1、第八章 立体几何,高考文数,8.3 空间点、线、面的位置关系,知识清单,考点 空间点、线、面的位置关系1.平面的基本性质,2.点、线、面的位置关系 (1)空间两条直线的位置关系,(2)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. (3)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两 个角 相等或互补 . (4)两条异面直线所成的角 过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线,那么这两条相交直线,所成的锐角或直角叫做这两条异面直线所成的角,若记这个角为, 则 . 当两条异面直线所成的角为 时,这两条异面直线互相垂直. (5)直线与平面的位置关系,拓展延伸利用平移法求异面直线所成角的
2、途径: 利用图中已有的平行线平移; 利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线; 补形平移.,判断空间点、线、面位置关系的方法 在判断空间直线、平面的位置关系问题时,常采用画图法(尤其是画一 般长方体和正方体),实物判断法(如墙角等),定理性质证明法等.判断命 题真假时应注意命题等价性的转化,从而简化判断过程. 例1 (2017广东五校联考,14)已知m,n是两条不同的直线,、为两个不 同的平面,有下列四个命题: 若,m,n,则mn; 若m,n,mn,则; 若m,n,mn,则; 若m,n,则mn. 其中所有正确命题的序号是 .,方法技巧,解题导引 依据点、线、面位置关系的判定逐项判断 得到正确命题
3、 的序号 结论,解析 对于,当两个平面互相垂直时,分别位于这两个平面内的两条 直线未必垂直,因此不正确.对于,依据结论“由空间一点向一个二 面角的两个半平面(或半平面所在平面)引垂线,这两条垂线的夹角与这 个二面角的平面角相等或互补”可知正确.对于,分别与两条平行 直线平行的两个平面未必平行,因此不正确.对于,由n得在平面 内必存在直线n1平行于直线n;由m,得m,则mn1;又n1n,因 此有mn,正确.综上所述,所有正确命题的序号是.,答案 ,方法点拨 在解决此类问题时,可借助特殊几何体,如正方体、正三棱 锥等来帮助思考.,例2 (2017河北邯郸调研,5)如图,在三棱锥S-ABC中,G1,
4、G2分别是SAB 和SAC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是 ( B )A.相交 B.平行 C.异面 D.以上都有可能,解题导引 连SG1交AB于M,连SG2交AC于N,连MN 利用重心的性质得M、N 分别为AB与AC的中点 得G1G2MN,MNBC 由公理4得G1G2BC,解析 连接SG1并延长交AB于M,连接SG2并延长交AC于N,连接MN.由题 意知SM为SAB的中线,且SG1= SM,SN为SAC的中线,且SG2= SN, 在SMN中, = ,G1G2MN. 易知MN是ABC的中位线,MNBC, 因此可得G1G2BC,即直线G1G2与BC的位置关系是平行.故选B.,证明点共线、线
5、共点及点线共面的方法 1.证明点线共面问题的两种方法:(1)归一法:首先由所给条件中的部分 线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;(2)重合 法:将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合. 2.证明点共线问题的两种方法:(1)先由两点确定一条直线,再证其他各 点都在这条直线上;(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上. 3.证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他 直线经过该点.,求证:(1)E、C、D1、F四点共面; (2)CE、D1F、DA三线共点.,例3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA的中点.,证明 (1)如图,分别连接EF、A1B、D1C.E、F分别是AB、AA1的中点,EFA1B,EF= A1B. 又A1D1BC,四边形A1D1CB是平行四边形. A1BCD1,EFCD1. EF与CD1确定一个平面. E、F、C、D1,故E、C、D1、F四点共面. (2)由(1)知EFCD1,且EF= CD1, 四边形CD1FE为梯形, CE与D1F相交,设交点为P(如图所示), PCE,CE面ABCD,P面ABCD, 同理,P面A1ADD1. 又面A1ADD1面ADCB=AD,PAD, 故CE、D1F、DA三线共点.,
