1、1专题 4.4 圆一、单选题1如图，点 A，B，C，D 都在半径为 2 的O 上，若 OABC，CDA=30，则弦 BC 的长为（ ）A 4 B 2 C D 2【来源】湖北省襄阳市 2018 年中考数学试卷【答案】B【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键2如图，AB 为O 的直径，CD 是O 的弦，ADC=35，则CAB 的度数为（ ）A 35 B 45 C 55 D 65【来源】江苏省盐城市 2018 年中考数学试题【答案】C2【解析】分析：由同弧所对的圆周角相等可知B=ADC=35；而由圆周角的推论不难得知ACB=90
2、，则由CAB=90-B 即可求得.详解：ADC=35，ADC 与B 所对的弧相同，B=ADC=35，AB 是O 的直径，ACB=90，CAB=90-B=55，故选 C点睛：本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.3如图，AB 是O 的直径，点 D 为O 上一点，且ABD=30，BO=4，则 的长为（ ）A B C 2 D 【来源】湖北省黄石市 2018 年中考数学试卷【答案】D【解析】分析：先计算圆心角为 120，根据弧长公式= ，可得结果详解：连接 OD，ABD=30，AOD=2ABD=60，BOD=120， 的长= = ，3故选：D点睛：本题考查了弧长的计算和圆周角
3、定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题4如图，点 A、B、C 都在O 上，若AOC=140，则B 的度数是（ ）A 70 B 80 C 110 D 140【来源】江苏省淮安市 2018 年中考数学试题【答案】C【解析】分析：作 对的圆周角 APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到P=40，然后根据圆周角定理求AOC 的度数详解：作 对的圆周角 APC ，如图，P= AOC= 140=70P+B=180，B=18070=110，故选：C点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半5如图，矩形 ABCD 中，G 是 BC 的中点，过 A、
4、D、G 三点的圆 O 与边 AB、CD 分别交于点 E、点 F，给出下列说法：（1）AC 与 BD 的交点是圆 O 的圆心；（2）AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心；（3）BC 与圆 O 相切，其中正确说法的个数是（ ）4A 0 B 1 C 2 D 3【来源】江苏省无锡市 2018 年中考数学试题【答案】C详解：连接 DG、AG，作 GHAD 于 H，连接 OD，如图，G 是 BC 的中点，AG=DG，GH 垂直平分 AD，点 O 在 HG 上，ADBC，HGBC，BC 与圆 O 相切；OG=OD，点 O 不是 HG 的中点，圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点；而四边形 AEFD 为O
5、 的内接矩形，AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心；（1）错误， （2） （3）正确故选：C点睛：本题考查了三角形外接圆与外心：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点也考查了切线的判定与矩形的性质6如图，四边形 ABCD 内接于O，点 I 是ABC 的内心，AIC=124，点 E 在 AD 的延长线上，则CDE的度数为（ ）5A 56 B 62 C 68 D 78【来源】山东省烟台市 2018 年中考数学试卷【答案】B【解析】分析：由点 I 是ABC 的内心知BAC=2IAC、ACB=2ICA，从而求得B=180（BAC+ACB）=1802（180A
6、IC） ，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案详解：点 I 是ABC 的内心，BAC=2IAC、ACB=2ICA，AIC=124，B=180（BAC+ACB）=1802（IAC+ICA）=1802（180AIC）=68，又四边形 ABCD 内接于O，CDE=B=68，故选：C点睛：本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质7正方形 ABCD 的边长为 2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD 内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ）A B C D 【来源】湖北省随州市 2018 年中考数学试卷6【答案
7、】A【解析】 【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率【详解】如图，连接 PA、PB、OP，则 S 半圆 O= ，S ABP = 21=1，由题意得：图中阴影部分的面积=4（S 半圆 OS ABP ）=4（ 1）=24，米粒落在阴影部分的概率为 ，故选 A【点睛】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积8如图，坐标平面上，A、B 两点分别为圆 P 与 x 轴、y 轴的交点，有一直线 L 通过 P 点且与 AB 垂直，C点为 L 与 y 轴的交点若 A、B、C 的坐标分别为（a，0） ， （0，4） ， （0，5） ，其中 a0，则 a 的值为何？（ ）A 2 B
8、 2 C 8 D 7【来源】台湾省 2018 年中考数学试卷【答案】A【解析】分析：连接 AC，根据线段垂直平分线的性质得到 AC=BC，根据勾股定理求出 OA，得到答案详解：连接 AC，7点睛：本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键9如图，ABC 中，D 为 BC 的中点，以 D 为圆心，BD 长为半径画一弧交 AC 于 E 点，若A=60，B=100，BC=4，则扇形 BDE 的面积为何？（ ）A B C D 【来源】台湾省 2018 年中考数学试卷【答案】C8点睛：本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式：
9、S=10如图，在正方形 ABCD 中，AB=12，点 E 为 BC 的中点，以 CD 为直径作半圆 CFD，点 F 为半圆的中点，连接 AF，EF，图中阴影部分的面积是（ ）A 18+36 B 24+18 C 18+18 D 12+18【来源】山东省威海市 2018 年中考数学试题【答案】C【解析】分析：作 FHBC 于 H，连接 FH，如图，根据正方形的性质和切线的性质得 BE=CE=CH=FH=6，则利用勾股定理可计算出 AE=6 ，通过 RtABEEHF 得AEF=90，然后利用图中阴影部分的面积=S 正方形ABCD+S 半圆 S ABE S AEF 进行计算9点睛：本题考查了正多边形和
10、圆：利用面积的和差计算不规则图形的面积11如图, 是 的直径,弦 于点 , ,则 ( )A B C D 【来源】湖南省张家界市 2018 年初中毕业学业考试数学试题【答案】A【解析】分析：根据垂径定理可得出 CE 的长度，在 RtOCE 中，利用勾股定理可得出 OE 的长度，再利用AE=AO+OE 即可得出 AE 的长度详解：弦 CDAB 于点 E，CD=8cm，10CE= CD=4cm在 RtOCE 中，OC=5cm，CE=4cm，OE= =3cm，AE=AO+OE=5+3=8cm故选：A点睛：本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出 OE 的长度是解题的关键12如图，在
11、O 中，点 C 在优弧 上，将弧 沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D若O 的半径为 ，AB=4，则 BC 的长是（ ）A B C D 【来源】湖北省武汉市 2018 年中考数学试卷【答案】B【详解】连接 OD、AC、DC、OB、OC，作 CEAB 于 E，OFCE 于 F，如图，D 为 AB 的中点，ODAB，AD=BD= AB=2，在 RtOBD 中，OD= =1，将弧 沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D，弧 AC 和弧 CD 所在的圆为等圆， ，11AC=DC，AE=DE=1，易得四边形 ODEF 为正方形，OF=EF=1，在 RtOCF 中，CF= =2，CE=CF+EF
12、=2+1=3，而 BE=BD+DE=2+1=3，BC=3 ，故选 B【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的性质，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，熟练掌握相关的定理和性质是解题的关键.13如图所示，AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，线段 PO 交O 于点 C，连结 BC，若P=36，则B等于（ ）.【来源】四川省眉山市 2018 年中考数学试题【答案】A【解析】分析：直接利用切线的性质得出OAP=90，再利用三角形内角和定理得出AOP=54，结合圆周角定理得出答案详解：PA 切O 于点 A，OAP=90，P=36，AOP=54，B=2712故选：A点睛
13、：此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出AOP 的度数是解题关键14如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（4，0） ，B（0，3） ，C（4，3） ，I 是ABC 的内心，将ABC 绕原点逆时针旋转 90后，I 的对应点 I的坐标为（ ）A （2，3） B （3，2） C （3，2） D （2，3）【来源】湖北省荆门市 2018 年中考数学试卷【答案】A【解析】 【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出 I 点坐标，再利用旋转的性质得出对应点坐标【详解】过点作 IFAC 于点 F，IEOA 于点 E，A（4，0） ，B（0，3） ，C（4，3） ，BC=4，AC=
14、3，则 AB=5，I 是ABC 的内心，I 到ABC 各边距离相等，等于其内切圆的半径，IF=1，故 I 到 BC 的距离也为 1，则 AE=1，故 IE=31=2，OE=41=3，则 I（3，2） ，ABC 绕原点逆时针旋转 90，I 的对应点 I的坐标为：（2，3） ，故选 A13【点睛】本题考查了直角三角形的内心、旋转的性质，根据直角三角形内心的性质得出其内心 I 的坐标是解题的关键. 15如图，在 中， ， ， ，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交 AB 于点D，则 的长为 A B C D 【来源】浙江省宁波市 2018 年中考数学试卷【答案】C【点睛】本题考查了弧长公式的运用和
15、含 30 度角的直角三角形性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键.弧长公式： 弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 16如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若 AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）14A B C 2 D 2【来源】广西钦州市 2018 年中考数学试卷【答案】D【解析】 【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可【详解】过 A 作 ADBC 于 D，ABC 是等边三角形，AB=AC=BC=2，BAC=ABC=ACB=60，AD
16、BC，BD=CD=1，AD= BD= ，ABC 的面积为 BCAD= = ，S 扇形 BAC= = ，莱洛三角形的面积 S=3 2 =22 ，故选 D【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键17O 1和O 2的半径分别为 5 和 2，O 1O2=3，则O 1和O 2的位置关系是（ ）A 内含 B 内切 C 相交 D 外切【来源】江苏省徐州巿 2018 年中考数学试卷【答案】B【解析】 【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系即可判断O 1与O 2的位置关系15【详解】O 1和O 2的半径分
17、别为 5 和 2，O 1O2=3，则 52=3，O 1和O 2内切，故选 B【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法设两圆的半径分别为 R 和 r，且 Rr，圆心距为 P：外离 PR+r；外切 P=R+r；相交 RrPR+r；内切 P=Rr；内含 PRr18已知O 的半径为 5cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 5cm，则直线 l 与O 的位置关系为（ ）A 相交 B 相切 C 相离 D 无法确定【来源】湖南省湘西州 2018 年中考数学试卷【答案】B【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离 5 等于圆的半径 5，即可判断直线和圆相切【详解】圆心到直线的距离 5cm=5cm，直线和
18、圆相切，故选 B【点睛】本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系若 dr，则直线与圆相交；若 d=r，则直线于圆相切；若 dr，则直线与圆相离二、填空题19如图，AB 是O 的直径，C 是O 上的点，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 D若A=32，则D=_度【来源】浙江省台州市 2018 年中考数学试题【答案】26【解析】分析：连接 OC，根据圆周角定理得到COD=2A，根据切线的性质计算即可详解：连接 OC，16点睛：本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键20如图，正方形 ABCD 的边长为 8
19、，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作 当 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为_【来源】浙江省宁波市 2018 年中考数学试卷【答案】3 或【解析】 【分析】分两种情况： 与直线 CD 相切、 与直线 AD 相切，分别画出图形进行求解即可得.【详解】如图 1 中，当 与直线 CD 相切时，设 ，在 中， ， ；如图 2 中当 与直线 AD 相切时，设切点为 K，连接 PK，则 ，四边形 PKDC 是矩形，17， ，在 中， ，综上所述，BP 的长为 3 或 【点睛】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，会用分类讨论
20、的思想思考问题，会利用参数构建方程解决问题是关键21如图，在平行四边形 ABCD 中，ABAD，D=30，CD=4，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 E，则阴影部分的面积为_【来源】湖北省荆门市 2018 年中考数学试卷【答案】 【解析】 【分析】连接半径和弦 AE，根据直径所对的圆周角是直角得：AEB=90，继而可得 AE 和 BE 的长，所以图中弓形的面积为扇形 OBE 的面积与OBE 面积的差，因为 OA=OB，所以OBE 的面积是ABE 面积的一半，可得结论【详解】如图，连接 OE、AE，AB 是O 的直径，AEB=90，四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD=4，B=D=30
21、，AE= AB=2，BE= =2 ，OA=OB=OE，18B=OEB=30，BOE=120，S 阴影 =S 扇形 OBES BOE= ，故答案为： 【点睛】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，含 30 度角的直角三角形的性质等，求出扇形OBE 的面积和ABE 的面积是解本题的关键22用一块圆心角为 216的扇形铁皮，做一个高为 40cm 的圆锥形工件（接缝忽略不计） ，那么这个扇形铁皮的半径是_cm【来源】山东省聊城市 2018 年中考数学试题【答案】50【解析】分析：设这个扇形铁皮的半径为 Rcm，圆锥的底面圆的半径为 rcm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面
22、的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 2r= ，解得 r= R，然后利用勾股定理得到 402+（ R） 2=R2，最后解方程即可详解：设这个扇形铁皮的半径为 Rcm，圆锥的底面圆的半径为 rcm，根据题意得 2r= ，解得 r= R，因为 402+（ R） 2=R2，解得 R=50所以这个扇形铁皮的半径为 50cm故答案为 50点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形19的半径等于圆锥的母线长23已知 的半径为 ， ， 是 的两条弦， ， ， ，则弦 和之间的距离是_ 【来源】湖北省孝感市 2018 年中考数学试题【答案】2 或
23、14详解：当弦 AB 和 CD 在圆心同侧时，如图，AB=16cm，CD=12cm，AE=8cm，CF=6cm，OA=OC=10cm，EO=6cm，OF=8cm，EF=OF-OE=2cm；当弦 AB 和 CD 在圆心异侧时，如图，AB=16cm，CD=12cm，AF=8cm，CE=6cm，OA=OC=10cm，OF=6cm，OE=8cm，EF=OF+OE=14cmAB 与 CD 之间的距离为 14cm 或 2cm故答案为：2 或 14点睛：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解24如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1
24、 个单位长度，点 O，A，B，C 在格点（两条网格线的交点20叫格点）上，以点 O 为原点建立直角坐标系，则过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为_【来源】山东省烟台市 2018 年中考数学试卷【答案】 （-1，-2）【解析】分析：连接 CB，作 CB 的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点 O 的坐标即可详解：连接 CB，作 CB 的垂直平分线，如图所示：在 CB 的垂直平分线上找到一点 D，CDDB=DA= ，所以 D 是过 A，B，C 三点的圆的圆心，即 D 的坐标为（1，2） ，故答案为：（1，2） ，点睛：此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置25如图，点 ， ， ， 在
25、 上， ， ， ，则 _【来源】北京市 2018 年中考数学试卷【答案】70【解析】分析：根据 = ，得到 ，根据同弧所对的圆周角相等即可得到21，根据三角形的内角和即可求出 .详解： = ， ， ， ， 故答案为： 点睛：考查圆周角定理和三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.26在 RtABC 中，AB=1，A=60，ABC=90，如图所示将 RtABC 沿直线 l 无滑动地滚动至 RtDEF，则点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积为_ （结果不取近似值）【来源】湖北省恩施州 2018 年中考数学试题【答案】 + 【解析】分析：先得到ACB=30，BC= ，利
26、用旋转的性质可得到点 B 路径分部分：第一部分为以直角三角形 30的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为 150的弧长；第二部分为以直角三角形 60的直角顶点为圆心，1 为半径，圆心角为 120的弧长，第三部分为ABC 的面积；然后根据扇形的面积公式计算点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积详解：RtABC 中，A=60，ABC=90，ACB=30，BC= ，将 RtABC 沿直线 l 无滑动地滚动至 RtDEF，点 B 路径分部分：第一部分为以直角三角形 30的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为 150的弧长；第二部分为以直角三角形 60的直角顶点为圆心，1 为半径，圆心角为
27、120的弧长；第三部分为ABC 的面积.点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积= 故答案为 点睛：本题考查了轨迹：利用特殊几何图形描述点运动的轨迹，然后利用几何性质计算相应的几何量27如图，ABC 是等腰直角三角形，ACB=90，AC=BC=2，把ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 45后得22到ABC，则线段 BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是_.【来源】四川省眉山市 2018 年中考数学试题【答案】 点睛：本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质28如图，ABC 中，ACB=
28、90，sinA= ，AC=12，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到ABC，P 为线段 AB上的动点，以点 P 为圆心，PA长为半径作P，当P 与ABC 的边相切时，P 的半径为_【来源】江苏省泰州市 2018 年中考数学试题23【答案】 或【解析】分析：分两种情形分别求解：如图 1 中，当P 与直线 AC 相切于点 Q 时，如图 2 中，当P 与 AB相切于点 T 时，详解：如图 1 中，当P 与直线 AC 相切于点 Q 时，连接 PQ设 PQ=PA=r，PQCA， ， ，r= 如图 2 中，当P 与 AB 相切于点 T 时，易证 A、B、T 共线，ABTABC， ， ，AT= ，24
29、r= AT= 综上所述，P 的半径为 或 点睛：本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题29如图，已知ABC 的内切圆O 与 BC 边相切于点 D，连结 OB，OD若ABC=40，则BOD 的度数是_【来源】浙江省湖州市 2018 年中考数学试题【答案】70【解析】分析：先根据三角形内心的性质和切线的性质得到 OB 平分ABC，ODBC，则OBD= ABC=20，然后利用互余计算BOD 的度数详解：ABC 的内切圆O 与 BC 边相切于点 D，OB 平分ABC，ODBC，OBD= A
30、BC= 40=20，BOD=90-OBD=70故答案为 70点睛：本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆30如图，在扇形 CAB 中，CDAB，垂足为 D，E 是ACD 的内切圆，连接 AE，BE，则AEB 的度数为_25【来源】山东省威海市 2018 年中考数学试题【答案】135【解析】分析：如图，连接 EC首先证明AEC=135，再证明EACEAB 即可解决问题.详解：如图，连接 EC点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构
31、造全等三角形解决问题，属于中考常考题型三、解答题31已知：如图，AB 是O 的直径，AB=4，点 F，C 是O 上两点，连接 AC，AF，OC，弦 AC 平分FAB，BOC=60，过点 C 作 CDAF 交 AF 的延长线于点 D，垂足为点 D（1）求扇形 OBC 的面积（结果保留） ；（2）求证：CD 是O 的切线26【来源】湖南省怀化市 2018 年中考数学试题【答案】 （1）S 扇形 OBC= ；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）由扇形的面积公式即可求出答案（2）易证FAC=ACO，从而可知 ADOC，由于 CDAF，所以 CDOC，所以 CD 是O 的切线详解：（1）AB=4，OB
32、=2COB=60，S 扇形 OBC= .（2）AC 平分FAB，FAC=CAO，AO=CO，ACO=CAOFAC=ACOADOC，CDAF，CDOCC 在圆上，CD 是O 的切线点睛：本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用扇形面积公式以及切线的判定方法，本题属于中等题型32如图，AB 是O 的直径，AC 切O 于点 A，BC 交O 于点 D已知O 的半径为 6，C=40（1）求B 的度数（2）求 的长 （结果保留 ）27【来源】吉林省长春市 2018 年中考数学试卷【答案】(1)50;(2) . 【解析】 【分析】 （1）根据切线的性质求出A=90，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据
33、圆周角定理求出AOD，根据弧长公式求出即可【详解】 （1）AC 切O 于点 A，BAC=90，C=40，B=50；（2）如图，连接 OD，B=50，AOD=2B=100， 的长为 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等，熟练掌握切线的性质、圆周角定理以及弧长公式等知识是解题的关键.33已知 BC 是O 的直径，点 D 是 BC 延长线上一点，AB=AD，AE 是O 的弦，AEC=30（1）求证：直线 AD 是O 的切线；（2）若 AEBC，垂足为 M，O 的半径为 4，求 AE 的长28【来源】湖南省郴州市 2018 年中考数学试卷【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】
34、【分析】 （1）先求出ABC=30，进而求出BAD=120，即可求出OAB=30，结论得证；（2）先求出AOC=60，用三角函数求出 AM，再用垂径定理即可得出结论（2）连接 OA，AEC=30，AOC=60，BCAE 于 M，AE=2AM，OMA=90，在 RtAOM 中，AM=OAsinAOM=4sin60=2 ，AE=2AM=4 29【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理等，熟练掌握和运用相关的定理与性质是解本题的关键34如图，CD 是O 的切线，点 C 在直径 AB 的延长线上（1）求证：CAD=BDC；（2）若 BD= A
35、D，AC=3，求 CD 的长【来源】山东省东营市 2018 年中考数学试题【答案】 （1）证明见解析；（2）CD=2【解析】分析：（1）连接 OD，由 OB=OD 可得出OBD=ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180，利用等角的余角相等，即可证出CAD=BDC；（2）由C=C、CAD=CDB 可得出CDBCAD，根据相似三角形的性质结合 BD= AD、AC=3，即可求出 CD 的长详（1）证明：连接 OD，如图所示OB=OD，OBD=ODBCD 是O 的切线，OD 是O 的半径，ODB+BDC=9030AB 是O 的直径，ADB=90，OBD+CAD=90，CAD=BDC（2）C=
36、C，CAD=CDB，CDBCAD， BD= AD， ， ，又AC=3，CD=2点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是：（1）利用等角的余角相等证出CAD=BDC；（2）利用相似三角形的性质找出 35如图，AB 是O 的直径，ED 切O 于点 C，AD 交O 于点 F，AC 平分BAD，连接 BF（1）求证：ADED；（2）若 CD=4，AF=2，求O 的半径【来源】云南省昆明市 2018 年中考数学试题【答案】 （1）证明见解析；（2）O 的半径为 【解析】分析：（1）连接 OC，如图，先证明 OCAD，然后利用切线的性质得 OCDE，从而得到ADED；（2）OC 交 BF 于 H，如图，利用圆周角定理得到AFB=90，再证明四边形 CDFH 为矩形得到FH=CD=4，CHF=90，利用垂径定理得到 BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出 AB，从而得到O 的半径
