1、12.2.4 平面与平面平行的性质【选题明细表】 知识点、方法 题号面面平行的性质 1,2面面平行的性质的应用 4,7,8,9,10综合应用 3,5,6,11基础巩固1.下列命题中不正确的是( A )(A)两个平面 ,一条直线 a平行于平面 ,则 a一定平行于平面 (B)平面 平面 ,则 内的任意一条直线都平行于平面 (C)一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行(D)分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线解析:选项 A中直线 a可能与 平行,也可能在 内,故选项 A不正确;三角形两边必相交,这两条相交直线平行于一个平面,那么三角形所在的
2、平面与这个平面平行,所以选项 C正确;依据平面与平面平行的性质定理可知,选项 B,D也正确,故选 A.2.已知两条直线 l,m, 是两个平面,下列命题正确的是( D )(A)若 ,l,则 l(B)若 l,m,则 lm(C)若 ,l,m,则 lm(D)若 ,l,则 l解析:A,l 可能在 内,B,l 与 m可能相交、平行、异面,C,与 B一样的结论.D 正确.3.已知平面 平面 ,直线 a,直线 b,则ab;a,b 为异面直线;a,b 一定不相交;ab 或 a,b异面,其中正确的是( C )(A) (B)(C) (D)4.平面 截一个三棱锥,如果截面是梯形,那么平面 必定和这个三棱锥的( C )
3、(A)一个侧面平行(B)底面平行(C)仅一条棱平行(D)某两条相对的棱都平行解析:当平面 某一平面时,截面为三角形,故选项 A,B错.当平面 SA 时,如图截面是四边形 DEFG,又 SA平面 SAB,平面 SAB=DG,2所以 SADG,同理 SAEF,所以 DGEF,同理当 BC 时,GFDE,因为截面是梯形,所以四边形 DEFG中仅有一组对边平行,故 仅与一条棱平行.故选 C.5.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1中过 BD1的平面,分别与 AA1,CC1交于 M,N,则四边形 BND1M的形状为 . 解析:由题意知,平面 A1ABB1平面 C1CDD1,所以 MBD 1N,同理,
4、D 1MBN.所以四边形 BND1M是平行四边形.答案:平行四边形6.在棱长为 a的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M,N 分别是棱 A1B1,B1C1的中点,P 是棱 AD上一点,AP= ,过 P,M,N的平面与棱 CD交于 Q,则 PQ= . 解析:由线面平行的性质知 MNPQAC,所以 = ,又 AC= a,所以 PQ= a.23 223答案: a2237.如图所示,已知正三棱柱(底面是正三角形,侧面是矩形)ABC-A BC中,D 是 AA上的点,E 是 BC的中点,且 AE平面 DBC.试判断 D点在 AA上的位置,并给出证明.解:D 点为 AA的中点.证明如下:如图,取 BC的
5、中点 F,连接 AF,EF,3设 EF与 BC交于点 O,连接 DO,易证 AEAF,AE=AF.易知四边形 AEFA 为平行四边形.因为 AE平面 DBC,AE平面 AEFA,且平面 DBC平面 AEFA=DO,所以 AEDO.因为 ECBF,则 EC=BF,所以 EO=OF.在平行四边形 AEFA 中,因为 O是 EF的中点,所以 D点为 AA的中点.能力提升8.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 M是平面 A1B1C1D1内一点,则 BM平面 ACD1,且tanDMD 1的最大值为( D )(A) (B)1(C)2 (D)解析:如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D
6、1中,连接 A1C1,B1D1,交于点 O1,连接 BD,交 AC于点 O,连接 BO1,OD1,则 A1AC 1C,且 A1A=C1C,所以四边形 ACC1A1是平行四边形,所以 ACA 1C1.又 AC平面 ACD1,且 A1C1平面 ACD1,所以 A1C1平面 ACD1;同理 BO1D 1O,BO1平面 ACD1,所以平面 ACD1平面 BA1C1,所以当 M在直线 A1C1上时,都满足 BMACD 1;所以 tanDMD 1= = = 是最大值.111229.如图,已知平面 ,两条直线 l,m分别与平面 , 相交于点 A,B,C与 D,E,F.已知 AB=6, = ,则 AC= .
7、254解析:由题意可知 = AC= AB= 6=15. 52答案:1510.如图,平面 平面 ,A,C,B,D,点 E,F分别在线段 AB与 CD上,且 = ,求证:EF平面 .证明:(1)若直线 AB和 CD共面,因为 ,平面 ABDC与 , 分别交于 AC,BD两直线,所以 ACBD.又因为 = ,所以 EFACBD,所以 EF平面 .(2)若 AB与 CD异面,连接 BC并在 BC上取一点 G,使得 = ,则在BAC 中,EGAC,AC平面 ,所以 EG,又因为 ,所以 EG.同理可得 GFBD,而 BD.所以 GF,因为 EGGF=G,所以平面 EGF.又因为 EF平面 EGF,所以
8、EF.综合(1)(2)得 EF平面 .探究创新11.如图,已知 ,点 P是平面 , 外的一点(不在 与 之间),直线 PB,PD分别与, 相交于点 A,B和 C,D.5(1)求证:ACBD;(2)已知 PA=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,求 PD的长;(3)若点 P在 与 之间,试在(2)的条件下求 CD的长.(1)证明:因为 PBPD=P,所以直线 PB和 PD确定一个平面,记为 ,则 =AC,=BD.又 ,所以 ACBD.解:(2)由(1)得 ACBD,所以 = ,即 = .45所以 CD= (cm),所以 PD=PC+CD= (cm).(3)同(1)得 ACBD,所以PACPBD.所以 = ,即 = . 所以 = ,454所以 PD= (cm).34所以 CD=PC+PD=3+ = (cm).34
