1、11.2 应用举例1解三角形应用题的基本思想解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为_问题2运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤（1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形） ；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；（4）检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解3三角形面积公式（1）三角形的高的公式： hA=bsinC=c
2、sinB， hB=csinA=asinC， hC=asinB=bsinA（2）三角形的面积公式： S= 21absinC， S=_， S=_K 知识参考答案：1解三角形3 2bcsinA 21casinBK重点从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解三角形，得到实际问题的解；利用三角形的面积公式解决与面积有关的问题K难点测量距离、高度、角度问题中数学模型的建立，利用正弦定理、余弦定理求证简单的证明题K易错 解题时应由题意准确画出示意图，容易忽略图形的多种画法从而导致错误2测量距离问题当 AB的长度不可直接测量时，求 A， B之间的距离有以下三种类型（1）如图 1， A， B 之间不可达也
3、不可视计算方法：测量 C， 及角 ，由余弦定理可得 AB2cos（2）如图 2， B， C 与点 A 可视但不可达计算方法：测量 ，角 ，角 C，则 ABC，由正弦定理可得sinA（3）如图 3， C， D 与点 A， B 均可视不可达，计算方法：测量 ,DBA ，在 CD 中由正弦定理求A，在 B 中由正弦定理求 C，在 中由余弦定理求 B图 1 图 2 图 3如下图，为了测量河对岸 A， B 两点间的距离，在河的这边测得CD= 2km， ADB= CDB=30， ACD=60， ACB=45，则 A， B 两点间的距离为_km3【答案】64【解析】因为 ADC= ADB+ CDB=60，
4、ACD=60，所以 DAC=60， AC=DC=32，因为在 BCD 中， DBC=45，所以 sin30i45BCD，所以 BC=64在 A 中，由余弦定理得 AB2=AC2+BC22 ACBCcos45=3624848，所以 AB= ，所以 A， B 两点间的距离为64km【名师点睛】在解含有两个或两个以上的三角形的问题时，首先应根据条件应用正、余弦定理或三角形内角和定理在一个三角形中求解边和角，然后在此基础上求解另一个三角形，依此类推首选哪一个三角形至关重要，原则是首选的三角形应与其他三角形有一定联系，且方便求解测量高度问题当 AB的高度不可直接测量时，求 A， B之间的距离有以下三种类
5、型（1）如图 1，底部可达计算方法：测量 C及角 ，则 tanC（2）如图 2，底部不可达，但点 与 ， D共线计算方法：测量 D，角 ， AB ，由正弦定理求 A或 D，再解直角三角形求 AB（3）如图 3，底部不可达，且点 与 C， 不共线计算方法：测量 , ，在 BC 中由正弦定理求 BC，再解直角三角形求 4图 1 图 2图 3如下图，在地平面上有一旗杆 OP，为了测量它的高度 h，在地面上选一基线AB，测得 AB=20 m，在 A 点处测得 P 点的仰角 OAP=30，在 B 点处测得 P 点的仰角 OBP=45，又测得 AOB=60，则旗杆的高度 h_ m （结果保留整数）【答案】
6、13【解析】因为在 Rt AOP 中， OAP=30， OP=h，所以 OA=3tan0OPh在 Rt B 中， OBP=45，所以 OB= tan45Ph在 中， AB=20， AOB=60，由余弦定理得 AB2=OA2+OB22 OAOBcos60，即 202=(3)h2+h22 3hh 21，解得 h2= 340176.4，所以 h 13故旗杆的高度约为 13 m【名师点睛】高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问5题常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三
7、角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度测量角度问题测量角度问题主要涉及海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念如图，某船在 A 处看灯塔 S 在北偏东 30方向，它以每小时 30 海里的速度向正北方向航行，经过 40 分钟航行到 B 处，看灯塔 S 在北偏东 75方向，则此时该船到灯塔S 的距离约为_海里（精确到 0.01 海里）【答案】 14.【解析】由题图可知，在 ABS 中， ABS=18075=105， BAS=30，所以 ASB=45， AB=3040
8、6=20(海里)，由正弦定理，得 sin30i45BSA，故 BS=sin31245.AB，故该船到灯塔 S 的距离约为 1.海里【名师点睛】解决此类问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量解题时应认真审题，结合图形去选择正、余弦定理，这是最重要的一步三角形的面积计算问题在求三角形的面积时，若存在三角形边长平方和的情况，一般联想到用余弦定理解决；若6存在边长乘积时，一般联想到用公式 S= 21absinC= bcsinA= 21casinB 解决在 ABC 中，角 A， B， C 对应的三边分别是 a， b， c，已知 a=2 3，
9、b=2，的面积 S= 3，则 cA 2 B 7C 7 D 2或【答案】D【解析】由 S=12absinC= 2 32sinC= 得 sinC=12，所以 C=30或 150当 C=30时，由余弦定理得 c2=a2+b22 abcosC=(2 3)2+2222 32cos30=4，所以 c=2当 C=150时，由余弦定理得 c2=a2+b22 abcosC=(2 )2+2222 2cos150=28，所以 c2 7综上， 或 故选 D【名师点睛】在解三角形面积的问题中，要注意三角形面积公式与余弦定理的结合三角形中边角关系恒等式的证明在 ABC 中，求证： CBAcba22sin【答案】证明见解析
10、【解析】根据正弦定理，可设kcBbAasinisin，显然 k 0，所以，左边= CBACkcba2222 ii=右边，所以 22sin【名师点睛】有关三角形的证明问题，主要涉及三角形的边和角的三角函数关系从某种意义上看，这类问题就是有目标地对含边和角的式子进行化简的问题，所以解题思路与判7断三角形的形状类似：将边化为角或者将角化为边1已知 A， B 两地的距离为 5km， B， C 两地的距离为 10km，经测量可知，20C，则 A， C 两地的距离为A5km B 5kmC 75km D 7km2如图，设 ， B两点在河的两岸，一测量者在 A的同侧，在所在的河岸边选定的一点，测出 A的距离为
11、 502m， 45CB， 105后，就可以计算出 A，两点的距离为A 10mB 503mC 2 D 23某人向正东方向走了 xkm 后向右转了 150，然后沿新方向走了 3km，结果离出发点恰好为 km，那么 x 的值为A B2 3C3 D2 或4如图，一艘轮船以每小时 60 海里的速度自 A 沿南偏东 5的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，轮船在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 65，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 70，那么 B， C 间的距离是8A 152海里 B 153海里C 30海里 D 02海里5若锐角三角形 B的面积为 63，且 4A， 6C，则
12、A 4 B 5C 26 D 276如图，巡航艇在海上以 60km/h的速度沿南偏东 40的方向航行为了确定巡航艇的位置，巡航艇在 B 处观测灯塔 A，其方向是南偏东 7，航行1h2到达 C 处，观测灯塔A 的方向是北偏东 65，则巡航艇到达 C 处时，与灯塔 A 的距离是A 10kmB 102kmC 5 D 57一架直升飞机在 600m 的高空中，测得地面上一座塔的塔顶与塔底的俯角分别是 30和60，则塔高为A 4mB 40mC 23 D 28一艘客船上午 9:30 在 A 处，测得灯塔 S 在它的北偏东 30，之后它以每小时 32 海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午 10:00 到达 B
13、 处，此时测得船与灯塔 S 相距 892海里，则灯塔 S 在 B 处的A北偏东 75 B北偏东 75或东偏南75C东偏南 75 D以上方位都不对9在 B 中，若 60,43ABCAbS ，则 a_10江岸边有一炮台高 3m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为 5和 ，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距_ 11甲船在岛 B 的正南 A 处， AB=10km，甲船以每小时 4km 的速度向正北航行，同时，乙船自 B 出发以每小时 6km 的速度向北偏东 60的方向驶去当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是_h 12如图所示，在山顶上有一座塔，
14、在山底测得塔顶的仰角 CAB45，沿倾斜角为30的斜坡走 1000 米至 S 点，又测得塔顶的仰角 DSB75，则塔高BD_米13在 ABC 中，角 ， ， C所对的边分别为 a， b， c，且2()13abc（1）求角 ；（2）若 3,2cb，求 B及 A 的面积1014在 ABC 中，角 ， ， C所对的边分别为 ,abc，且 8c（1）若 2a， 3b，求 cos的值；（2）若2sincoininAB，且 ABC 的面积9sin2SC，求 a和b的值15已知 ABC 的周长为 20，面积为 10 3， A60，则 BC 的长等于A5 B6C7 D81116如图所示， C、 D、 A 三点
15、在同一水平线上， AB 是塔的中轴线，在 C、 D 两处用测角仪测得塔顶部 B 处的仰角分别是 和 ，如果 C、 D 间的距离是 a，测角仪高为 b，则塔高为Asin()aBcos()aCcos()bD ins()b17在 B 中，角 A， ， C的对边分别为 a， b， c，若 2isiAC，3cos5，且 6BS ，则 bA2 B3C4 D518两船同时从 港出发，甲船以每小时 20 海里的速度向北偏东 80的方向航行，乙船以每小时 12 海里的速度向北偏西 40方向航行，一小时后两船相距 _海里19如图，海中有一小岛 B，周围 3.8 海里内有暗礁一军舰从 A 地出发由西向东航行，望见小
16、岛 B 在北偏东 75，航行 8 海里到达 C 处，望见小岛 B 在北偏东 60若此舰不改变航行的方向继续前进，则此舰_触礁的危险 （填“有”或“没有” ）20已知锐角三角形 ABC的内角 ， ， C的对边分别为 a， b， c，若 1a，21bc，则 面积的取值范围是_21在 中， D为边 上一点， 6AD， 3B， 2C12图 1 图 2（1）如图 1，若 ADBC，求 A的大小；（2）如图 2，若 4，求 的面积22如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 18 海里，渔船乙以 15 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处
17、出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2h 追上，此时到达 C 处（1）求渔船甲的速度；（2）求 sin的值131423某港口 O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的 北偏西 30且与该港口相距 20海里的 A处，并正以 30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以 v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t小时与轮船相遇（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）为保证小艇在 30分钟内（含 30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；（3）是否存在 v，使得小艇以 v海里/小时的航行速度行驶，
18、总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 的取值范围；若不存在，请说明理由24在 ABC 中，角 ， ， C的对边分别为 a， b， c，已知(2)cos0ba（1）求角 的大小；（2）若 ，求 ABC 的面积 S的最大值1525 （2018 新课标全国文理） ABC 的内角 ， ， C的对边分别为 a， b， c，若ABC的面积为224abc，则 A2B3C 4 D 626 （2018 新课标全国文） ABC 的内角 ， ， C的对边分别为 a， b， c，已知sinibcsina， 228bca，则 AB 的面积为_27 （2018 北京文）若 ABC 的面积为223()4cb，
19、且 C为钝角，则B_；ca的取值范围是_ 28 （2017 浙江）已知 ABC， AB=AC=4， BC=2 点 D 为 AB 延长线上一点， BD=2，连结CD，则 BDC 的面积是_，cos BDC=_29 （2017 新课标全国理） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知ABC的面积为23sina（1）求 sin Bsin C；（2）若 6cos Bcos C=1， a=3，求 ABC 的周长1630 （2017 新课标全国理） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知2sin()8sinAC（1）求 co；（2）若 6a， AB 的
20、面积为 2，求 b171 【答案】D【解析】在 ABC 中， AB=5km， BC=10km， 120ABC，根据余弦定理得，22510o5cs12057km故选 D2 【答案】A【解析】在 ABC 中， 4， 10CAB，所以 =30ABC，又502m，所以由正弦定理，可得 5022sinsin41010(m)si i3AB故选 A3 【答案】D【解析】如图，若设出发点为 A， AB=x，则有 AC2=AB2+BC22 ABBCcos30，即()2=x2+322 x3cos30，解得 x=2 3或 故选 D4 【答案】A【解析】易知在 ABC 中， =30海里，=30571,45CACB，根
21、据正弦定理得 sini4，解得 2（海里） 故选 A6 【答案】D18【解析】在 ABC 中，1=603(km)2， oo=7043ABC，=40651，则 85，由正弦定理，可得12(km)故选 D7 【答案】A【解析】如下图所示，在 RtAC 中，可得tan30CDA，3tan30620CDABE，在 中，由正弦定理，可得oo=siiBEB，所以 602D40(m)故选 A9 【答案】 419【解析】1sin4sin60432ABCSbcc，解得 4c 4bc，又 60，所以 为等边三角形，所以 a10 【答案】 13【解析】如图， O， A 分别为炮台底部和顶部， M， N 为两艘船，假
22、设由炮台顶部测得 M船的俯角为 60，测得 N 船的俯角为 45，可求得 30OAm，31Mm，又 30，所以可根据余弦定理求得0()N故两条船相距 111 【答案】514【解析】根据题意画出示意图，如图，假设 th 后甲船行驶到 D 处，乙船行驶到 C 处，此时两船相距最近，则 DBC=120， BC=6t， BD=104 t在 B 中，由余弦定理，得 CD2=BD2+BC22 BDBCcos DBC=(104 t)2+36t22(104 t)6tcos120=28t220 t+100，所以当 t=51，即航行时间为51h 时， CD2最小，即甲、乙两船相距最近2012 【答案】500【解析
23、】 SAB CAB CAS453015， SBA ABC SBC451530，在 ABS 中， sin15i30AS，sin150(62)3SB(米) BD BSsin7562()4(米)故塔高 BD 为 500 米13 【答案】 （1）23C；（2）B，3ABCS【解析】 （1）由已知条件化简可得2()abcab，即 22cab，由余弦定理的推论，可得1cos，(0,)3C（2）23,3cbC， 由正弦定理可得sin2ibBc，又,4B，在 AC 中， 21362sini()sincosin()4BCB163i2324ABCSbc14 【答案】 （1） 3；（2） ab【解析】 （1）因为
24、8c， 2， 3b，所以 8()3cab，由余弦定理可得221osCa2115 【答案】C【解析】设角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，由题意得 20abc ，1sin60132bc，由得 20， 4，所以222()(0)34acbca，解得 7a故选 C16 【答案】D【解析】在 1BCD 中，11sinsinBDC，即1sin()siBD，即1sin()a，在 1A 中，11iiA，即11iin90A，即11sini()AB，故塔高为sni()ab故选 D18 【答案】28【解析】如图，在 ABC 中， 20140812ACB， ， ，由余弦定理得2201cos7， C（海里
25、） 故一小时后两船相距 28 海里2219 【答案】没有【解析】过点 B 作 BD AE 交 AE 于 D，由已知， AC=8， ABD=75， CBD=60，在 Rt AD 中， AD=BDtan ABD=BDtan75，在 Rt C 中， CD=BDtan CBD=BDtan60，所以 AD CD=BD（tan75tan60）= AC=8，所以88tan75t60tan(4530)B43.8，所以该军舰没有触礁的危险20 【答案】3(,64【解析】因为 1a， 21bc，所以2221cosbcabcA，故 3A，由正弦定理的变形可得4in3BC，即442sinsin()si(cos2bcB
26、C121i)i()363，由B可得 6，从而得56，故sin(2)，故13bc，(,464ABCSbc，故选 A2321 【答案】 （1） 4；（2）37【解析】 （1）设 BAD， C因为 C， 6， 3， 2，所以1tan2，ta3，所以tanttanta11)(BA，又 (,)0BAC，所以4（2）设 BAD 在 B 中， 4A， 6D， 3B，由正弦定理可得sini4，解得2si因为 ADB，所以 为锐角，从而14co因此7sinsisinsin4()C，故 AD 的面积113i62242SADC22 【答案】 （1）21 海里/小时；（2）34【解析】 （1）依题意得， 120BA，
27、 18B， 5230AC，BCA在 中由余弦定理可得22cos1764CB，所以 42，所以渔船甲的速度为1B海里/小时（2）在 AB 中， 18， 20A， BC=42， BCA，24由正弦定理，得 sini120ABC，所以318sin20si 4ABC23 【答案】 （1） 30海里/小时；（2） 3海里/小时；（3）存在， v的取值范围为(5,)【解析】 （1）设相遇时小艇的航行距离为 S海里，则由余弦定理，可得2904302cos(930)Stt261(),3t故当13t时， min0S，此时 0v，即小艇以 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小（2）如图，设小艇与轮船在
28、处相遇，由题意可知22()0(3)03cos(930)vttt，化简得2 246194()675tt，由于10t，所以2t，所以当2t时， v取得最小值 103，即小艇航行速度的最小值为 103海里/小时2524 【答案】 （1）3；（2） 【解析】 （1）因为 ()cos0bAaC，即 2coscos0bAaC，所以由正弦定理可得 inicsin0B，即 2sincos()BA，又 C，所以 isiC，所以 si(2co1)BA，又 sin0B，所以 2cos10A，即1coA，又 0，所以3（2）因为3，所以由余弦定理可得 222cosabAbc，因为 a，所以 24bc，即 4c，因为
29、2c 所以 2，即 ，当且仅当 2c时等号成立，所以13sin43SbAc，所以 ABC 的面积 S的最大值为 325 【答案】C【解析】由题可知221sin24ABCabcSb，所以 22sinabcaC，由余弦定理可得 2coa，所以 sinoC，因为 (0,)，所以 4C，故选 C2626 【答案】23【解析】根据题意，结合正弦定理可得 sinsin4siinBCABC，即1sin2A，结合余弦定理可得 2co8bA，所以 为锐角，且3co2，所以83bc，所以 BC 的面积131sin2S27 【答案】 60(2,)【解析】因为2231)sin4ABCSacbacB，所以22sin3a
30、cbB，即sinco3，所以sio，则 3，则231i()cs()ini 12snsita2AaA A，因为 C为钝角，3B，所以06，所以3ta(0,)，(3,)t，故(2,)ca29 【答案】 （1）23；（2） 3【解析】 （1）由题设得21siniacBA，即1sin3iacBA由正弦定理得si23siC，故2iC27（2）由题设及（1）得1cossin2BC，即1cos()2BC所以3BC，故A由题设得i3sinabcA，即 8b由余弦定理得 29bc，即2()9，得 3c故 A 的周长为 30 【答案】 （1）57；（2） 【解析】 （1）由题设及 ABC，可得2sin8iB，故sin4(cos)B上式两边同时平方，整理得 217cos3s150B，解得 cos1B(舍去)，15cs7（2）由oB可得8sin17，故 ABC4=sin217Sacc，又 =ABCS ，所以 2ac由余弦定理及 6得222 17cos()(1cos)362baacB5()4，所以 【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正余弦定理、三角形面积公式等知识进行求解解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角” “角转边” ，另外要注意2,ac三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐
