1、1.1.4 投影与直观图,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.直观图 用来表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的 . 2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图 运用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,主要步骤如下: 在已知图形中取水平平面,作相互垂直的轴 ,使xOy=90; 画直观图时,把轴Ox,Oy画成对应的轴 ,使 (或135),xOy所确定的平面表示水平平面;,直观图,Ox,Oy,Ox,Oy,xOy=45,已知图形中,平行于 轴、 轴的线段在直观图中分别画成平行于x轴、y轴.并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标
2、轴的位置关系相同. 已知图形中,平行于 轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于 轴的线段,长度变为原来的一半. 画图完成后,擦去作为轴助线的坐标轴,就得到了水平放置的平面图形的直观图.,x,y,x,y,自我检测,1.如图,直观图表示的平面图形是( ) (A)任意三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)钝角三角形,C,解析:平面图形的原图形与其直观图具有可逆性,可将此直观图还原为原图形,因为ABy轴,BCx轴,所以还原后,仍保持平行性不变,故原图形中ABBC,所以ABC为直角三角形.,2.如果一个三角形用斜二测画法画出来的是一个边长为2的正三角形,则此三角形的面积是( ),A,3.水
3、平放置的ABC的斜二测直观图如图所示,已知AC=3,BC=2,则AB边上的中线的实际长度为 .,解析:直观图对应的原图形,如图, 则由斜二测画法规则知 AC=3,BC=4,所以AB=5, 所以斜边AB上的中线长为 .,答案:,类型一,水平放置的平面图形直观图的画法,课堂探究素养提升,【例1】 用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图.,解:法一 (1)如图(1)所示,以BC边所在的直线为x轴,以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.,(2)画对应的x轴、y轴,使xOy=45. 在x轴上截取OB=OC=2 cm,在y轴上截取OA= OA,连接AB,AC,则三角形ABC即为正三角形A
4、BC的直观图,如图(2)所示.,法二 (1)如图(3)所示,以BC边所在的直线为y轴,以BC边上的高AO所在的直线为x轴.,(3) (4),(2)画对应的x轴、y轴,使xOy=45. 在x轴上截取OA=OA,在y轴上截取OB=OC= OC=1 cm,连接AB,AC, 则三角形ABC即为正三角形ABC的直观图, 如图(4)所示.,方法技巧 此类问题的解题步骤是:建系、定点、连线成图.要注意选取恰当的坐标原点O,能使整个作图变得简便.另外,从本题的两种解法可知,坐标系选取的不同,可得到不同的直观图.,变式训练1-1:用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图.,解:(1)如图(1)所示,在已知正五
5、边形ABCDE中,取中心O为原点,对称轴FA为y轴,过点O与y轴垂直的是x轴,分别过B、E作GBy轴,HEy轴,与x轴分别交于点G、H.画对应的轴Ox、Oy,使xOy=45.,(3)连接AB、BC、DE、EA,所得正五边形ABCDE就是正五边形ABCDE的直观图,如图(3)所示.,类型二,空间几何体的直观图的画法,【例2】 试画出底面边长为1.2 cm,高为1.5 cm的正四棱锥的直观图.,解:画法:(1)画轴.画Ox轴、Oy轴、Oz轴, xOy=45(或135),xOz=90,如图(1).,(1) (2),(2)画底面.以O为中心,在xOy平面内画出正方形直观图ABCD,使AB=1.2 cm
6、.,(3)画顶点. 在Oz轴上截取OP,使OP=1.5 cm. (4)成图.顺次连接PA、PB、PC、PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得正四棱锥的直观图,如图(2).,方法技巧 (1)用斜二测画法作空间图形的直观图时,应建立适当的空间直角坐标系,常寻找原图中两两共点且互相垂直的三条直线为坐标轴,或利用图形的对称性建系. (2)在画棱柱、棱台的直观图时,可确定下底面的直观图,确定好高度后,再把坐标系平移上来再画上底面的直观图即可.,变式训练2-1:已知一个正四棱台的上底面边长为2 cm,下底面边长为6 cm,高为4 cm.用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.,解:(1)画轴.以底面正
7、方形ABCD的中心为坐标原点,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于O,使xOy=45,xOz=90.,(3)画上底面.在z轴上截取线段OO1=4 cm,过O1点作O1xOx、O1yOy,使xO1y=45,建立坐标系xO1y,在xO1y中重复(2)的步骤画出上底面的直观图A1B1C1D1.,图1,(4)再连接AA1、BB1、CC1、DD1,并擦去辅助线,将被遮部分改为虚线,得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(图2).,图2,类型三,平面图形的直观图与原图形之间的关系,【例3】 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45、腰和上底长均为1的等腰梯形,则它的原平面图形的面积是( ),方法技巧
8、(1)由直观图还原为原图是画直观图的逆过程,有两个量发生了变化,一是xOy由45恢复为xOy=90,二是与Oy平行的线段,在平面xOy中的长度是原来的2倍.,(2)通过计算可知,设原图面积S,直观图面积S,则S= S.,变式训练3-1:一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形ABO,如图,若OB=1,那么原三角形的面积与直观图的面积之比为 .,类型四,易错辨析,【例4】 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是 .,纠错:导致上述错解的原因为:在计算梯形面积时忽视了直观图边长的变化,误认为原图形的高就是直观图的高的2倍.,谢谢观赏！,
