1、考点一 点、线、面的位置关系 1.平面的基本性质 (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面 内. 符号表示为:Al,Bl,且A,Bl. 作用:可用来判断直线是否在平面内. (2)公理2:过 不在一条直线 上的三点,有且只有一个平面. 符号表示为:A,B,C三点不共线有且只有一个平面,使A,B,C. 作用:a.可用来确定一个平面,为空间图形平面化作准备; b.证明点线共面.,知识清单,(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条 过该点的公共直线. 符号表示为:P,且P=l,且Pl. 作用:a.可用来确定两个平面的交线; b.判断三点共线、三线
2、共点. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类(2)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为:设a,b,c是三条直线,ab,cb,则 ac .,公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间中这个性质都适用. 作用:判断空间两条直线平行. (3)等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 相等或互补 . 3.直线和平面的位置关系,4.两个平面的位置关系,考点二 异面直线所成的角 1.异面直线 (1)定义:所谓异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.其含义 是不存在这样的平面,能同时经过这两条直线.其符号表示为:不存在平 面,使得a且b.当然也可以这样理
3、解:ab=且a b. (2)性质:两条异面直线既不相交又不平行. 2.异面直线所成的角 过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线,那么这两条相交直线 所成的锐(或直)角叫做这两条异面直线所成的角.若记这个角为,则的 范围是 .,1.点、线、面的位置关系的判断是高考的热点,其方法为:根据公理和 定理证明位置关系;通过构造特例否定其位置关系;利用原命题和 逆否命题等价判断命题的真伪;反证法. 2.点共线问题的证明方法 证明空间点共线,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再依 据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上. 3.线共点问题的证明方法 证明空间三线共点,先证两条直线交于一点,再证第
4、三条直线经过这点, 将问题转化为证明点在直线上.,点、线、面位置关系的判断方法,方法技巧,4.点线共面问题的证明方法 (1)纳入平面法:先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内; (2)辅助平面法:先证有关点、线确定平面,再证其余点、线确定平面, 最后证明平面,重合. 例1 (2016豫南九校第一次联考,6)如图,在三棱锥A-BCD中,点E、H分别是AB、AD的中点,点F、G分别是BC、CD上的点,且 = = ,则 ( D ),A.直线EF与GH互相平行 B.直线EF与GH是异面直线 C.直线EF与GH的交点可能在直线AC上,也可能不在直线AC上 D.直线EF与GH的交点一定在直线AC上,解题
5、导引,解析 连接EH、FG.在ABD中,E、H分别是AB、AD的中点,EH BD且EH= BD. 在BCD中, = = ,FGBD且FG= BD. EHFG,且EHFG.四边形EFGH为梯形. 直线EF与GH相交于一点,设交点为M. 又EF面ABC,MEF,M面ABC,同理,M面ACD. 又面ABC面ACD=AC,MAC,直线EF与GH的交点一定在直线 AC上.故选D.,1.几何法(平移法)求异面直线所成角的一般步骤:,异面直线所成角的求法,2.向量法求异面直线所成角 建立空间直角坐标系后,确定两异面直线各自的方向向量a,b,则两异面 直线所成角满足cos = . 例2 (2017福建四地六校
6、联考,14)已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线 AB与CD成60角,点M、N分别是BC、AD的中点,则异面直线AB与MN 所成角的大小为 .,解题导引,解析 如图,取AC的中点P,连接PM,PN,则PMAB, 且PM= AB,PNCD,且PN= CD. 所以MPN或其补角为AB与CD所成的角, 则MPN=60或MPN=120, 因为PMAB,所以PMN或其补角是AB与MN所成的角, 因为AB=CD,所以PM=PN,若MPN=60, 则PMN是等边三角形,所以PMN=60, 所以AB与MN所成的角为60. 若MPN=120,则PMN=30,所以AB与MN所成的角为30, 综上,异面直线AB与MN所成的角为30或60.,答案 30或60,
