1、19.5 抛物线及其性质考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.抛物线的定义及其标准方程1.了解抛物线的定义,并会用定义进行解题2.掌握求抛物线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法)2017课标全国,12;2017山东,15;2016四川,3;2014课标,10;2013江西,9选择题、填空题、解答题2.抛物线的几何性质1.知道抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2.能用其性质解决有关的抛物线问题,了解抛物线的一些实际应用2017天津,12;2016课标全国,5;2015四川,10选择题、填空题、解答题3.直线与抛物线的位置关
2、系1.会用代数法和数形结合法判断直线与抛物线的位置关系2.根据所学知识熟练解决直线与抛物线位置关系的综合问题2017课标全国,20;2016课标全国,20;2016课标全国,20选择题、填空题、解答题分析解读从近几年的高考试题来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等一直是高考命题的热点,题 型既有选择题、填空题,又有解答题;客观题突出“小而巧”的特点,主要考查抛物线的定义、标准方程,主观题考查得较为全面,除考查定义、性质之外,还考查直线与抛物线的位置关系,考查基本运算能力、逻辑思维能力和综合分析问题的能力,着力于数学思想方法及数学语言的考查.五年高考考点一 抛物线的定
3、义及其标准方程1.(2016四川,3,5分)抛物线y 2=4x的焦点坐标是( )2A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0)答案 D 2.(2014课标,10,5分)已知抛物线C:y 2=x的焦点为F,A(x 0,y0)是C上一点,|AF|= x0,则x 0=( )54A.1 B.2 C.4 D.8答案 A 3.(2013江西,9,5分)已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|MN|=( )A.2 B.12 C.1 D.135 5答案 C 4.(2017山东,15,5分)在平面直角坐 标系xOy中,双
4、曲线 -22=1(a0,b0)的右支与焦点为 F的抛物线x 2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线22方程为 .答案 y= x225.(2014福建,21,12分)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(1)求曲线的方程;(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.解析 (1)解法一:设S(x,y)为曲线上任意一点,依题意,得点S到F(0,
5、1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线的方程为x 2=4y.解法二:设S(x,y)为曲线上任意一点,则|y-(-3)|- =2,(-0)2+(-1)2依题意,知点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y-3,所以 =y+1,(-0)2+(-1)2化简得,曲线的方程为x 2=4y.3(2)当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线的方程为y= x2,14设P(x 0,y0)(x00),则y 0= ,1420由y= x,得切线l的斜率k=y = x0,12 |=012所以切线l
6、的方程为y-y 0= x0(x-x0),即y= x0x- .12 12 1420由 得A .=120-1420,=0 (120,0)由 得M .=120-1420,=3 (120+60,3)又N(0,3),所以圆心C ,(140+30,3)半径r= |MN|= ,12 |140+30|AB|= = = .|2-2 120-(140+30)2+32-(140+30)2 6所以点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度不变.教师用书专用(67)6.(2013四川,5,5分)抛物线y 2=8x的焦点到直线x- y=0的距离是( )3A.2 B.2 C. D.13 3答案 D 7.(201
7、3课标全国,8,5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y 2=4 x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4 ,则POF的面2 2积为( )A.2 B.2 C.2 D.42 3答案 C 4考点二 抛物线的几何性质1.(2016课标全国,5,5分)设F为抛物线C:y 2=4x的焦点,曲线y= (k0)与C交于点P,PFx轴,则k=( )A. B.1 C. D.212 32答案 D 2.(2015陕西,3,5分)已知抛物线y 2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( )A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)答案 B 3.(2014安徽,3,5分)抛物线
8、y= x2的准线方程是( )14A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2答案 A 4.(2014辽宁,8,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y 2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为( )A.- B.-1 C.- D.-43 34 12答案 C 5.(2017天津,12,5分)设抛物线y 2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC=120,则圆的方程为 .答案 (x+1) 2+(y- )2=136.(2013福建,20,12分)如图,抛物线E:y 2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,
9、以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(1)若点C的纵坐标为2,求|MN|;(2)若|AF| 2=|AM|AN|,求圆C的半径.解析 (1)抛物线y 2=4x的准线l的方程为x=-1.由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),所以点C到准线l的距离d=2,又|CO|= ,5所以|MN|=2 =2 =2.|2-2 5-45(2)设C ,则圆C的方程为 +(y-y0)2= + ,即x 2- x+y2-2y0y=0.(204,0) (-204)2 401620202由x=-1,得y 2-2y0y+1+ =0,202设M(-1,y 1),N(-1,y2),则=420-
10、4(1+202)=220-40,12=202+1. 由|AF| 2=|AM|AN|,得|y 1y2|=4,所以 +1=4,解得y 0= ,此时0.202 6所以圆心C的坐标为 或 ,(32, 6) (32,- 6)从而|CO| 2= ,|CO|= ,即圆C的半径为 .334 332 332教师用书专用(79)7.(2013课标全国,10,5分)设抛物线C:y 2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为( )A.y=x-1或y=-x+1B.y= (x-1)或y=- (x-1)33 33C.y= (x-1)或y=- (x-1)3 3D.y= (x-1)
11、或y=- (x-1)22 22答案 C 8.(2014上海,4,4分)若抛物线y 2=2px的焦点与椭圆 + =1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 .2925答案 x=-29.(2013北京,9,5分)若抛物线y 2=2px的焦点坐标为(1,0),则p= ;准线方程为 .答案 2;x=-1考点三 直线与抛物线的位置关系1.(2014课标,10,5分)设F为抛物线C:y 2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,则|AB|=( )A. B.6 C.12 D.7303 3答案 C 62.(2014湖南,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=
12、-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 .答案 (-,-1)(1,+)3.(2016课标全国,20,12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y 2=2px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求 ;|(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.解析 (1)由已知得M(0,t),P .(1分)(22,)又N为M关于点P的对称点,故N ,ON的方程为y= x,代入y 2=2px整理得px 2-2t2x=0,解得x 1=0,x2= .(2,) 22因此H .(4分)(22
13、,2)所以N为OH的中点,即 =2.(6分)|(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.(7分)理由如下:直线MH的方程为y-t= x,即x= (y-t).(9分)2 2代入y 2=2px得y 2-4ty+4t2=0,解得y 1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.(12分)4.(2016课标全国,20,12分)已知抛物线C:y 2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l 1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解析
14、由题设知F .设l 1:y=a,l2:y=b,易知ab0,(12,0)且A ,B ,P ,Q ,R .(22,) (22,) (-12,) (-12,) (-12,+2 )记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k 1,FQ的斜率为k 2,则7k1= = = = =-b=k2.-1+2-2-1-所以ARFQ.(5分)(2)设l与x轴的交点为D(x 1,0),则S ABF = |b-a|FD|= |b-a| ,SPQF = .12 12 |1-12| |-|2由题设可得2 |b-a| = ,所以x 1=0
15、(舍去)或x 1=1.12 |1-12| |-|2设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=kDE可得 = (x1).2+ -1而 =y,所以 y2=x-1(x1).+2当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y 2=x-1.(12分)5.(2015浙江,19,15分)如图,已知抛物线C 1:y= x2,圆C 2:x2+(y-141)2=1,过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C 1和圆C 2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该
16、直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解析 (1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由 消去y,整理得x 2-4kx+4kt=0,=(-),=142 由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t 2).设圆C 2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x 0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故02=-02+1,0-0=0,解得0= 21+2,0=221+2.8因此,点B的坐标为 .(21+2,221+2)(2)由(1)知|AP|=t ,1+2和直线PA的方程tx-y-t 2=0.点B到直线PA的距离是d= ,21+2设PAB的面积为S
17、(t),所以S(t)= |AP|d= .12 32教师用书专用(69)6.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y 2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)答案 D 7.(2014湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值
18、范围.解析 (1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即 =|x|+1,(-1)2+2化简整理得y 2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y 2=4,0,0, ,0,00, -1,12 12即当k 时,直线l与C 1只有一个公共点,与C 2有一个公共点.-1,12当k 时,直线l与C 1有两个公共点,与C 2没有公共点.-12,0)故当k 时,直线 l与轨迹C恰好有两个公共点.-12,0) -1,12若 由解得-10,00,x1+x2=4k,x1x2=-4m,10所以AB中点M的坐标为(2k,2k 2+m).由 =3 ,得(-x 0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所
19、以 由 =4y0得k 2=- m+ .0=-6,0=4-62-3, 20 15 415由0,k 20,得- f ,(19)256243(43)所以当m= 时, f(m)取到最大值 ,此时k= .19 256243 5515所以ABP面积的最大值为 .25651359.(2013辽宁,20,12分)如图,抛物线C 1:x2=4y,C2:x2=-2py(p0).点M(x 0,y0)在抛物线C 2上,过M作C 1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x 0=1-时 ,切线MA的斜率为- .212(1)求p的值;(2)当M在C 2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时
20、,中点为O).解析 (1)因为抛物线C 1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y= ,且切线MA的斜率为- ,所以A点坐标为2 12,故切线MA的方程为y=- (x+1)+ .(-1,14) 12 14因为点M(1- ,y0)在切线MA及抛物线C 2上,211所以y 0=- (2- )+ =- ,12 2 14 3-224y0=- =- ,(1- 2)22 3-222由得p=2.(6分)(2)设N(x,y),A ,B ,x1x 2,由N为线段AB中点知x= ,(1,214) (2,224) 1+22y= .21+228切线MA的方程为y= (x-x1)+ ,12214切线MB的方程为y
21、= (x-x2)+ .22224由得MA,MB的交点M(x 0,y0)的坐标为x 0= ,1+22y0= .124因为点M(x 0,y0)在C 2上,即 =-4y0,20所以x 1x2=- .21+226由得x 2= y,x0.43当x 1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x 2= y.因此AB中点N的轨迹方程为x 2= y.(12分)43 43三年模拟A组 20162018年模拟基础题组考点一 抛物线的定义及其标准方程1.(2018河南顶级名校12月联考,7)已知直线l过抛物线y 2=-2px(p0)的焦点,且与抛物线交于A、B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的
22、距离是2,则此抛物线的方程是( )A.y2=-12x B.y2=-8xC.y2=-6x D.y2=-4x答案 B 2.(2018湖北荆州中学11月月考,9)已知抛物线y 2=2px(p0),点C(-124,0),过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A,B两点,若CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是( )A.y2=4x B.y2=-4xC.y2=8x D.y2=-8x答案 D 3.(2016广东惠州第一次调研,11)过抛物线y 2=4x的焦点F作直线交抛物线于A(x 1,y1)、B(x 2,y2)两点,如果x 1+x2=6,那么|AB|=( )A.6 B.8 C.
23、9 D.10答案 B 4.(2018四川成都七中12月模拟,13)抛物线y 2=ax(a0)上的点P 到焦点F的距离为2,则a= .(32,0)答案 25.(2017四川巴蜀联考,14)若抛物线y 2=2px(p0)上的点A(x 0, )到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p= 2.答案 2考点二 抛物线的几何性质6.(2017广东中山一调,5)已知抛物线x 2=2py(p0)的准线与椭圆 + =1相切,则p的值为( )2624A.4 B.3 C.2 D.1答案 A 7.(2018河北唐山五校联考,15)过抛物线y 2=2px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=2|BF
24、|=6,则p= .答案 48.(2017山西五校联考,13)抛物线x 2=-10y的焦点在直线2mx+my+1=0上,则m= .答案 259.(2016江西九校联考,15)抛物线y 2=2px(p0)的焦点为F,其准线与双曲线y 2-x2=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p= .答案 2 3考点三 直线与抛物线的位置关系10.(2018山西长治二中等五校12月联考,15)已知抛物线C:y 2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,过点F且倾斜角为60的直线交C于A,B两点,AMl,BNl,M,N为垂足,点Q为MN的中点,|QF|=2,则p= . 13答案 311.(2017河南安阳调
25、研考试,14)已知抛物线y 2=4x的焦点为F,过F作一条直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=3,则|BF|= .答案 3212.(2017安徽黄山二模,14)已知抛物线C:y 2=8x,焦点为F,点P(0,4),点A在抛物线上,当点A到抛物线准线l的距离与点A到点P的距离之和最小时,延长AF交抛物线于点B,则AOB的面积为 .答案 4 513.(2016河北武邑中学3月模拟,14)已知直线l:y=kx+t与圆:x 2+(y+1)2=1相切,且与抛物线C:x 2=4y交于不同的两点M,N,则实数t的取值范围是 .答案 t0或t0,b0)的离心率为3, 若抛物线C 2:x2=2py(p0)的焦
26、点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方22程为( )A.x2= y B.x2=4y C.x2=12y D.x2=24y83314答案 D 4.(2017广东汕头一模,8)过抛物线C:x 2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点,若抛物线C在点B处的切线斜率为1,则|AF|=( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 A 5.(2017河南百校联盟联考,8)已知抛物线C:y 2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为54,且|AF|2,则A点到原点的距离为( )A.3 B.4 C.4 D.42 3答案 B 6.(2017江西新余、宜春联考,11)抛物线y 2=2p
27、x(p0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足AFB= ,设线段AB的中点M在 l上的投影为N,则 的最大值是( )23 |A. B. C. D.332 33 34答案 C 7.(2016安徽六校第一次联考,11)过抛物线y 2=2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线交于B、C两点,l与抛物线的准线交于点A,且|AF|=6, =2 ,则|BC|=( )A.8 B. C.6 D.132 92答案 D 二、解答题(共15分)8.(2018广东惠州调研,20)已知圆x 2+y2=12与抛物线x 2=2py(p0)相交于A,B两点,点B的横坐标为2 ,F为抛物2线的焦点.(1)求抛
28、物线的方程;(2)若过点F且斜率为1的直线l与抛物线和圆交于四个不同的点,从左至右依次为P 1,P2,P3,P4,求|P 1P2|-|P3P4|的值.解析 (1)设B(2 ,y0),由题意得2 (22)2+20=12,(22)2=20, 解之得 所以抛物线的方程为x 2=4y.0=2,=2,(2)设点P 1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),P4(x4,y4),由题意知P 1,P3在圆上,P 2,P4在抛物线上.因为直线l过点F且斜率为1,所以直线l的方程为y=x+1.联立 得2x 2+2x-11=0,所以x 1+x3=-1,x1x3=- ,=+1,2+2=12, 1121
29、5所以|P 1P3|= = = .1+12(1+3)2-413 2 (-1)2-4(-112) 46由 得 x2-4x-4=0,所以x 2+x4=4,x2x4=-4.=+1,2=4,所以|P 2P4|= = =8.1+12(2+4)2-424 2 42-4(-4)由题意易知|P 1P2|=|P1P3|-|P2P3|,|P3P4|=|P2P4|-|P2P3|,-得|P 1P2|-|P3P4|=|P1P3|-|P2P4|,|P 1P2|-|P3P4|= -8.46C组 20162018年模拟方法题组方法1 求抛物线标准方程的方法1.(2018湖南益阳、湘潭9月联考,16)已知圆C 1:x2+(y-
30、2)2=4,抛物线C 2:y2=2px(p0),C1与C 2相交于A,B两点,且|AB|= ,则抛物线C 2的方程为 .855答案 y 2= x325方法2 利用抛物线的定义解决有关问题的方法2.(2018江西南昌七校联考,10)已知抛物线x 2=2y的焦点为 F,其 上有两点A(x 1,y1),B(x2,y2)满足|AF|-|BF|=2,则y 1+ -y2- =( )21 22A.4 B.6 C.8 D.10答案 B 3.(2016广东汕头金山中学期末,11)已知P是抛物 线y 2=4x上的一个动点,Q是圆(x-3) 2+(y-1)2=1上的一个动点,N(1,0)是一个定点,则|PQ|+|P
31、N|的最小值为( )A.3 B.4 C.5 D. +12答案 A 4.(2017河南天一大联考(三),14)已知抛物线C:y 2=2px(p0)上在第四象限内的点M(2,y 0)到焦点F的距离为|y 0|,则点M到直线x-y-1=0的距离为 .答案 522方法3 与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方法5.(2017湖南岳阳二模,7)若直线y=2x+ 与抛物线x 2=2py(p0)相交于A,B两点,则|AB|等于( )2A.5p B.10p C.11p D.12p答案 B 166.(2016福建厦门双十、南安一中、厦门海沧实验中学联考,16)设抛物线y 2=4x的焦点为F,A,B两点在抛物线上,且A,B,F三点共线,过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P,若|PF|= ,则M点的横坐标为 32.答案 2
