1、11.3.1 利用导数判断函数的单调性1理解可导函数单调性与其导数的关系，会用导数确定函数的单调性2通过比较体会用导数求函数单调区间的优越性用函数的导数判定函数单调性的法则1如果在( a， b)内， f (x)0，则 f(x)在此区间是_，( a， b)为 f(x)的单调增区间；2如果在( a， b)内， f (x)0，则 f(x)在此区间是_，( a， b)为 f(x)的单调减区间(1)在( a， b)内， f (x)0(0)只是 f(x)在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要条件(2)函数 f(x)在( a， b)内是增(减)函数的充要条件是在( a， b)内 f (x)0(0)，并且
2、f (x)0 在区间( a， b)上仅有有限个点使之成立【做一做 11】已知函数 f(x)1 xsin x， x(0,2 )，则函数 f(x)( )A在(0,2)上是增函数B在(0,2)上是减函数C在(0，)上是增函数，在(，2)上是减函数D在(0，)上是减函数，在(，2)上是增函数【做一做 12】设 f (x)是函数 f(x)的导数， f (x)的图象如图所示，则 f(x)的图象最有可能是( )1函数的单调性与其导数有何关系？剖析：(1)求函数 f(x)的单调增(或减)区间，只需求出其导函数 f (x)0(或 f (x)0)的区间(2)若可导函数 f(x)在( a， b)内是增函数(或减函数
3、)，则可以得出函数 f(x)在( a， b)内的导函数 f (x)0(或 f (x)0)2利用导数判断函数单调性及单调区间应注意什么？剖析：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题时2只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间不能用“”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开题型一 求函数的单调区间【例题 1】求下列函数的单调区间：(1)f(x) x x3； (2) f(x) x ( a0)ax x2分析：先求 f (x)，然后
4、解不等式 f (x)0 得单调增区间， f (x)0 得单调减区间反思：运用导数讨论函数的单调性需注意如下几点：(1)确定函数的定义域，解决问题时，只能在函数的定义域内，通过讨论函数导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点；(3)在某一区间内 f (x)0(或 f (x)0)是函数 f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件题型二 根据函数的单调性求参数的取值范围【例题 2】已知函数 f(x)2 ax ， x(0,1，若 f(x)在 x(0,1上是增函数，求1x2a 的取值范围分析：函数 f(x)在(0,1上是增函数，则 f (
5、x)0 在(0,1上恒成立反思：函数 f(x)在区间 M 上是增(减)函数，即 f (x)0(0)在 x M 上恒成立题型三 证明不等式【例题 3】已知 x1，求证： xln(1 x)分析：构造函数 f(x) xln(1 x)，只要证明在 x(1，)上， f(x)0 恒成立即可反思：利用可导函数的单调性证明不等式，是不等式证明的一种重要方法，其关键在于构造一个合理的可导函数此法的一般解题步骤为：令 F(x) f(x) g(x)， x a，其中F(a) f(a) g(a)0，从而将要证明的不等式“当 x a 时， f(x) g(x)”转化为证明“当 x a 时， F(x) F(a)”题型四 易错
6、辨析易错点：应用导数求函数的单调区间时，往往因忘记定义域的限制作用从而导致求解结果错误，因此在求函数的单调区间时需先求定义域【例题 4】求函数 f(x)2 x2ln x 的单调减区间错解： f (x)4 x ，令 0，得 x 或 0 x ，所以函数 f(x)1x 4x2 1x 4x2 1x 12 12的单调减区间为 ， .1 在区间( a， b)内 f (x)0 是 f(x)在( a， b)内为增函数的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2 函数 y xcos xsin x 在下面哪个区间内是增函数( )A B(，2)C D(2，3)3 若 f(x) ax
7、3 bx2 cx d 为增函数，则一定有( )A b24 ac0 B b23 ac0C b24 ac0 D b23 ac04 如果函数 f(x) x3 bx(b 为常数)在区间(0,1)上是增函数，则 b 的取值范围是_35 函数 y x3 x25 的单调增区间为_，单调减区间为_13答案：基础知识梳理1增函数2减函数【做一做 11】A f (x)1cos x，当 x (0,2)时， f (x)0 恒成立，故 f(x)在(0,2)上是增函数【做一做 12】C 由 f (x)的图象知， x (，0)或 x (2，)时， f (x)0，故 f(x)的增区间为(，0)，(2，)，同理可得 f(x)的
8、减区间为(0,2)典型例题领悟【例题 1】解：(1) f(x)13 x2.令 13 x20，解得 x .因此函数 f(x)的单调增区间为 .33 33 ( 33， 33)令 13 x20，解得 x 或 x .因此函数 f(x)的单调减区间为 和33 33 ( ， 33).(33， )(2)由 ax x20 得 0 x a，即函数的定义域为0， a又 f(x) x (ax x2) (a2 x) ，ax x212 12 4x2 3ax2ax x2令 f(x)0，得 0 x ；令 f(x)0，得 x0 或 x a，又 x 0， a，3a4 34函数 f(x)的单调增区间为 ，单调减区间为 .(0，3
9、a4) (3a4， a)【例题 2】解：由题意，得 f (x)2 a .2x3 f(x)在(0,1内是增函数， f (x)0 在 x (0,1上恒成立即 a 在 x (0,1上恒成立1x3令 g(x) ， g(x) 在(0,1内是增函数， g(x)max g(1)1x3 1x31， a1，故 a 的取值范围是1，)【例题 3】证明：设 f(x) xln(1 x)(x1) f (x)1 ，( x1)，11 x xx 1 f (x)0. f(x)在(1，)上是增函数又 f(1)1ln 21ln e0，即 f(1)0， f(x)0，即 xln(1 x)(x1)【例题 4】错因分析：错解未注意函数的定
10、义域正解：函数 f(x)的定义域为(0，)，又 f (x) ，令 0，得 x4x2 1x 4x2 1x4或 0 x ，又 x0， f(x)的单调减区间为 .12 12 (0， 12)随堂练习巩固1A 如 f(x) x3在 R 上是增函数，但 f (0)0.2B y cos x xsin xcos x xsin x，当 x (，2)时， xsin x0，故函数在(，2)上为增函数3B f (x)3 ax22 bx c0 恒成立，所以 a0，(2 b)212 ac0，即b23 ac0.43，) f (x)3 x2 b0(0 x1)恒成立， b3 x2(0 x1)恒成立，故 b3.5(0,2) (，0)，(2，) y x22 x，令 y 0，得 0 x2，令y 0，得 x0 或 x2，故函数 y x3 x25 的单调增区间为(0,2)，单调减区间为13(，0)，(2，)
