域应 边界直线,则把边界直线画成 . (2)因为把直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都 ,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的 即可判断Ax+By+C0表示的是直线Ax+By
2、+C=0哪一侧的平面区域. (3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.,平面区域,不包括,包括,实线,相同,符号,-3-,知识梳理,考点自诊,2.线性规划的相关概念,线性约束条件,可行解,最大值 最小值,最大值,最小值,-4-,知识梳理,考点自诊,1.二元一次不等式表示的平面区域,2.点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)位于直线Ax+By+C=0的两侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0.,-5-,知识梳理,考点自诊,-6-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)不等式x-y-1
3、0表示的平面区域一定在直线x-y-1=0的上方. ( ) (2)两点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0. ( ) (3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域. ( ) (4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上. ( ) (5)在目标函数z=ax+by(b0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距. ( ),-7-,知识梳理,考点自诊,C,解析:用特殊点代入,比如(0,0),容易判断为C.,-8-,知识梳理,考点自诊,D,解析:画出可行域如图所示,可知当目标函数z=3x+y
4、经过点A(4,0)时z取到最大值,最大值zmax=34+0=12.故选D.,-9-,知识梳理,考点自诊,A,解析:由题知可行域如图所示,-10-,知识梳理,考点自诊,1,解析:作可行域如图阴影部分所示,A(0,1),z=x2+y2表示可行域内点P到坐标原点距离的平方,由图可得z=x2+y2最小值为OA2=1.,-11-,考点1,考点2,考点3,二元一次不等式(组)表示的平面区域,B,m2,-12-,考点1,考点2,考点3,-13-,考点1,考点2,考点3,易知直线x=1与x-2y+1=0的交点坐标为A(1,1), 不等式组所表示的平面区域形状为三角形, 则点A位于直线x+y=m下方, 据此有1
5、+12.,-14-,考点1,考点2,考点3,思考确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是什么?求平面区域的面积的技巧是什么? 思路分析(1)先作可行域,再根据三角形面积公式求结果.(2)首先确定 所表示的平面区域,然后结合点与直线的位置关系整理计算即可求得最终结果.,-15-,考点1,考点2,考点3,解题心得(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法: “直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组).若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就表示直线与特殊点异侧的那部分区域.当不等式中带等号时,边界画为实线,不带等号
6、时,边界应画为虚线,特殊点常取原点. 也常利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:对于Ax+By+C0或Ax+By+C0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;()当B(Ax+By+C)0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.,-16-,考点1,考点2,考点3,(2)求平面区域的面积的方法: 首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域; 对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高;若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解;若为不规则四边形,则可分割成几个三角形分别求解再求和. 利用几何意义求
7、解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解.,-17-,考点1,考点2,考点3,C,A,-18-,考点1,考点2,考点3,表示的可行域有交点, 画出可行域M如图所示,-19-,考点1,考点2,考点3,求得A(2,10),C(3,8),B(1,9), 由图可知,欲满足条件必有a1且图像在过B,C两点的图像之间, 当图像过B点时,a1=9,a=9, 当图像过C点时,a3=8,a=2, 故a的取值范围是2,9,故选C. (2)由于x=1与x+y-4=0不可能垂直,所以只可能x+y-4=0与kx-y=0垂直或x=1与kx-y=0垂直. 当x+y-4=0与kx-y=0垂直时,k=1,检
8、验知三角形区域面积为1,即符合要求. 当x=1与kx-y=0垂直时,k=0,检验不符合要求.故选A.,-20-,考点1,考点2,考点3,求目标函数的最值问题(多考向) 考向1 求线性目标函数的最值,6,-21-,考点1,考点2,考点3,思考求线性目标函数的最值的注意事项是什么?,-22-,考点1,考点2,考点3,考向2 求非线性目标函数的最值,C,C,-23-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)画出不等式表示的可行域,如图阴影三角形所示,由题意得A(2,2),B(2,-4).,-24-,考点1,考点2,考点3,-25-,考点1,考点2,考点3,思考如何利用可行域求非线性目标函数最值?,-2
9、6-,考点1,考点2,考点3,考向3 求参数值或取值范围,B,B,-27-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)由z=ax+y得y=-ax+z,如图,作出不等式组对应的平面区域(阴影部分),则A(1,1),B(2,4).由题意和图可知,直线z=ax+y过点B时, 取得最大值为2a+4,过点A时,取得最小值为a+1, 若a=0,则y=z,此时满足条件, 若a0,k=-a0,则目标函数的斜率满足-akAC=2,即-2a0. 综上,-2a1.,-28-,考点1,考点2,考点3,-29-,考点1,考点2,考点3,思考如何利用可行域及最优解求参数及其取值范围? 思路分析(1)作出可行域,利用目标函数的
10、几何意义求得最值所在位置,转动直线讨论斜率-a适合的情况.(2)首先绘制出可行域,然后结合目标函数的几何意义得到关于m的方程,解方程即可求得实数m的值.,-30-,考点1,考点2,考点3,考向4 最优解不唯一的条件下求参数的值,-1或2,解析:目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,则当l0AB或l0AC时符合题意,故a=-1或a=2.,-31-,考点1,考点2,考点3,思考最优解有无数多个时,目标函数有什么特点? 思路分析由于线性目标函数z=y-ax的最优解有无数多个,则取最优解的直线与边界重合. 解题心得1.利用可行域求线性目标函数最值的方法:利用约束条件作出可
11、行域,根据目标函数找到最优解时的点,解得点的坐标代入求解即可. 2.利用可行域及最优解求参数及其范围的方法:(1)若限制条件中含参数,依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来,寻求最优解,确定参数的值;(2)若线性目标函数中含有参数,可对线性目标函数的斜率分类讨论,以此来确定线性目标函数经过哪个顶点取得最值,从而求出参数的值;也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应的参数的值,然后进行检验,找出符合题意的参数值.,-32-,考点1,考点2,考点3,3.利用可行域求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得最值. 4.需要注意的是
12、:(1)准确无误地作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;(3)一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得;(4)注意b的正负对最优解所在位置的影响.,-33-,考点1,考点2,考点3,B,B,-34-,考点1,考点2,考点3,A,D,-35-,考点1,考点2,考点3,C,-36-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)不等式组对应的可行域如图所示:因为z=2x+y,所以y=-2x+z, 所以当直线y=-2x+z经过点A(1,4)时,直线的纵截距z最小, 所以z的最小值为21+4=6
13、.故选B.,-37-,考点1,考点2,考点3,-38-,考点1,考点2,考点3,(3)作出不等式组对应的平面区域,x2+(y-3)2的几何意义是区域内的点到点D(0,3)的距离的平方,-39-,考点1,考点2,考点3,-40-,考点1,考点2,考点3,-41-,考点1,考点2,考点3,-42-,考点1,考点2,考点3,线性规划的实际应用 例6(2016全国1,文16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产
14、一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.,216 000,-43-,考点1,考点2,考点3,解析:设生产产品A x件,生产产品B y件,目标函数z=2 100x+900y,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示),-44-,考点1,考点2,考点3,-45-,考点1,考点2,考点3,思考利用线性规划解决实际应用问题的步骤是什么?其注意事项是什么? 解题心得1.利用线性规划求解实际问题的一般步骤 (1)认真分析并掌握实际问题的背景,收集有关数据; (2)将影响该问题的各项主
15、要因素作为决策量,设未知量; (3)根据问题的特点,写出约束条件; (4)根据问题的特点,写出目标函数,并求出最优解或其他要求的解. 2.求解线性规划应用题的三个注意点 (1)明确问题中的所有约束条件,并根据题意判断约束条件是否能够取到等号. (2)注意结合实际问题的实际意义,判断所设未知数x,y的取值范围,特别注意分析x,y是否是整数、是否是非负数等. (3)正确地写出目标函数,一般地,目标函数是等式的形式.,-46-,考点1,考点2,考点3,对点训练3某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/
16、辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为( ) A.31 200元 B.36 000元 C.36 800元 D.38 400元,C,-47-,考点1,考点2,考点3,-48-,考点1,考点2,考点3,1.点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)位于直线Ax+By+C=0的两侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0.,-49-,考点1,考点2,考点3,3.线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略: (1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,因此对于一般的线性规划问题,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将
17、坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值. (2)由目标函数的最值求参数.求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参数的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数的值.,-50-,考点1,考点2,考点3,-51-,思想方法转化与化归思想在线性规划中的应用 转化与化归思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知
18、向已知转化的.化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现. 转化有等价转化和非等价转化.等价转化前后是充要条件,所以尽可能使转化具有等价性;在不得已的情况下,进行不等价转化,应附加限制条件,以保持等价性,或对所得结论进行必要的验证.,-52-,思路分析作出可行域对f(x,y)变形,转化为与斜率有关的式子数形结合,求得f(x,y)的取值范围,-53-,解析:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,-54-,思路分析,答案:21,-55-,解析:一作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.,-56-,解析:二由图可知,阴影区域内的点都在直线x+2y-4=0的上方,显然此时有x+2y-40,于是目标函数等价于z=x+2y-4,即转化为简单的线性规划问题,显然当直线经过点B时,目标函数取得最大值,zmax=21.,-57-,
