1、1课时作业 42 直线、平面垂直的判定和性质基础达标一、选择题1直线 a平面 ， b ，则 a与 b的关系为( )A a b，且 a与 b相交B a b，且 a与 b不相交C a bD a与 b不一定垂直解析： b ， b平行于 内的某一条直线，设为 b， a ，且 b ， a b， a b，但 a与 b可能相交，也可能异面答案：C2 PA垂直于正方形 ABCD所在平面，连接 PB， PC， PD， AC， BD，则下列垂直关系正确的是( )平面 PAB平面 PBC；平面 PAB平面 PAD；平面 PAB平面 PCD；平面 PAB平面 PAC.A BC D解析：由 PA平面 ABCD， BC平
2、面 ABCD得 PA BC，又 BC AB， PA AB A，则 BC平面 PAB，又 BC平面 PBC，得平面 PAB平面 PBC，故正确，同理可证正确答案：A32019成都诊断性检测已知 m， n是空间中两条不同的直线， ， 为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( )A若 m ，则 m B若 m ， n ，则 m nC若 m ， m ，则 m D若 m， n m，则 n 解析：选项 A中，若 m ，则直线 m和平面 可能垂直，也可能平行或相交，故选项 A不正确；选项 B中，直线 m与直线 n的关系不确定，可能平行，也可能相交或异面，故选项 B不正确；选项 C中，若 m ，则 m
3、或 m ，又 m ，故 m ，选项 C正确；选项 D中，缺少条件 n ，故选项 D不正确，故选 C.答案：C42017全国卷在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E为棱 CD的中点，则( )A A1E DC1 B A1E BDC A1E BC1 D A1E AC解析： A1E在平面 ABCD上的投影为 AE，而 AE不与 AC， BD垂直， B，D 错； A1E在平面 BCC1B1上的投影为 B1C，且 B1C BC1， A1E BC1，故 C正确；(证明：由条件易知， BC1 B1C， BC1 CE，又 CE B1C C， BC1平面 CEA1B1.又A1E平面 CEA1B1， A1E
4、BC1)2 A1E在平面 DCC1D1上的投影为 D1E，而 D1E不与 DC1垂直，故 A错故选 C.答案：C52019惠州调研设 l， m， n为三条不同的直线， 为一个平面，则下列命题中正确的个数是( )若 l ，则 l与 相交；若 m ， n ， l m， l n，则 l ；若l m， m n， l ，则 n ；若 l m， m ， n ，则 l n.A1 B2C3 D4解析：对于，若 l ，则 l与 不可能平行， l也不可能在 内，所以 l与 相交，正确；对于，若 m ， n ， l m， l n，则有可能是 l ，故错误；对于，若 l m， m n，则 l n，又 l ，所以 n
5、，故正确；对于，因为m ， n ，所以 m n，又 l m，所以 l n，故正确选 C.答案：C二、填空题6如图， BAC90， PC平面 ABC，则在 ABC， PAC的边所在的直线中，与 PC垂直的直线有_；与 AP垂直的直线有_解析： PC平面 ABC， PC垂直于直线 AB， BC， AC； AB AC， AB PC， AC PC C， AB平面 PAC， AB AP.与 AP垂直的直线是 AB.答案： AB， BC， AC AB7假设平面 平面 EF， AB ， CD ，垂足分别为 B， D，如果增加一个条件，就能推出 BD EF，现有下面四个条件： AC ； AC ； AC与 BD
6、在 内的射影在同一条直线上； AC EF.其中能成为增加条件的是_(把你认为正确的条件序号都填上)解析：如果 AB与 CD在一个平面内，可以推出 EF垂直于该平面，又 BD在该平面内，所以 BD EF.故要得到 BD EF，只需 AB， CD在一个平面内即可，只有能保证这一条件答案：8如图，在四棱锥 P ABCD中， PA底面 ABCD，且底面各边都相等， M是 PC上的一动点，当点 M满足_时，平面 MBD平面 PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析： PC在底面 ABCD上的射影为 AC，且 AC BD，3 BD PC.当 DM PC(或 BM PC)时，即有 PC平面 MBD，而
7、 PC平面 PCD，平面MBD平面 PCD.答案： DM PC(或 BM PC)三、解答题92019陕西质量检测如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 AB， ABC90，侧面 A1ABB1底面 ABC.(1)求证： AB1平面 A1BC；(2)若 AC5， BC3， A1AB60，求三棱柱 ABC A1B1C1的体积解析：(1)证明：在侧面 A1ABB1中， A1A AB，四边形 A1ABB1为菱形， AB1 A1B.侧面 A1ABB1底面 ABC， ABC90， CB平面 A1ABB1. AB1平面 A1ABB1， CB AB1.又 A1B BC B， AB1平面 A1BC.(2
8、)解法一 如图，过 A1作 A1D AB，垂足为 D.平面 ABC平面 A1ABB1，平面 ABC平面 A1ABB1 AB， A1D平面 ABC， A1D为三棱柱 ABC A1B1C1的高 BC3， AC5， ABC90， AB4，又 AA1 AB， A1AB60， A1AB为等边三角形， A1D AB2 .32 3 VABC A1B1C1 S ABCA1D 432 12 .12 3 3解法二 在 ABC中，由 AC5， BC3， ABC90，可得 AB4.又 A1A AB， A1AB60， ABA1是边长为 4的等边三角形， SABA1 424 .34 3由(1)知 BC平面 ABA1， V
9、C ABA1 S ABA1BC 4 34 .13 13 3 3设三棱柱 ABC A1B1C1的高为 h，则 VABC A1B1C1 S ABCh3 3 VA1 ABC3 VC ABA134 12(13S ABCh) 3.34102018北京卷，18如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形，平面 PAD平面 ABCD， PA PD， PA PD， E， F分别为 AD， PB的中点(1)求证： PE BC；(2)求证：平面 PAB平面 PCD；(3)求证： EF平面 PCD.解析：(1)因为 PA PD， E为 AD的中点，所以 PE AD.因为底面 ABCD为矩形，所以 BC AD
10、.所以 PE BC.(2)因为底面 ABCD为矩形，所以 AB AD.又因为平面 PAD平面 ABCD，所以 AB平面 PAD.所以 AB PD.又因为PA PD， AB PA A，所以 PD平面 PAB.PD平面 PCD，所以平面 PAB平面 PCD.(3)取 PC中点 G，连接 FG， DG.因为 F， G分别为 PB， PC的中点，所以 FG BC， FG BC.12因为 ABCD为矩形，且 E为 AD的中点，所以 DE BC， DE BC.12所以 DE FG， DE FG.所以四边形 DEFG为平行四边形所以 EF DG.又因为 EF平面 PCD， DG平面 PCD，所以 EF平面
11、PCD.能力挑战11如图，平面五边形 ABCDE中， AB CE，且 AE2， AEC60，CD ED ，cos EDC .将 CDE沿 CE折起，使点 D到 P的位置，且 AP ，得到四棱757 3锥 P ABCE.(1)求证： AP平面 ABCE；(2)记平面 PAB与平面 PCE相交于直线 l，求证： AB l.5证明：(1)在 CDE中， CD ED ，cos EDC ，由余弦定理得 CE2.连接757AC， AE2， AEC60， AC2.又 AP ，在 PAE中， PA2 AE2 PE2，即3AP AE.同理， AP AC.而 AC平面 ABCE， AE平面 ABCE， AC AE A，故 AP平面 ABCE.(2) AB CE，且 CE平面 PCE， AB平面 PCE， AB平面 PCE.又平面 PAB平面 PCE l， AB l.
