1、19.2 圆的方程考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度圆的方程 掌握确定圆的几何要素;掌握圆的标准方程与一般方程 掌握2017课标全国,20;2017江苏,13;2016江苏,18;2015课标,14;2014陕西,12填空题解答题 分析解读 1.了解参数方程的概念,理解圆的参数方程.2.能根据所给条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程,结合圆的几何性质解决与圆有关的问题.3.高考对本节内容的考查以圆的方程为主,分值约为5分,中等难度,备考时应掌握“几何法”和“代数法”,求圆的方程的方法及与圆有关的最值问题.五年高考考点 圆的方程1.(2017江苏,13,5分
2、)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x 2+y2=50上.若20,则点P的横坐标的取值范围是 . 答案 -5,12.(2015课标,14,5分)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 . 答案 +y 2=3.(2014陕西,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为 . 答案 x 2+(y-1)2=14.(2017课标全国,20,12分)已知抛物线C:y 2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过
3、点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解析 (1)设A(x 1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由可得y 2-2my-4=0,则y 1y2=-4.又x 1=,x2=,故x 1x2=4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为=-1,所以OAOB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y 1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m 2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此 =0,故(x 1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x 1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y 1y
4、2=-4,x1x2=4.所以2m 2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x-3) 2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为,圆M的半径为,圆M的方程为+=.5.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x 2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).2(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程
5、;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.解析 圆M的标准方程为(x-6) 2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y 0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以01 D.a=1答案 A2.(2018浙江宁波调研,6)已知圆C的圆心坐标为(2,-1),半径长是方程(x+1)(x-4)=0的解,则圆C的标准方程为( )A.(x+1)2+(y-2)2=4B.(x-2)2+(y-1)2=4C.(x-2)2+(y+1)2=16D.(x+2)2+(y-1)2=16答案 C3.(2017豫北名校4月联考,4
6、)圆(x-2) 2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是( )A.(x-)2+(y-1)2=4 B.(x-)2+(y-)2=4C.x2+(y-2)2=4 D.(x-1)2+(y-)2=4答案 D4.(人教A必2,四,4-1A,3,变式)已知圆C过坐标原点,面积为2,且与直线l:x-y+2=0相切,则圆C的方程是( )A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1) 2+(y-1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1) 2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案 C5.(2017河南部分重点中学联考,14)圆心在直线x=2上的圆与y
7、轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则该圆的标准方程为 . 答案 (x-2) 2+(y+3)2=56.(2017安徽合肥质检,14)圆C与直线x+y=0及x+y-4=0都相切,圆心在直线x-y=0上,则圆C的方程为 . 答案 (x-1) 2+(y-1)2=2B组 20162018年模拟提升题组(满分:30分 时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018甘肃兰州模拟,7)已知点A是直角三角形ABC的直角顶点,且A(2a,2),B(-4,a),C(2a+2,2),则ABC的外接圆的方程是( )A.x2+(y-3)2=5 B.x2+(y+3)2=5C.(x-3)2+y2=5
8、 D.(x+3)2+y2=5答案 D2.(2017福建厦门4月联考,5)若a,则方程x 2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 B二、填空题(共5分)3.(2017湖南常德一模,14)已知圆C的方程为x 2+y2+8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的取值范围为 . 答案 -k04三、解答题(共15分)4.(2016河南中原名校第三次联考,17)已知圆C的方程为x 2+(y-4)2=1,直线l的方程为2x-y=0,点P在直线l上,过点P作圆C的切线PA,PB,切点为A,B
9、.(1)若APB=60,求点P的坐标;(2)求证:经过A,P,C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点,并求出所有定点的坐标.解析 (1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4),PC=2,设P(a,2a),则=2,解得a=2或a=,所以点P的坐标为(2,4)或.(2)设P(a,2a),过点A,P,C的圆即是以PC为直径的圆,其方程为x(x-a)+(y-4)(y-2a)=0,整理得x 2+y2-ax-4y-2ay+8a=0,即(x 2+y2-4y)-a(x+2y-8)=0.由得或该圆必经过定点(0,4)和.C组 20162018年模拟方法题组方法1 求圆的方程的方法1.(2018海南海口模拟,
10、7)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的方程为( )A.(x+3)2+(y-1)2=1 B.(x-3)2+(y+1)2=1C.(x+3)2+(y+1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1答案 C2.(2017山西运城二模,15)已知圆C截y轴所得的弦长为2,圆心C到直线l:x-2y=0的距离为,且圆C被x轴分成的两段弧长之比为31,则圆C的方程为 . 答案 (x+1) 2+(y+1)2=2或(x-1) 2+(y-1)2=23.(2017河北衡水中学调研,18)已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1
11、)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.解析 (1)解法一:设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y0.因为ACBC,所以k ACkBC=-1,又k AC=,kBC=,所以=-1,化简得x 2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x 2+y2-2x-3=0(y0).解法二:设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1) 2+y2=4(y0).(2)设M(x,y
12、),C(x 0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=,y=,所以x 0=2x-3,y0=2y.由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1) 2+y2=4(y0),将x 0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4) 2+(2y)2=4,即(x-2) 2+y2=1.因此动点M的轨迹方程为(x-2) 2+y2=1(y0).方法2 解决与圆有关的最值问题的方法4.(2018福建长汀模拟,10)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书中,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A、B的距离之比为(0,1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M与两定点A、B(5,0)的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为x 2+y2=9.下面,我们来研究与此相关的一个问题:已知圆O:x 2+y2=1上的动点M和定点A,已知点B(1,1),则2|MA|+|MB|的最小值为( )A. B. C. D.答案 C5.(2017湖南长沙二模,5)圆x 2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2距离的最大值是( )A.1+ B.2 C.1+ D.2+2答案 A
