1、13.2.2 直线的两点式方程【选题明细表】 知识点、方法 题号直线的两点式方程 2,3,4,8,11直线的截距式方程 5,7,10中点坐标公式、直线方程的理解及应用 1,6,8,9,12,131.下列四个命题中的真命题是( B )(A)经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示(B)经过任意两个不同点 P1(x1,y1)、P 2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y 1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示(C)不经过原点的直线都可以用方程 + =1 表示(D)经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示解析:当直线与 y 轴重合
2、时,斜率不存在,选项 A、D 不正确;当直线垂直于 x 轴或 y 轴时,直线方程不能用截距式表示,选项 C 不正确,选项 B 正确.故选 B.2.已知直线 l 经过点 A(1,-2),B(-3,2),则直线 l 的方程为( A )(A)x+y+1=0 (B)x-y+1=0(C)x+2y+1=0 (D)x+2y-1=0解析:由两点式得直线 l 的方程为 = ,即 y+2=-(x-1).故选 A.3.已知ABC 的三个顶点 A(1,2),B(3,6),C(5,2),M 为 AB 的中点,N 为 AC 的中点,则中位线MN 所在的直线方程为( A )(A)2x+y-8=0 (B)2x-y-8=0(C
3、)2x+y-12=0 (D)2x-y-12=0解析:由中点坐标公式知 M(2,4),N(3,2),由两点式方程知 MN 所在的直线方程为 2x+y-8=0.故选 A.4.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在 x 轴上的截距为( A )(A)- (B)- (C) (D)2解析:由直线的两点式方程可得直线方程为 = ,即 2x-y+3=0,令 y=0 得 x=- .故选A.5.(2018安徽黄山调研)已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是( D )(A)1 (B)-1(C)-2 或-1 (D)-2 或 1解析:当 a=0 时,y=2 不合题意.当 a
4、0 时,令 x=0,得 y=2+a,令 y=0,得 x= ,则2=a+2,得 a=1 或 a=-2.故选 D.6.直线 l 过点 P(1,3),且与 x,y 轴正半轴围成的三角形的面积等于 6 的直线方程是( A )(A)3x+y-6=0 (B)x+3y-10=0(C)3x-y=0 (D)x-3y+8=0解析:设所求的直线方程为 + =1.所以 解得 a=2,b=6.故所求的直线方程为 3x+y-6=0.故选 A.7.已知直线 mx-2y-3m=0(m0)在 x 轴上的截距是它在 y 轴上截距的 4 倍,则 m= . 解析:直线方程可化为 - =1,所以- 4=3,所以 m=- .答案:-8.
5、已知ABC 的三个顶点为 A(0,3),B(1,5),C(3,-5).(1)求边 AB 所在的直线方程;(2)求中线 AD 所在直线的方程.解:(1)设边 AB 所在的直线的斜率为 k,则 k= =2.它在 y 轴上的截距为 3.所以,由斜截式得边 AB 所在的直线的方程为 y=2x+3.(2)B(1,5)、C(3,-5), =2, =0,所以 BC 的中点 D(2,0).由截距式得中线 AD 所在的直线的方程为 + =1.9.已知两点 A(3,0),B(0,4),动点 P(x,y)在线段 AB 上运动,则 xy( D )(A)无最小值且无最大值 (B)无最小值但有最大值(C)有最小值但无最大
6、值 (D)有最小值且有最大值解析:线段 AB 的方程为 + =1(0x3),于是 y=4(1- )(0x3),从而 xy=4x(1- )=- (x-)2+3,显然当 x= 0,3时,xy 取最大值为 3;当 x=0 或 3 时,xy 取最小值 0.故选 D.10.(2018四川宜宾模拟)过点 P(2,3)并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( B )(A)2x-3y=0(B)3x-2y=0 或 x+y-5=03(C)x+y-5=0(D)2x-3y=0 或 x+y-5=0解析:当所求的直线与两坐标轴的截距都不为 0 时,设该直线的方程为 x+y=a,把(2,3)代入所设的方程得 a=5,则所求直
7、线的方程为 x+y=5 即 x+y-5=0;当所求的直线与两坐标轴的截距都为 0 时,设该直线的方程为 y=kx,把(2,3)代入所求的方程得 k= ,则所求直线的方程为 y= x,即 3x-2y=0.综上,所求直线的方程为 3x-2y=0 或 x+y-5=0.故选 B.11.经过 A(1,3)和 B(a,4)的直线方程为 . 解析:当 a=1 时,直线 AB 的斜率不存在,所求直线的方程为 x=1;当 a1 时,由两点式,得 = ,即 x-(a-1)y+3a-4=0.这个方程中,对 a=1 时方程为 x=1 也满足.所以,所求的直线方程为 x-(a-1)y+3a-4=0.答案:x-(a-1)
8、y+3a-4=012.已知直线 l 的斜率为 6,且被两坐标轴所截得的线段长为 ,求直线 l 的方程.解:设所求直线为 + =1,则与 x 轴、y 轴的交点分别为(a,0),(0,b),由勾股定理知 a2+b2=37.又 k=- =6,所以解得 或因此所求直线 l 的方程是 x+ =1 或-x+ =1.13.某房地产公司要在荒地 ABCDE(如图,BCCD)上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问:如何设计才能使开发面积最大?并求出最大面积.(已知|BC|=210 m,|CD|=240 m,|DE|=300 m,|EA|=180 m)解:以 BC 所在直线为 x 轴,AE 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy,如图,则 A(0,60),B(90,0).4AB 所在的直线方程为 + =1,即 y=60- x.所以可设 P(x,60- x),其中 0x90,开发面积 S=(300-x)(240-y)=(300-x)240-(60- x)=- x2+20x+ 54 000(0x90).当 x=- =15,且 y=50 时,S 取最大值 54 150.即矩形顶点 P 距离 AE 15 m,距离 BC 50 m 时,面积最大,为 54 150 m2.
