1、1考点强化练 16 等腰三角形基础达标一、选择题1.(2018四川达州)若实数 m,n满足 |m-2|+ =0,且 m,n恰好是等腰三角形 ABC的两条边的边n-4长,则 ABC的周长是( )A.12 B.10C.8 D.6答案 B解析 由题意得 m-2=0,n-4=0,m= 2,n=4,又 m ,n恰好是等腰三角形 ABC的两条边的边长, 若腰为 2,底为 4,此时不能构成三角形,舍去, 若腰为 4,底为 2,则周长为 4+4+2=10.故选 B.2.(2018山东淄博)如图,在 Rt ABC中, CM平分 ACB交 AB于点 M,过点 M作 MN BC交 AC于点 N,且 MN平分 AMC
2、,若 AN=1,则 BC的长为( )A.4 B.6C.4 D.83答案 B解析 在 Rt ABC中, CM平分 ACB交 AB于点 M,过点 M作 MN BC交 AC于点 N,且 MN平分 AMC, AMN= NMC= B, NCM= BCM= NMC, ACB=2 B,NM=NC, B=30,AN= 1,MN= 2,AC=AN+NC= 3,BC= 6.3.(2018江苏扬州)在 Rt ABC中, ACB=90,CD AB于点 D,CE平分 ACD交 AB于点 E,则下列结论一定成立的是( )A.BC=ECB.EC=BE2C.BC=BED.AE=EC答案 C解析 ACB=90,CD AB, A
3、CD+ BCD=90, ACD+ A=90, BCD=A.CE 平分 ACD, ACE= DCE.又 BEC= A+ ACE, BCE= BCD+ DCE, BEC= BCE,BC=BE.4.(2018湖南常德)如图,已知 BD是 ABC的角平分线, ED是 BC的垂直平分线, BAC=90,AD=3,则 CE的长为( )A.6 B.5C.4 D.3 3答案 D解析 ED 是 BC的垂直平分线,DB=DC , C= DBC,BD 是 ABC的角平分线, ABD= DBC, C= DBC= ABD=30,BD= 2AD=6,CE=CD cosC=3 ,3故选 D.5.等腰三角形补充下列条件后,仍
4、不一定成为等边三角形的是( )A.有一个内角是 60B.有一个外角是 120C.有两个角相等D.腰与底边相等答案 C二、填空题6.(2018江苏徐州)边长为 a的正三角形的面积等于 . 3答案 a234解析 过点 A作 AD BC于点 D,AD BC,BD=CD= a,12AD= a,AC2-CD2=32面积则是: a a= a2.12 32 347.(2018湖南娄底)如图,在 ABC中, AB=AC,AD BC于点 D,DE AB于点 E,BF AC于点 F,DE=3cm,则 BF= cm. 答案 6解析 在 Rt ADB与 Rt ADC中,AB=AC,AD=AD Rt ADBRt ADC
5、,S ABC=2S ABD=2 ABDE12=ABDE=3AB,S ABC= ACBF,12 ACBF=3AB,12AC=AB , BF=3,12BF= 6.二、解答题8.(2018江苏徐州)已知如图,四边形 ABCD中, AB=BC,AD=CD,求证: A=C.4证明 连接 AC,AB=BC ,AD=CD, BAC= BCA, DAC= DCA, BAC+ DAC= BCA+ DCA,即 A= C.9.如图,在 ABC中, AB=AC,AD是 BC边上的中线, BE AC于点 E.求证: CBE= BAD.证明 证法 1:AB=AC , ABC是等腰三角形, AD 是 BC边上的中线,AD
6、BC, BAD= CAD, CAD+ C=90,BE AC, CBE+ C=90, CBE= CAD, CBE= BAD.证法 2:AB=AC , ABC= C,又 AD 是 BC边上的中线, AD BC, BAD+ ABC=90,BE AC, CBE+ C=90, CBE= BAD.导学号 1381405210.如图所示,等边三角形 ABC和等边三角形 DCE在直线 BCE的同一侧, AE交 CD于点 P,BD交 AC于点 Q,求证 PQC为等边三角形 .证明 在等边三角形 ABC和等边三角形 DCE中,BC=AC,DC=EC, ACB= DCE=60,所以 ACB+ ACD= DCE+ A
7、CD,即 BCD= ACE,5在 BCD和 ACE中, BC=AC, BCD= ACE,CD=CE, 所以 BCD ACE(SAS),所以1 =2,因为 ACB= DCE=60,所以 ACD=180- ACB- DCE=60,所以 BCQ= ACP,在 BCQ和 ACP中, 1= 2,BC=AC, BCQ= ACP,所以 BCQ ACP,所以 CQ=CP,又因为 QCP=60,所以 PQC为等边三角形 .能力提升一、选择题1.(2018浙江湖州)如图, AD,CE分别是 ABC的中线和角平分线 .若 AB=AC, CAD=20,则 ACE的度数是( )A.20 B.35C.40 D.70答案
8、B解析 AD 是 ABC的中线,AB=AC, CAD=20, CAB=2 CAD=40, B= ACB= (180- CAB)=70.12CE 是 ABC的角平分线, ACE= ACB=35.12故选 B.二、填空题2.(2018江苏淮安)如图,在 Rt ABC中, C=90,AC=3,BC=5,分别以点 A,B为圆心,大于 AB的长为12半径画弧,两弧交点分别为点 P,Q,过 P,Q两点作直线交 BC于点 D,则 CD的长是 . 6答案85解析 连接 AD.PQ 垂直平分线段 AB,DA=DB ,设 DA=DB=x,在 Rt ACD中, C=90,AD2=AC2+CD2,x 2=32+(5-
9、x)2,解得 x= ,175CD=BC-DB= 5- ,175=85故答案为 .853.(2018黑龙江)如图,已知等边三角形 ABC的边长是 2,以 BC边上的高 AB1为边作等边三角形,得到第一个等边三角形 AB1C1;再以等边三角形 AB1C1的 B1C1边上的高 AB2为边作等边三角形,得到第二个等边三角形 AB2C2;再以等边三角形 AB2C2的 B2C2边上的高 AB3为边作等边三角形,得到第三个等边三角形 AB3C3;,记三角形 B1CB2的面积为 S1,三角形 B2C1B3的面积为 S2,三角形 B3C2B4的面积为 S3,如此下去,则 Sn= . 答案 n3347解析 等边三
10、角形 ABC的边长为 2,AB1 BC,BB 1=1,AB=2,根据勾股定理得 AB1= ,3 第一个等边三角形 AB1C1的面积为 ( )2= 1;34 3 334 等边三角形 AB1C1的边长为 ,AB2 B1C1,3B 1B2= ,AB1= ,32 3根据勾股定理得 AB2= ,32 第二个等边三角形 AB2C2的面积为 2= 2;34 32 334依此类推,第 n个等边三角形 ABnCn的面积为 n.3344.(2018四川南充)如图,在 ABC中, DE BC,BF平分 ABC,交 DE的延长线于点 F.若 AD=1,BD=2,BC=4,则EF= . 答案23解析 DE BC, F=
11、 FBC,BF 平分 ABC, DBF= FBC, F= DBF,DB=DF ,DE BC, ADE ABC, ,即 ,ADAD+DB=DEBC 11+2=DE4解得 DE= ,43DF=DB= 2,EF=DF-DE= 2- .43=238三、解答题5.如图,等边三角形 ABC中,点 D,E,F分别同时从点 A,B,C出发,以相同的速度在 AB,BC,CA上运动,连接 DE,EF,DF.(1)证明: DEF是等边三角形;(2)在运动过程中,当 CEF是直角三角形时,试求 的值 .S DEFS ABC(1)证明 ABC是等边三角形, A= B= C=60,AB=BC=CA,AD=BE=CF ,BD=EC=AF ,在 ADF, BED和 CFE中AD=BE=CF, A= B= C,BD=CE=AF, ADF BED CFE,DE=EF=FD , DEF是等边三角形 .(2)解 ABC和 DEF是等边三角形, DEF ABC,EF AC, BDE= CEF=30,BE= BD,即 BE= BC,CE= BC,12 13 23EF=EC sin60= BC BC,23 32= 33 . 导学号 13814053S DEFS ABC=(EFBC)2=(33)2=139
